Страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В виде какого числа можно представить сумму натурального числа и правильной дроби?

Сумму натурального числа и правильной дроби можно представить в виде смешанного числа. Смешанное число состоит из целой части, которой является натуральное число, и дробной части, которой является правильная дробь.

Пусть $N$ — это натуральное число, а $\frac{a}{b}$ — это правильная дробь (то есть, $a < b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа). Их сумма записывается как смешанное число $N\frac{a}{b}$.

Например, сумма натурального числа 3 и правильной дроби $\frac{4}{9}$ будет выглядеть так:

$3 + \frac{4}{9} = 3\frac{4}{9}$

Кроме того, любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.

Чтобы преобразовать сумму в неправильную дробь, нужно натуральное число умножить на знаменатель дроби, к полученному произведению прибавить числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Общая формула преобразования:

$N + \frac{a}{b} = \frac{N \cdot b + a}{b}$

Для нашего примера:

$3 + \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{27 + 4}{9} = \frac{31}{9}$

Поскольку числитель $31$ больше знаменателя $9$, дробь $\frac{31}{9}$ является неправильной.

Ответ: Сумму натурального числа и правильной дроби можно представить в виде смешанного числа, которое, в свою очередь, можно преобразовать в неправильную дробь.

2. Как в записи смешанного числа называют натуральное число? Правильную дробь?

Смешанное число — это число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби. Запись смешанного числа, например $A\frac{b}{c}$, является сокращённой формой суммы $A + \frac{b}{c}$, где $A$ — натуральное число, а $\frac{b}{c}$ — правильная дробь (то есть $b < c$).

В записи смешанного числа натуральное число называют целой частью. Например, в смешанном числе $5\frac{3}{8}$ целой частью является число $5$.

Ответ: целая часть.

В записи смешанного числа правильную дробь называют дробной частью. В том же примере, $5\frac{3}{8}$, дробь $\frac{3}{8}$ является дробной частью.

Ответ: дробная часть.

3. Какой дробью является дробная часть смешанного числа?

Смешанное число — это число, которое состоит из целой части (натурального числа) и дробной части. Например, в смешанном числе $5 \frac{3}{4}$ целая часть равна 5, а дробная часть равна $\frac{3}{4}$.

По определению, дробная часть смешанного числа всегда является правильной дробью.

Правильная дробь — это такая обыкновенная дробь, у которой числитель (число, записанное над чертой) меньше знаменателя (числа, записанного под чертой). Значение правильной дроби всегда меньше 1.

Например, в числе $2 \frac{1}{3}$ дробная часть $\frac{1}{3}$ является правильной, так как числитель $1$ меньше знаменателя $3$. В числе $10 \frac{7}{8}$ дробная часть $\frac{7}{8}$ является правильной, так как $7 < 8$.

Если бы дробная часть была неправильной (то есть числитель был бы больше или равен знаменателю), то из неё можно было бы выделить целую часть. Эту выделенную целую часть необходимо прибавить к уже существующей целой части смешанного числа. Например, запись $3 \frac{5}{4}$ не является стандартной формой смешанного числа, и её принято преобразовывать:

$3 \frac{5}{4} = 3 + \frac{5}{4} = 3 + 1 \frac{1}{4} = (3 + 1) + \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$

Как видно из преобразования, в итоговом смешанном числе $4 \frac{1}{4}$ дробная часть $\frac{1}{4}$ является правильной дробью.

Таким образом, в стандартной (правильной) записи смешанного числа его дробная часть всегда является правильной дробью.

Ответ: Дробная часть смешанного числа является правильной дробью.

4. В каком случае неправильная дробь равна натуральному числу?

Неправильная дробь, как и любая другая, представляет собой операцию деления числителя на знаменатель. Например, дробь $\frac{a}{b}$ эквивалентна выражению $a \div b$.

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$), которые не имеют дробной части.

Для того чтобы значение неправильной дроби было равно натуральному числу, результат деления ее числителя на знаменатель должен быть целым числом без остатка. Это условие выполняется только в том случае, если числитель делится на знаменатель нацело.

Например, неправильная дробь $\frac{15}{5}$ равна натуральному числу $3$, потому что числитель $15$ делится на знаменатель $5$ без остатка ($15 \div 5 = 3$).

В то же время, неправильная дробь $\frac{15}{4}$ не равна натуральному числу, так как $15$ не делится на $4$ нацело ($15 \div 4 = 3,75$).

Ответ: Неправильная дробь равна натуральному числу, если ее числитель делится на знаменатель без остатка.

5. Как неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число?

Чтобы преобразовать неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, в смешанное число, необходимо выделить из неё целую часть. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. Разделить числитель на знаменатель с остатком.
2. Полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа.
3. Остаток от деления записать в числитель дробной части.
4. Знаменатель исходной дроби записать в знаменатель дробной части (оставить без изменений).

Рассмотрим на примере преобразования дроби $ \frac{17}{5} $.
1. Делим числитель 17 на знаменатель 5 с остатком: $ 17 \div 5 = 3 $ (остаток 2).
2. Неполное частное равно 3. Это будет целая часть нашего смешанного числа.
3. Остаток от деления равен 2. Он станет числителем дробной части.
4. Знаменатель 5 остаётся прежним.
В результате получаем смешанное число: $ 3\frac{2}{5} $.
Таким образом, $ \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} $.

Ответ: Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить её числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления — числителем его дробной части, а знаменатель останется тем же, что и у исходной дроби.

6. Как смешанное число преобразовать в неправильную дробь?

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1. Умножить целую часть числа на знаменатель его дробной части.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Записать полученную сумму в числитель новой дроби.
4. Знаменатель оставить без изменений.

В общем виде, если у нас есть смешанное число $A \frac{b}{c}$, где $A$ — целая часть, $b$ — числитель, а $c$ — знаменатель, то формула преобразования выглядит так:

$A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$

Пример:

Преобразуем смешанное число $5 \frac{3}{4}$ в неправильную дробь.

1. Умножаем целую часть (5) на знаменатель (4): $5 \cdot 4 = 20$.

2. К полученному результату (20) прибавляем числитель (3): $20 + 3 = 23$.

3. Полученное число 23 будет новым числителем.

4. Знаменатель 4 остается без изменений.

Таким образом, получаем неправильную дробь: $5 \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{23}{4}$.

Ответ: Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, к полученному результату прибавить числитель дробной части, и эту сумму записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

7. Сформулируйте правило сложения двух смешанных чисел.

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной части, например $2\frac{1}{3}$. Для сложения двух смешанных чисел существует два основных способа.

Способ 1: Покомпонентное сложение

Этот способ предполагает раздельное сложение целых и дробных частей.

1. Сложить целые части смешанных чисел.
2. Сложить их дробные части. Если у дробей разные знаменатели, их необходимо предварительно привести к общему знаменателю.
3. Сложить полученные результаты (сумму целых частей и сумму дробных частей).
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к результату сложения целых частей.

Пример: Найдем сумму $4\frac{2}{3} + 1\frac{3}{4}$.

• Складываем целые части: $4 + 1 = 5$.
• Складываем дробные части. Общий знаменатель для $3$ и $4$ — это $12$.
  $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$.
• Складываем полученные результаты: $5 + \frac{17}{12} = 5\frac{17}{12}$.
• Дробь $\frac{17}{12}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$.
• Прибавим эту целую часть к имеющейся: $5 + 1\frac{5}{12} = 6\frac{5}{12}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ заключается в предварительном преобразовании смешанных чисел в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби. (Чтобы это сделать, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить к результату числитель, а знаменатель оставить прежним).
2. Сложить полученные неправильные дроби, приведя их к общему знаменателю, если это необходимо.
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Снова найдем сумму $4\frac{2}{3} + 1\frac{3}{4}$.

• Преобразуем числа в неправильные дроби:
  $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
  $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
• Складываем дроби:
  $\frac{14}{3} + \frac{7}{4} = \frac{14 \cdot 4}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} = \frac{56}{12} + \frac{21}{12} = \frac{77}{12}$.
• Преобразуем результат в смешанное число. Делим $77$ на $12$:
  $77 \div 12 = 6$ (остаток $5$).
  Значит, $\frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные. Дробные части при необходимости следует привести к общему знаменателю. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из неё нужно выделить целую часть и прибавить её к сумме целых частей.

8. Как найти разность двух смешанных чисел?

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, можно воспользоваться одним из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда не нужно выполнять сложных преобразований. Алгоритм следующий:
1. Приведите дробные части уменьшаемого и вычитаемого к общему знаменателю.
2. Сравните числители дробных частей. Возможны два случая:

а) Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

В этом случае нужно отдельно вычесть целые части и отдельно вычесть дробные части, а затем сложить результаты.
Пример: Найти разность $5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{8}$.
- Приводим дроби к общему знаменателю 8: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$. Получаем $5 \frac{6}{8} - 2 \frac{1}{8}$.
- Дробная часть уменьшаемого ($\frac{6}{8}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{1}{8}$).
- Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.
- Вычитаем дробные части: $\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$.
- Складываем результаты: $3 + \frac{5}{8} = 3 \frac{5}{8}$.
Ответ: $5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{8} = 3 \frac{5}{8}$.

б) Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этом случае необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части.
Пример: Найти разность $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3}$.
- Приводим дроби к общему знаменателю 15: $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$ и $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$. Получаем $9 \frac{3}{15} - 4 \frac{10}{15}$.
- Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{15}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{10}{15}$).
- "Занимаем" единицу у целой части уменьшаемого (у 9). Остается 8.
- Представляем единицу как дробь $\frac{15}{15}$ и добавляем к дробной части уменьшаемого: $9 \frac{3}{15} = 8 + 1 + \frac{3}{15} = 8 + \frac{15}{15} + \frac{3}{15} = 8 \frac{18}{15}$.
- Теперь выполняем вычитание: $8 \frac{18}{15} - 4 \frac{10}{15}$.
- Вычитаем целые части: $8 - 4 = 4$.
- Вычитаем дробные части: $\frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{8}{15}$.
- Складываем результаты: $4 + \frac{8}{15} = 4 \frac{8}{15}$.
Ответ: $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3} = 4 \frac{8}{15}$.

Способ 2: Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Этот способ универсален и позволяет избежать "занимания" единицы. Алгоритм следующий:
1. Преобразуйте оба смешанных числа в неправильные дроби. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель. Результат запишите в новый числитель, а знаменатель оставьте прежним.
2. Приведите полученные дроби к общему знаменателю.
3. Выполните вычитание дробей: вычтите числители, а знаменатель оставьте без изменений.
4. Если в результате получилась неправильная дробь, преобразуйте её обратно в смешанное число.
Пример: Снова решим $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3}$.
- Преобразуем в неправильные дроби:
$9 \frac{1}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{46}{5}$.
$4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
- Приводим к общему знаменателю 15:
$\frac{46}{5} = \frac{46 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{138}{15}$.
$\frac{14}{3} = \frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{70}{15}$.
- Вычитаем дроби: $\frac{138}{15} - \frac{70}{15} = \frac{138 - 70}{15} = \frac{68}{15}$.
- Преобразуем результат в смешанное число. Делим 68 на 15: $68 \div 15 = 4$ (остаток $8$). Получаем $4 \frac{8}{15}$.
Ответ: $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3} = 4 \frac{8}{15}$.

1. Сравните значения выражений:

1) $\frac{7}{11} + \frac{10}{11}$ и $\frac{23}{11} - \frac{8}{11}$;

2) $\frac{19}{27} + \frac{13}{27} - \frac{10}{27}$ и $\frac{16}{27} - \frac{7}{27} + \frac{14}{27}$;

3) $\frac{9}{16} + \frac{8}{16}$ и $\frac{4}{3} - \frac{2}{3}$;

4) $\frac{30}{51} + \frac{16}{51} + \frac{4}{51}$ и $\frac{7}{9} + \frac{2}{9}$.

1) Для того чтобы сравнить значения выражений, сначала вычислим каждое из них.
Вычисляем значение первого выражения: $\frac{7}{11} + \frac{10}{11}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители: $\frac{7 + 10}{11} = \frac{17}{11}$.
Вычисляем значение второго выражения: $\frac{23}{11} - \frac{8}{11}$. Знаменатели также одинаковы, поэтому вычитаем числители: $\frac{23 - 8}{11} = \frac{15}{11}$.
Теперь сравним полученные результаты: $\frac{17}{11}$ и $\frac{15}{11}$. Поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели, больше та дробь, у которой больше числитель. Так как $17 > 15$, то $\frac{17}{11} > \frac{15}{11}$.
Следовательно, $\frac{7}{11} + \frac{10}{11} > \frac{23}{11} - \frac{8}{11}$.
Ответ: $\frac{7}{11} + \frac{10}{11} > \frac{23}{11} - \frac{8}{11}$.

2) Вычислим значение первого выражения: $\frac{19}{27} + \frac{13}{27} - \frac{10}{27}$. Все дроби имеют общий знаменатель, поэтому выполняем действия с числителями: $\frac{19 + 13 - 10}{27} = \frac{32 - 10}{27} = \frac{22}{27}$.
Вычислим значение второго выражения: $\frac{16}{27} - \frac{7}{27} + \frac{14}{27}$. Аналогично, выполняем действия с числителями: $\frac{16 - 7 + 14}{27} = \frac{9 + 14}{27} = \frac{23}{27}$.
Сравним полученные дроби: $\frac{22}{27}$ и $\frac{23}{27}$. Знаменатели одинаковы, сравниваем числители. Так как $22 < 23$, то $\frac{22}{27} < \frac{23}{27}$.
Следовательно, $\frac{19}{27} + \frac{13}{27} - \frac{10}{27} < \frac{16}{27} - \frac{7}{27} + \frac{14}{27}$.
Ответ: $\frac{19}{27} + \frac{13}{27} - \frac{10}{27} < \frac{16}{27} - \frac{7}{27} + \frac{14}{27}$.

3) Найдем значение первого выражения: $\frac{9}{16} + \frac{8}{16}$. $\frac{9 + 8}{16} = \frac{17}{16}$.
Найдем значение второго выражения: $\frac{4}{3} - \frac{2}{3}$. $\frac{4 - 2}{3} = \frac{2}{3}$.
Теперь сравним дроби $\frac{17}{16}$ и $\frac{2}{3}$. Первая дробь $\frac{17}{16}$ неправильная, так как ее числитель больше знаменателя. Это означает, что ее значение больше 1. Можно представить ее в виде смешанного числа: $1\frac{1}{16}$. Вторая дробь $\frac{2}{3}$ правильная, так как ее числитель меньше знаменателя. Это означает, что ее значение меньше 1. Любое число, которое больше 1, всегда больше любого числа, которое меньше 1. Таким образом, $\frac{17}{16} > \frac{2}{3}$.
Следовательно, $\frac{9}{16} + \frac{8}{16} > \frac{4}{3} - \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{9}{16} + \frac{8}{16} > \frac{4}{3} - \frac{2}{3}$.

4) Вычислим значение первого выражения: $\frac{30}{51} + \frac{16}{51} + \frac{4}{51}$. $\frac{30 + 16 + 4}{51} = \frac{50}{51}$.
Вычислим значение второго выражения: $\frac{7}{9} + \frac{2}{9}$. $\frac{7 + 2}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Сравним полученные значения: $\frac{50}{51}$ и $1$. Дробь $\frac{50}{51}$ является правильной, ее числитель меньше знаменателя, поэтому ее значение меньше 1. Таким образом, $\frac{50}{51} < 1$.
Следовательно, $\frac{30}{51} + \frac{16}{51} + \frac{4}{51} < \frac{7}{9} + \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{30}{51} + \frac{16}{51} + \frac{4}{51} < \frac{7}{9} + \frac{2}{9}$.

2. Ответом к каким из следующих задач является число $\frac{5}{6}$?

1) Сколько килограммов конфет получил каждый из шести отрядов, между которыми поделили поровну 5 кг конфет?

2) С какой скоростью шёл пешеход, если за 6 ч он прошёл 5 км?

3) Из 6 м ткани сшили пять фартуков. Сколько метров ткани пошло на один фартук?

4) Решите уравнение $6x = 5$.

1) Чтобы найти, сколько килограммов конфет получил каждый отряд, необходимо общее количество конфет разделить на количество отрядов. Делим 5 кг конфет на 6 отрядов: $5 \div 6 = \frac{5}{6}$ кг. Ответ: $\frac{5}{6}$.

2) Скорость находится по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ – расстояние, а $t$ – время. Чтобы найти скорость пешехода, нужно пройденное расстояние (5 км) разделить на затраченное время (6 ч): $v = \frac{5 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = \frac{5}{6}$ км/ч. Численный ответ задачи равен $\frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) Чтобы определить, сколько метров ткани ушло на один фартук, нужно общую длину ткани (6 м) разделить на количество сшитых фартуков (5): $6 \div 5 = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ м. Ответ: $\frac{6}{5}$.

4) В уравнении $6x = 5$ переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение (5) разделить на известный множитель (6): $x = 5 \div 6 = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

Таким образом, число $\frac{5}{6}$ является ответом к задачам под номерами 1, 2 и 4.

3. Решите уравнение:

1) $\frac{y}{6} = 3$;

2) $\frac{6}{y} = 3$;

3) $3y = 6$;

4) $6y = 3$.

1) В уравнении $\frac{y}{6} = 3$, переменная y является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, необходимо частное (3) умножить на делитель (6).
$y = 3 \cdot 6$
$y = 18$
Ответ: 18

2) В уравнении $\frac{6}{y} = 3$, переменная y является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, необходимо делимое (6) разделить на частное (3).
$y = \frac{6}{3}$
$y = 2$
Ответ: 2

3) В уравнении $3y = 6$, переменная y является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (6) разделить на известный множитель (3).
$y = \frac{6}{3}$
$y = 2$
Ответ: 2

4) В уравнении $6y = 3$, переменная y является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение (3) разделить на известный множитель (6).
$y = \frac{3}{6}$
Сокращаем дробь на 3:
$y = \frac{1}{2}$
Представим ответ в виде десятичной дроби:
$y = 0,5$
Ответ: 0,5