Номер 8, страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Как найти разность двух смешанных чисел?

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, то есть чисел, состоящих из целой и дробной части, можно воспользоваться одним из двух основных способов.

Способ 1: Вычитание целых и дробных частей по отдельности

Этот способ удобен, когда не нужно выполнять сложных преобразований. Алгоритм следующий:
1. Приведите дробные части уменьшаемого и вычитаемого к общему знаменателю.
2. Сравните числители дробных частей. Возможны два случая:

а) Дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого.

В этом случае нужно отдельно вычесть целые части и отдельно вычесть дробные части, а затем сложить результаты.
Пример: Найти разность $5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{8}$.
- Приводим дроби к общему знаменателю 8: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$. Получаем $5 \frac{6}{8} - 2 \frac{1}{8}$.
- Дробная часть уменьшаемого ($\frac{6}{8}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{1}{8}$).
- Вычитаем целые части: $5 - 2 = 3$.
- Вычитаем дробные части: $\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$.
- Складываем результаты: $3 + \frac{5}{8} = 3 \frac{5}{8}$.
Ответ: $5 \frac{3}{4} - 2 \frac{1}{8} = 3 \frac{5}{8}$.

б) Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В этом случае необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части.
Пример: Найти разность $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3}$.
- Приводим дроби к общему знаменателю 15: $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$ и $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$. Получаем $9 \frac{3}{15} - 4 \frac{10}{15}$.
- Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{15}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{10}{15}$).
- "Занимаем" единицу у целой части уменьшаемого (у 9). Остается 8.
- Представляем единицу как дробь $\frac{15}{15}$ и добавляем к дробной части уменьшаемого: $9 \frac{3}{15} = 8 + 1 + \frac{3}{15} = 8 + \frac{15}{15} + \frac{3}{15} = 8 \frac{18}{15}$.
- Теперь выполняем вычитание: $8 \frac{18}{15} - 4 \frac{10}{15}$.
- Вычитаем целые части: $8 - 4 = 4$.
- Вычитаем дробные части: $\frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{8}{15}$.
- Складываем результаты: $4 + \frac{8}{15} = 4 \frac{8}{15}$.
Ответ: $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3} = 4 \frac{8}{15}$.

Способ 2: Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Этот способ универсален и позволяет избежать "занимания" единицы. Алгоритм следующий:
1. Преобразуйте оба смешанных числа в неправильные дроби. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте числитель. Результат запишите в новый числитель, а знаменатель оставьте прежним.
2. Приведите полученные дроби к общему знаменателю.
3. Выполните вычитание дробей: вычтите числители, а знаменатель оставьте без изменений.
4. Если в результате получилась неправильная дробь, преобразуйте её обратно в смешанное число.
Пример: Снова решим $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3}$.
- Преобразуем в неправильные дроби:
$9 \frac{1}{5} = \frac{9 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{46}{5}$.
$4 \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
- Приводим к общему знаменателю 15:
$\frac{46}{5} = \frac{46 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{138}{15}$.
$\frac{14}{3} = \frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{70}{15}$.
- Вычитаем дроби: $\frac{138}{15} - \frac{70}{15} = \frac{138 - 70}{15} = \frac{68}{15}$.
- Преобразуем результат в смешанное число. Делим 68 на 15: $68 \div 15 = 4$ (остаток $8$). Получаем $4 \frac{8}{15}$.
Ответ: $9 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{3} = 4 \frac{8}{15}$.