Номер 7, страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Сформулируйте правило сложения двух смешанных чисел.

Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной части, например $2\frac{1}{3}$. Для сложения двух смешанных чисел существует два основных способа.

Способ 1: Покомпонентное сложение

Этот способ предполагает раздельное сложение целых и дробных частей.

1. Сложить целые части смешанных чисел.
2. Сложить их дробные части. Если у дробей разные знаменатели, их необходимо предварительно привести к общему знаменателю.
3. Сложить полученные результаты (сумму целых частей и сумму дробных частей).
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к результату сложения целых частей.

Пример: Найдем сумму $4\frac{2}{3} + 1\frac{3}{4}$.

• Складываем целые части: $4 + 1 = 5$.
• Складываем дробные части. Общий знаменатель для $3$ и $4$ — это $12$.
  $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$.
• Складываем полученные результаты: $5 + \frac{17}{12} = 5\frac{17}{12}$.
• Дробь $\frac{17}{12}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$.
• Прибавим эту целую часть к имеющейся: $5 + 1\frac{5}{12} = 6\frac{5}{12}$.

Способ 2: Преобразование в неправильные дроби

Этот способ заключается в предварительном преобразовании смешанных чисел в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число представить в виде неправильной дроби. (Чтобы это сделать, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить к результату числитель, а знаменатель оставить прежним).
2. Сложить полученные неправильные дроби, приведя их к общему знаменателю, если это необходимо.
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Снова найдем сумму $4\frac{2}{3} + 1\frac{3}{4}$.

• Преобразуем числа в неправильные дроби:
  $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$
  $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
• Складываем дроби:
  $\frac{14}{3} + \frac{7}{4} = \frac{14 \cdot 4}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} = \frac{56}{12} + \frac{21}{12} = \frac{77}{12}$.
• Преобразуем результат в смешанное число. Делим $77$ на $12$:
  $77 \div 12 = 6$ (остаток $5$).
  Значит, $\frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно — дробные. Дробные части при необходимости следует привести к общему знаменателю. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из неё нужно выделить целую часть и прибавить её к сумме целых частей.