Страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

784. Три тракториста вспахали вместе поле. Бригадир записал, что один из них вспахал $\frac{5}{13}$ поля, второй $\frac{4}{13}$, а третий $\frac{6}{13}$. Не ошибся ли бригадир?

Для того чтобы проверить, не ошибся ли бригадир, необходимо сложить доли поля, вспаханные каждым трактористом. Если они вспахали ровно одно поле, то сумма этих долей должна быть равна 1 (единице), которая представляет собой целое поле.

Первый тракторист вспахал $ \frac{5}{13} $ поля, второй — $ \frac{4}{13} $, а третий — $ \frac{6}{13} $.

Сложим эти дроби, чтобы найти общую вспаханную часть поля:

$ \frac{5}{13} + \frac{4}{13} + \frac{6}{13} $

Так как знаменатели у всех дробей одинаковые, складываем их числители:

$ \frac{5 + 4 + 6}{13} = \frac{15}{13} $

Полученная дробь $ \frac{15}{13} $ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Это означает, что $ \frac{15}{13} > 1 $.

Целое поле можно представить как $ \frac{13}{13} $. Поскольку $ \frac{15}{13} > \frac{13}{13} $, получается, что три тракториста вместе вспахали больше одного поля, что физически невозможно. Следовательно, в записях бригадира есть ошибка.

Ответ: Да, бригадир ошибся.

785. Фермер решил выделить под морковь $\frac{3}{20}$ огорода, под свёклу $\frac{4}{20}$, под лук $\frac{6}{20}$, под горох $\frac{2}{20}$, под картофель $\frac{7}{20}$. Сможет ли он реализовать свой план?

Чтобы выяснить, сможет ли фермер реализовать свой план, нужно сложить все доли огорода, которые он запланировал отвести под различные культуры. Общая сумма выделяемых частей не должна превышать целый огород, который принимается за единицу (1).

Вычислим сумму всех частей огорода:

$ \frac{3}{20} $ (морковь) + $ \frac{4}{20} $ (свёкла) + $ \frac{6}{20} $ (лук) + $ \frac{2}{20} $ (горох) + $ \frac{7}{20} $ (картофель).

Поскольку у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$ \frac{3+4+6+2+7}{20} = \frac{22}{20} $

Полученная дробь $ \frac{22}{20} $ является неправильной, так как ее числитель (22) больше знаменателя (20). Это означает, что $ \frac{22}{20} > 1 $.

Весь огород составляет $ \frac{20}{20} $ или 1. Так как $ \frac{22}{20} > \frac{20}{20} $, фермеру не хватит земли, чтобы выделить участки под все запланированные культуры.

Ответ: Нет, фермер не сможет реализовать свой план.

786. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $n < \frac{123}{30}$;

б) $\frac{198}{15} > n?$

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) $m > \frac{13}{5}$;

б) $\frac{275}{10} < m?$

1)

а) Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \frac{123}{30}$, необходимо преобразовать неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$123 \div 30 = 4$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{123}{30} = 4 \frac{3}{30} = 4 \frac{1}{10} = 4,1$.
Неравенство принимает вид $n < 4,1$.
Натуральные числа, которые меньше 4,1, — это 1, 2, 3, 4. Наибольшее из них — 4.
Ответ: 4.

б) Неравенство $\frac{198}{15} > n$ можно переписать в виде $n < \frac{198}{15}$. Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, преобразуем дробь, выделив целую часть:
$198 \div 15 = 13$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{198}{15} = 13 \frac{3}{15} = 13 \frac{1}{5} = 13,2$.
Неравенство принимает вид $n < 13,2$.
Наибольшее натуральное число, которое меньше 13,2, — это 13.
Ответ: 13.

2)

а) Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $m > \frac{13}{5}$, преобразуем дробь в смешанное число:
$13 \div 5 = 2$ (остаток $3$).
Следовательно, $\frac{13}{5} = 2 \frac{3}{5} = 2,6$.
Неравенство принимает вид $m > 2,6$.
Наименьшее натуральное число, которое больше 2,6, — это 3.
Ответ: 3.

б) Неравенство $\frac{275}{10} < m$ можно переписать в виде $m > \frac{275}{10}$. Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, преобразуем дробь. В данном случае удобнее представить ее в виде десятичной дроби:
$\frac{275}{10} = 27,5$.
Неравенство принимает вид $m > 27,5$.
Наименьшее натуральное число, которое больше 27,5, — это 28.
Ответ: 28.

787. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

a) $n < \frac{206}{13}$;

б) $\frac{324}{16} > n$?

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

a) $m > \frac{34}{6}$;

б) $\frac{421}{16} < m$?

1) а) Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \frac{206}{13}$, необходимо преобразовать дробь в правой части. Выделим целую часть делением 206 на 13: $206 \div 13 = 15$ с остатком 11. Таким образом, $\frac{206}{13} = 15\frac{11}{13}$. Неравенство принимает вид $n < 15\frac{11}{13}$. Наибольшим натуральным числом, которое меньше $15\frac{11}{13}$, является 15.
Ответ: 15

1) б) Неравенство $\frac{324}{16} > n$ равносильно неравенству $n < \frac{324}{16}$. Чтобы найти наибольшее натуральное число $n$, преобразуем дробь. Сначала сократим её на 4: $\frac{324}{16} = \frac{81}{4}$. Теперь выделим целую часть: $81 \div 4 = 20$ с остатком 1. Таким образом, $\frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$. Неравенство принимает вид $n < 20\frac{1}{4}$. Наибольшим натуральным числом, удовлетворяющим этому условию, является 20.
Ответ: 20

2) а) Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, удовлетворяющее неравенству $m > \frac{34}{6}$, преобразуем дробь. Сократим её на 2: $\frac{34}{6} = \frac{17}{3}$. Выделим целую часть: $17 \div 3 = 5$ с остатком 2. Таким образом, $\frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$. Неравенство принимает вид $m > 5\frac{2}{3}$. Наименьшим натуральным числом, которое больше $5\frac{2}{3}$, является 6.
Ответ: 6

2) б) Неравенство $\frac{421}{16} < m$ равносильно неравенству $m > \frac{421}{16}$. Чтобы найти наименьшее натуральное число $m$, преобразуем дробь, выделив целую часть: $421 \div 16 = 26$ с остатком 5. Следовательно, $\frac{421}{16} = 26\frac{5}{16}$. Неравенство принимает вид $m > 26\frac{5}{16}$. Наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим этому условию, является 27.
Ответ: 27

788. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $2\frac{1}{3} < \frac{x}{3} < 3\frac{2}{3}$;

2) $1\frac{5}{12} < \frac{17}{x} < 2\frac{1}{8}$.

1)

Дано двойное неравенство $2\frac{1}{3} < \frac{x}{3} < 3\frac{2}{3}$.

Для решения необходимо найти все натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству.

Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Шаг 2: Подставим полученные дроби обратно в неравенство.

$\frac{7}{3} < \frac{x}{3} < \frac{11}{3}$

Шаг 3: Умножим все части неравенства на общий знаменатель 3. Так как 3 - положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$3 \cdot \frac{7}{3} < 3 \cdot \frac{x}{3} < 3 \cdot \frac{11}{3}$

$7 < x < 11$

Шаг 4: Найдем все натуральные числа, которые находятся в интервале между 7 и 11.

Натуральные числа, которые больше 7 и меньше 11, это 8, 9 и 10.

Ответ: 8, 9, 10.

2)

Дано двойное неравенство $1\frac{5}{12} < \frac{17}{x} < 2\frac{1}{8}$.

По условию $x$ является натуральным числом, следовательно $x > 0$.

Шаг 1: Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

Шаг 2: Подставим полученные дроби в неравенство.

$\frac{17}{12} < \frac{17}{x} < \frac{17}{8}$

Шаг 3: Решим полученное неравенство. Все части неравенства положительны. Числители у всех дробей одинаковы. Для дробей с одинаковыми положительными числителями верно правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Следовательно, для знаменателей будет верно обратное неравенство:

$12 > x > 8$

Шаг 4: Запишем неравенство в более привычном виде и найдем все натуральные числа $x$, удовлетворяющие ему.

$8 < x < 12$

Натуральные числа, которые больше 8 и меньше 12, это 9, 10 и 11.

Ответ: 9, 10, 11.

789. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $3\frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$;

2) $3\frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8\frac{1}{3}$.

1) $3\frac{11}{15} < \frac{x}{15} < 4$

Для решения этого неравенства представим его левую и правую части в виде неправильных дробей со знаменателем 15.

Преобразуем смешанное число $3\frac{11}{15}$ в неправильную дробь:

$3\frac{11}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 11}{15} = \frac{45 + 11}{15} = \frac{56}{15}$

Представим число 4 в виде дроби со знаменателем 15:

$4 = \frac{4 \cdot 15}{15} = \frac{60}{15}$

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$\frac{56}{15} < \frac{x}{15} < \frac{60}{15}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители:

$56 < x < 60$

По условию, $x$ - натуральное число. Натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству, это 57, 58 и 59.

Ответ: 57, 58, 59.

2) $3\frac{1}{8} < \frac{25}{x} < 8\frac{1}{3}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$

$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$\frac{25}{8} < \frac{25}{x} < \frac{25}{3}$

Мы имеем двойное неравенство, в котором все числители одинаковы и равны 25. Так как $x$ - натуральное число, $x > 0$. При сравнении дробей с одинаковыми положительными числителями, большей является та дробь, у которой знаменатель меньше. Следовательно, для знаменателей будет верно обратное неравенство:

$8 > x > 3$

Или, что то же самое:

$3 < x < 8$

Натуральные значения $x$, которые удовлетворяют этому неравенству, это 4, 5, 6, 7.

Ответ: 4, 5, 6, 7.

790. При каких натуральных значениях a является верным неравенство, левая часть которого — неправильная дробь:

1) $\frac{20}{a} < 2;$

2) $\frac{4}{a} > a?$

Для решения задачи необходимо найти натуральные значения $a$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Неравенство является верным.
2. Дробь в левой части неравенства является неправильной.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

1) $\frac{20}{a} < 2$

Сначала определим, при каких натуральных $a$ дробь $\frac{20}{a}$ является неправильной. Для этого числитель должен быть больше или равен знаменателю: $20 \ge a$. Так как $a$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 20 включительно.

Теперь решим неравенство $\frac{20}{a} < 2$. Поскольку $a$ — натуральное число, оно положительно ($a > 0$). Мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $20 < 2a$ Разделим обе части на 2: $10 < a$, или $a > 10$.

Объединим оба условия: $a$ должно быть натуральным числом, большим 10, но не превышающим 20. Этим условиям удовлетворяют числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2) $\frac{4}{a} > a$

Определим, при каких натуральных $a$ дробь $\frac{4}{a}$ является неправильной. Числитель должен быть больше или равен знаменателю: $4 \ge a$. Таким образом, возможные натуральные значения $a$: 1, 2, 3, 4.

Теперь решим неравенство $\frac{4}{a} > a$. Умножим обе части на $a$ (так как $a$ — натуральное, $a > 0$): $4 > a \cdot a$ $4 > a^2$, или $a^2 < 4$.

Проверим, какие из найденных ранее возможных значений $a$ (1, 2, 3, 4) удовлетворяют условию $a^2 < 4$:

• При $a=1$: $1^2 = 1$. Неравенство $1 < 4$ верно.
• При $a=2$: $2^2 = 4$. Неравенство $4 < 4$ неверно.
• При $a=3$: $3^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ неверно.
• При $a=4$: $4^2 = 16$. Неравенство $16 < 4$ неверно.

Единственное значение, которое удовлетворяет всем условиям, — это $a=1$.

Ответ: 1.

791. При каких натуральных значениях $a$ является верным неравенство $\frac{10}{a} > a$, левая часть которого — неправильная дробь?

Для решения задачи необходимо найти все натуральные значения $a$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Дробь $\frac{10}{a}$ является неправильной.
2. Неравенство $\frac{10}{a} > a$ является верным.

Сначала рассмотрим первое условие. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. В данном случае числитель равен 10, а знаменатель равен $a$. Следовательно, должно выполняться неравенство:
$10 \ge a$

Поскольку по условию $a$ — натуральное число ($a \in \{1, 2, 3, ...\}$), то из первого условия мы получаем, что $a$ может принимать следующие значения: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.

Теперь рассмотрим второе условие: $\frac{10}{a} > a$.
Так как $a$ является натуральным числом, оно положительно ($a > 0$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не изменяя знак неравенства:
$10 > a \cdot a$
$10 > a^2$
или
$a^2 < 10$

Найдем все натуральные значения $a$, для которых это неравенство верно, путем проверки:
Если $a = 1$, то $a^2 = 1^2 = 1$. Неравенство $1 < 10$ верно.
Если $a = 2$, то $a^2 = 2^2 = 4$. Неравенство $4 < 10$ верно.
Если $a = 3$, то $a^2 = 3^2 = 9$. Неравенство $9 < 10$ верно.
Если $a = 4$, то $a^2 = 4^2 = 16$. Неравенство $16 < 10$ неверно.
Для всех натуральных чисел $a$, больших 3, их квадрат будет еще больше, и неравенство также не будет выполняться.
Следовательно, второму условию удовлетворяют натуральные числа: $1, 2, 3$.

Итоговое решение должно удовлетворять обоим условиям. Для этого найдем общие значения из двух полученных наборов: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ и $\{1, 2, 3\}$.
Общими для обоих наборов являются числа $1, 2, 3$.

Ответ: $1, 2, 3$.

792. Одна из сторон треугольника в 2 раза меньше второй и на 7 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 39 см.

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина первой, самой короткой, стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия известно, что эта сторона в 2 раза меньше второй. Следовательно, вторая сторона в 2 раза больше первой, и её длина составляет $2x$ см.

Также известно, что первая сторона на 7 см меньше третьей. Значит, третья сторона на 7 см больше первой, и её длина равна $(x + 7)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 39 см. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + 2x + (x + 7) = 39$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все слагаемые с $x$:

$4x + 7 = 39$

Перенесем число 7 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$4x = 39 - 7$

$4x = 32$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

Таким образом, длина первой стороны треугольника равна 8 см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

Длина второй стороны: $2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Длина третьей стороны: $x + 7 = 8 + 7 = 15$ см.

Проверим полученный результат, сложив длины сторон: $8 + 16 + 15 = 39$ см. Периметр совпадает с условием задачи.

Ответ: стороны треугольника равны 8 см, 16 см и 15 см.