Номер 790, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

790. При каких натуральных значениях a является верным неравенство, левая часть которого — неправильная дробь:

1) $\frac{20}{a} < 2;$

2) $\frac{4}{a} > a?$

Для решения задачи необходимо найти натуральные значения $a$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Неравенство является верным.
2. Дробь в левой части неравенства является неправильной.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

1) $\frac{20}{a} < 2$

Сначала определим, при каких натуральных $a$ дробь $\frac{20}{a}$ является неправильной. Для этого числитель должен быть больше или равен знаменателю: $20 \ge a$. Так как $a$ — натуральное число, то оно может принимать значения от 1 до 20 включительно.

Теперь решим неравенство $\frac{20}{a} < 2$. Поскольку $a$ — натуральное число, оно положительно ($a > 0$). Мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $20 < 2a$ Разделим обе части на 2: $10 < a$, или $a > 10$.

Объединим оба условия: $a$ должно быть натуральным числом, большим 10, но не превышающим 20. Этим условиям удовлетворяют числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

2) $\frac{4}{a} > a$

Определим, при каких натуральных $a$ дробь $\frac{4}{a}$ является неправильной. Числитель должен быть больше или равен знаменателю: $4 \ge a$. Таким образом, возможные натуральные значения $a$: 1, 2, 3, 4.

Теперь решим неравенство $\frac{4}{a} > a$. Умножим обе части на $a$ (так как $a$ — натуральное, $a > 0$): $4 > a \cdot a$ $4 > a^2$, или $a^2 < 4$.

Проверим, какие из найденных ранее возможных значений $a$ (1, 2, 3, 4) удовлетворяют условию $a^2 < 4$:

• При $a=1$: $1^2 = 1$. Неравенство $1 < 4$ верно.
• При $a=2$: $2^2 = 4$. Неравенство $4 < 4$ неверно.
• При $a=3$: $3^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ неверно.
• При $a=4$: $4^2 = 16$. Неравенство $16 < 4$ неверно.

Единственное значение, которое удовлетворяет всем условиям, — это $a=1$.

Ответ: 1.