Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько единиц в каждом из разрядов в числе:

1) 16;

2) 234;

3) 4,7;

4) 52,68;

5) 10,19;

6) 3,507;

7) 506,0506;

8) 78,1002030?

1) 16;

Число 16 — это целое число. Оно состоит из 1 десятка и 6 единиц. Таким образом, в разряде десятков находится 1 единица, а в разряде единиц — 6 единиц.

Ответ: в разряде десятков – 1 единица, в разряде единиц – 6 единиц.

2) 234;

Число 234 — это целое число. Оно состоит из 2 сотен, 3 десятков и 4 единиц. Таким образом, в разряде сотен находится 2 единицы, в разряде десятков — 3 единицы, а в разряде единиц — 4 единицы.

Ответ: в разряде сотен – 2 единицы, в разряде десятков – 3 единицы, в разряде единиц – 4 единицы.

3) 4,7;

Число 4,7 — это десятичная дробь. Целая часть равна 4, дробная — 7. В разряде единиц находится 4 единицы, а в разряде десятых — 7 единиц.

Ответ: в разряде единиц – 4 единицы, в разряде десятых – 7 единиц.

4) 52,68;

Число 52,68 — это десятичная дробь. Целая часть (52) состоит из 5 десятков и 2 единиц. Дробная часть (68) состоит из 6 десятых и 8 сотых. Таким образом, в разряде десятков – 5 единиц, в разряде единиц – 2 единицы, в разряде десятых – 6 единиц, в разряде сотых – 8 единиц.

Ответ: в разряде десятков – 5 единиц, в разряде единиц – 2 единицы, в разряде десятых – 6 единиц, в разряде сотых – 8 единиц.

5) 10,19;

Число 10,19 — это десятичная дробь. Целая часть (10) состоит из 1 десятка и 0 единиц. Дробная часть (19) состоит из 1 десятой и 9 сотых. Таким образом, в разряде десятков – 1 единица, в разряде единиц – 0 единиц, в разряде десятых – 1 единица, в разряде сотых – 9 единиц.

Ответ: в разряде десятков – 1 единица, в разряде единиц – 0 единиц, в разряде десятых – 1 единица, в разряде сотых – 9 единиц.

6) 3,507;

Число 3,507 — это десятичная дробь. Целая часть (3) состоит из 3 единиц. Дробная часть (507) состоит из 5 десятых, 0 сотых и 7 тысячных. Таким образом, в разряде единиц – 3 единицы, в разряде десятых – 5 единиц, в разряде сотых – 0 единиц, в разряде тысячных – 7 единиц.

Ответ: в разряде единиц – 3 единицы, в разряде десятых – 5 единиц, в разряде сотых – 0 единиц, в разряде тысячных – 7 единиц.

7) 506,0506;

Число 506,0506 — это десятичная дробь. Целая часть (506) состоит из 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц. Дробная часть (0506) состоит из 0 десятых, 5 сотых, 0 тысячных и 6 десятитысячных. Таким образом, в разряде сотен – 5 единиц, в разряде десятков – 0 единиц, в разряде единиц – 6 единиц, в разряде десятых – 0 единиц, в разряде сотых – 5 единиц, в разряде тысячных – 0 единиц, в разряде десятитысячных – 6 единиц.

Ответ: в разряде сотен – 5 единиц, в разряде десятков – 0 единиц, в разряде единиц – 6 единиц, в разряде десятых – 0 единиц, в разряде сотых – 5 единиц, в разряде тысячных – 0 единиц, в разряде десятитысячных – 6 единиц.

8) 78,1002030?

Число 78,1002030 — это десятичная дробь. Конечный ноль в дробной части не меняет значения числа ($78,1002030 = 78,100203$), но он занимает разряд десятимиллионных. Целая часть (78) состоит из 7 десятков и 8 единиц. Дробная часть (1002030) состоит из 1 десятой, 0 сотых, 0 тысячных, 2 десятитысячных, 0 стотысячных, 3 миллионных и 0 десятимиллионных.

Ответ: в разряде десятков – 7 единиц, в разряде единиц – 8 единиц, в разряде десятых – 1 единица, в разряде сотых – 0 единиц, в разряде тысячных – 0 единиц, в разряде десятитысячных – 2 единицы, в разряде стотысячных – 0 единиц, в разряде миллионных – 3 единицы, в разряде десятимиллионных – 0 единиц.

2. Какая из следующих десятичных дробей равна дроби $ \frac{25}{100\,000} $:

1) 0,0025;

2) 0,25000;

3) 0,00025;

4) 0,20005?

Для того чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{25}{100000} $ в десятичную, необходимо посмотреть на знаменатель. Знаменатель $100000$ — это единица с пятью нулями. Количество нулей в знаменателе указывает, сколько знаков должно быть после запятой в десятичной дроби. В данном случае их пять.

Числитель дроби — 25. Чтобы получить десятичную дробь с пятью знаками после запятой, нужно разместить число 25 так, чтобы последняя цифра (5) стояла на пятом месте после запятой. Недостающие места слева от числа 25 заполняются нулями.

Таким образом, получаем $0,00025$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) $0,0025 = \frac{25}{10000}$ (четыре знака после запятой)

2) $0,25000 = 0,25 = \frac{25}{100}$ (два знака после запятой)

3) $0,00025 = \frac{25}{100000}$ (пять знаков после запятой)

4) $0,20005 = \frac{20005}{100000}$

Правильным является вариант ответа под номером 3, так как он соответствует исходной дроби.

Ответ: 3) 0,00025

3. Сравните числа:

1) 3 710 и 3 709;

2) 43 672 и 43 701;

3) $ \frac{14}{17} $ и $ \frac{17}{15} $;

4) $ \frac{9}{46} $ и $ \frac{9}{64} $.

1) Для сравнения чисел $3 \ 710$ и $3 \ 709$ посмотрим на их разряды, начиная со старшего. Разряды тысяч (3) и сотен (7) у обоих чисел совпадают. В разряде десятков у первого числа стоит цифра 1, а у второго — 0. Поскольку $1 > 0$, то число $3 \ 710$ больше, чем $3 \ 709$.
Ответ: $3 \ 710 > 3 \ 709$.

2) Для сравнения чисел $43 \ 672$ и $43 \ 701$ также сравним их поразрядно. Разряды десятков тысяч (4) и тысяч (3) у чисел совпадают. В разряде сотен у первого числа стоит цифра 6, а у второго — 7. Поскольку $6 < 7$, то число $43 \ 672$ меньше, чем $43 \ 701$.
Ответ: $43 \ 672 < 43 \ 701$.

3) Сравним дроби $\frac{14}{17}$ и $\frac{17}{15}$.
Дробь $\frac{14}{17}$ является правильной, так как ее числитель меньше знаменателя ($14 < 17$), следовательно, $\frac{14}{17} < 1$.
Дробь $\frac{17}{15}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя ($17 > 15$), следовательно, $\frac{17}{15} > 1$.
Так как любое число, меньшее 1, меньше любого числа, большего 1, то $\frac{14}{17} < \frac{17}{15}$.
Ответ: $\frac{14}{17} < \frac{17}{15}$.

4) Сравним дроби $\frac{9}{46}$ и $\frac{9}{64}$.
У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели: $46 < 64$. Следовательно, дробь со знаменателем 46 будет больше дроби со знаменателем 64.
Ответ: $\frac{9}{46} > \frac{9}{64}$.

4. Вычислите:

1) $48 + 72 : 12 - 6;$

2) $48 + 72 : (12 - 6);$

3) $(48 + 72) : 12 - 6;$

4) $(48 + 72) : (12 - 6).$

Для решения данных примеров необходимо соблюдать правильный порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (слева направо).

1. Сначала выполняем деление: $72 : 12 = 6$.

2. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку: $48 + 6 - 6 = 54 - 6 = 48$.

Полное решение: $48 + 72 : 12 - 6 = 48 + 6 - 6 = 48$.

Ответ: 48

1. Сначала выполняем действие в скобках: $12 - 6 = 6$.

2. Затем выполняем деление: $72 : 6 = 12$.

3. В конце выполняем сложение: $48 + 12 = 60$.

Полное решение: $48 + 72 : (12 - 6) = 48 + 72 : 6 = 48 + 12 = 60$.

Ответ: 60

1. Сначала выполняем действие в скобках: $48 + 72 = 120$.

2. Затем выполняем деление: $120 : 12 = 10$.

3. В конце выполняем вычитание: $10 - 6 = 4$.

Полное решение: $(48 + 72) : 12 - 6 = 120 : 12 - 6 = 10 - 6 = 4$.

Ответ: 4

1. Сначала выполняем действие в первой скобке: $48 + 72 = 120$.

2. Затем выполняем действие во второй скобке: $12 - 6 = 6$.

3. В конце выполняем деление результатов: $120 : 6 = 20$.

Полное решение: $(48 + 72) : (12 - 6) = 120 : 6 = 20$.

Ответ: 20

820. Запишите десятичную дробь:

1) с двумя цифрами после запятой, равную числу $0,4$;

2) с четырьмя цифрами после запятой, равную числу $3,26$;

3) с тремя цифрами после запятой, равную числу $42$;

4) с двумя цифрами после запятой, равную числу $18,50000$.

1) Исходное число — 0,4. Оно имеет одну цифру после запятой. Чтобы получить равную ему десятичную дробь с двумя цифрами после запятой, нужно воспользоваться свойством десятичных дробей: значение дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать нули. В данном случае дописываем один ноль.
$0,4 = 0,40$
Полученная дробь 0,40 имеет две цифры после запятой (4 и 0) и равна исходному числу 0,4.
Ответ: 0,40.

2) Исходное число — 3,26. Оно имеет две цифры после запятой. Чтобы получить равную ему десятичную дробь с четырьмя цифрами после запятой, нужно дописать в конец дробной части недостающее количество нулей. Требуется 4 цифры, а имеется 2, значит, нужно дописать $4 - 2 = 2$ нуля.
$3,26 = 3,2600$
Полученная дробь 3,2600 имеет четыре цифры после запятой (2, 6, 0 и 0) и равна исходному числу 3,26.
Ответ: 3,2600.

3) Исходное число — 42. Это целое число. Любое целое число можно представить в виде десятичной дроби, поставив после него запятую и дописав необходимое количество нулей. Чтобы получить дробь с тремя цифрами после запятой, нужно дописать три нуля.
$42 = 42,000$
Полученная дробь 42,000 имеет три цифры после запятой (0, 0 и 0) и равна исходному числу 42.
Ответ: 42,000.

4) Исходное число — 18,50000. Оно имеет пять цифр после запятой. Чтобы получить равную ему десятичную дробь с двумя цифрами после запятой, нужно воспользоваться свойством десятичных дробей: значение дроби не изменится, если в конце её дробной части отбросить нули. В данном случае нужно оставить две цифры после запятой, поэтому отбрасываем три последних нуля.
$18,50000 = 18,50$
Полученная дробь 18,50 имеет две цифры после запятой (5 и 0) и равна исходному числу 18,50000.
Ответ: 18,50.

821. Запишите несколько десятичных дробей, равных данной:

1) 5,400;

2) 12,5080;

3) 0,980.

Основное свойство десятичной дроби гласит, что значение дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить любое количество нулей. Воспользуемся этим свойством для нахождения нескольких десятичных дробей, равных данным.

1) Дана дробь 5,400. В конце её дробной части стоят два нуля. Мы можем отбросить один или оба этих нуля, чтобы получить равные дроби.
Отбросим один ноль: $5,400 = 5,40$.
Отбросим два нуля: $5,400 = 5,4$.
Также можно дописать ещё один ноль в конце: $5,400 = 5,4000$.
Ответ: 5,40; 5,4; 5,4000.

2) Дана дробь 12,5080. В конце её дробной части стоит один ноль. Мы можем отбросить этот ноль или приписать дополнительные нули.
Отбросим конечный ноль: $12,5080 = 12,508$.
Припишем ещё один ноль в конце: $12,5080 = 12,50800$.
Ответ: 12,508; 12,50800.

3) Дана дробь 0,980. В конце её дробной части стоит один ноль. Мы можем отбросить этот ноль или приписать дополнительные нули.
Отбросим конечный ноль: $0,980 = 0,98$.
Припишем ещё один ноль в конце: $0,980 = 0,9800$.
Ответ: 0,98; 0,9800.

822. Уравняйте количество цифр после запятой в данных дробях:

1) 2,16; 18,5; 0,476; 1,4;

2) 8,1; 19,64; 5,345; 0,9872.

1) Чтобы уравнять количество цифр после запятой в дробях $2,16; 18,5; 0,476; 1,4$, необходимо найти дробь с наибольшим количеством знаков в дробной части. В данном наборе это дробь $0,476$, у которой три цифры после запятой.

Теперь нужно привести остальные дроби к трем знакам после запятой, добавив в конце недостающие нули. Добавление нулей справа в дробной части не изменяет значение дроби.

• $2,16$ имеет две цифры после запятой, добавляем один ноль: $2,160$.
• $18,5$ имеет одну цифру после запятой, добавляем два ноля: $18,500$.
• $1,4$ имеет одну цифру после запятой, добавляем два ноля: $1,400$.
• $0,476$ уже имеет три цифры после запятой.

В результате получаем следующий набор дробей: $2,160; 18,500; 0,476; 1,400$.

Ответ: $2,160; 18,500; 0,476; 1,400$.

2) В наборе дробей $8,1; 19,64; 5,345; 0,9872$ наибольшее количество цифр после запятой у дроби $0,9872$ — четыре цифры. Приведем все дроби к этому количеству знаков.

• $8,1$ имеет одну цифру после запятой, добавляем три ноля: $8,1000$.
• $19,64$ имеет две цифры после запятой, добавляем два ноля: $19,6400$.
• $5,345$ имеет три цифры после запятой, добавляем один ноль: $5,3450$.
• $0,9872$ уже имеет четыре цифры после запятой.

В результате получаем следующий набор дробей: $8,1000; 19,6400; 5,3450; 0,9872$.

Ответ: $8,1000; 19,6400; 5,3450; 0,9872$.

823. Сравните числа:

1) $9,4$ и $9,6$;

2) $5,5$ и $4,8$;

3) $6,3$ и $6,31$;

4) $3,29$ и $3,316$;

5) $0,3$ и $0,08$;

6) $7,2$ и $7,094$.

1) Для сравнения чисел 9,4 и 9,6 сначала посмотрим на их целые части. Они одинаковы и равны 9. Затем сравним дробные части, начиная с разряда десятых. В числе 9,4 в разряде десятых стоит цифра 4, а в числе 9,6 — цифра 6. Так как $4 < 6$, то $9,4 < 9,6$.

Ответ: $9,4 < 9,6$.

2) Для сравнения чисел 5,5 и 4,8 начнем с их целых частей. Целая часть числа 5,5 равна 5, а целая часть числа 4,8 равна 4. Так как $5 > 4$, то число 5,5 больше числа 4,8.

Ответ: $5,5 > 4,8$.

3) Для сравнения чисел 6,3 и 6,31 сначала посмотрим на их целые части. Они одинаковы и равны 6. Сравним разряды десятых: они также одинаковы и равны 3. Чтобы продолжить сравнение, уравняем количество знаков после запятой, дописав к числу 6,3 ноль справа. Получим число 6,30, которое равно 6,3. Теперь сравним разряды сотых у чисел 6,30 и 6,31. В первом числе это 0, во втором — 1. Так как $0 < 1$, то $6,30 < 6,31$, а значит и $6,3 < 6,31$.

Ответ: $6,3 < 6,31$.

4) Для сравнения чисел 3,29 и 3,316 сначала посмотрим на их целые части. Они одинаковы и равны 3. Затем сравним цифры в разряде десятых. У числа 3,29 это 2, а у числа 3,316 — это 3. Так как $2 < 3$, то $3,29 < 3,316$.

Ответ: $3,29 < 3,316$.

5) Для сравнения чисел 0,3 и 0,08 сначала посмотрим на их целые части. Они одинаковы и равны 0. Затем сравним цифры в разряде десятых. У числа 0,3 это 3, а у числа 0,08 — это 0. Так как $3 > 0$, то $0,3 > 0,08$.

Ответ: $0,3 > 0,08$.

6) Для сравнения чисел 7,2 и 7,094 сначала посмотрим на их целые части. Они одинаковы и равны 7. Затем сравним цифры в разряде десятых. У числа 7,2 это 2, а у числа 7,094 — это 0. Так как $2 > 0$, то $7,2 > 7,094$.

Ответ: $7,2 > 7,094$.

824. Сравните числа:

1) 16,8 и 17,3;

2) 12,7 и 12,5;

3) 24,92 и 24,9;

4) 18,486 и 18,5;

5) 0,065 и 0,1;

6) 96,35 и 96,087.

1) Для сравнения чисел 16,8 и 17,3 сначала сравниваем их целые части. Целая часть числа 16,8 равна 16, а целая часть числа 17,3 равна 17. Поскольку $16 < 17$, то и всё число 16,8 меньше, чем 17,3.
Ответ: $16,8 < 17,3$.

2) Для сравнения чисел 12,7 и 12,5 мы видим, что их целые части одинаковы и равны 12. Поэтому переходим к сравнению дробных частей. Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это 7, у второго — 5. Так как $7 > 5$, то первое число больше второго.
Ответ: $12,7 > 12,5$.

3) Сравнивая числа 24,92 и 24,9, замечаем, что их целые части равны 24. Цифры в разряде десятых также одинаковы — это 9. Чтобы продолжить сравнение, уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль в конце второго числа: 24,9 = 24,90. Теперь сравниваем цифры в разряде сотых: у числа 24,92 это 2, а у числа 24,90 это 0. Поскольку $2 > 0$, то $24,92 > 24,90$.
Ответ: $24,92 > 24,9$.

4) При сравнении чисел 18,486 и 18,5 их целые части равны 18. Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это 4, а у второго — 5. Так как $4 < 5$, то первое число меньше второго, и дальнейшее сравнение младших разрядов не требуется.
Ответ: $18,486 < 18,5$.

5) Сравнивая числа 0,065 и 0,1, видим, что их целые части равны 0. Переходим к сравнению цифр в разряде десятых. У числа 0,065 в разряде десятых стоит 0, а у числа 0,1 — 1. Поскольку $0 < 1$, то первое число меньше второго.
Ответ: $0,065 < 0,1$.

6) В числах 96,35 и 96,087 целые части одинаковы и равны 96. Сравниваем цифры в разряде десятых: у первого числа это 3, а у второго — 0. Так как $3 > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $96,35 > 96,087$.

825. Запишите числа в порядке убывания: 8,5; 8,16; 8,4; 8,49; 8,05; 8,61.

Чтобы расположить данные десятичные дроби в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), необходимо их сравнить между собой. Дан следующий ряд чисел: 8,5; 8,16; 8,4; 8,49; 8,05; 8,61.

1. Сравнение десятичных дробей начинается с целой части (числа слева от запятой). В данном случае у всех чисел целая часть одинакова и равна 8.

2. Поскольку целые части равны, необходимо сравнить дробные части (числа справа от запятой). Для удобства сравнения приведём все числа к одинаковому количеству знаков после запятой. Максимальное количество знаков в этом ряду — два (у чисел 8,16, 8,49, 8,05 и 8,61). Поэтому добавим справа ноль к числам, у которых один знак после запятой. Это не изменит их значения.

$8,5 = 8,50$
$8,4 = 8,40$

3. Теперь наш ряд чисел выглядит так: 8,50; 8,16; 8,40; 8,49; 8,05; 8,61. Так как целые части равны, мы можем сравнить их дробные части, как обычные целые числа: 50, 16, 40, 49, 05, 61.

4. Расположим эти числа в порядке убывания:

$61 > 50 > 49 > 40 > 16 > 5$

5. Теперь, используя этот порядок, запишем соответствующие десятичные дроби, помня, что 8,50 это 8,5, а 8,40 это 8,4:

8,61; 8,5; 8,49; 8,4; 8,16; 8,05.

Ответ: 8,61; 8,5; 8,49; 8,4; 8,16; 8,05.

826. Запишите числа в порядке возрастания: $9,6$; $9,8$; $9,53$; $9,02$; $9,2$; $9,613$.

Чтобы записать числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить между собой. Сравнение десятичных дробей производят поразрядно, слева направо, начиная с самого старшего разряда.

Данные числа: 9,6; 9,8; 9,53; 9,02; 9,2; 9,613.

Шаг 1: Сравнение целых частей

У всех данных чисел целая часть одинакова и равна 9. Поэтому для сравнения чисел необходимо перейти к их дробным частям.

Шаг 2: Сравнение дробных частей

Для удобства сравнения можно привести все числа к одинаковому количеству знаков после запятой. Максимальное количество знаков после запятой у числа 9,613, и оно равно трем. Допишем справа нули к остальным числам, чтобы у них тоже стало по три знака в дробной части:

• $9,6 = 9,600$
• $9,8 = 9,800$
• $9,53 = 9,530$
• $9,02 = 9,020$
• $9,2 = 9,200$
• $9,613 = 9,613$

Теперь, когда целые части равны и количество знаков в дробной части одинаково, мы можем сравнить дробные части как целые числа: 600, 800, 530, 20, 200, 613.

Шаг 3: Упорядочивание чисел

Расположим эти числа в порядке возрастания (от меньшего к большему):

$20 < 200 < 530 < 600 < 613 < 800$

Этот порядок соответствует следующему порядку исходных десятичных дробей:

$9,020 < 9,200 < 9,530 < 9,600 < 9,613 < 9,800$

Шаг 4: Запись итогового ответа

Теперь запишем исходные числа в полученном порядке, убрав незначащие нули, которые мы добавляли для удобства сравнения.

Ответ: 9,02; 9,2; 9,53; 9,6; 9,613; 9,8.

827. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $4,45 < x < 7,002$;

2) $9,8 < x < 13,4$.

1) Рассмотрим неравенство $4,45 < x < 7,002$.

По условию задачи, $x$ — это натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, ...$).

Неравенство является строгим, это означает, что $x$ должен быть строго больше $4,45$ и строго меньше $7,002$.

Найдем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию.

• Первое натуральное число, которое больше $4,45$, — это $5$. Проверяем: $4,45 < 5 < 7,002$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $6$. Проверяем: $4,45 < 6 < 7,002$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $7$. Проверяем: $4,45 < 7 < 7,002$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $8$. Проверяем: $4,45 < 8 < 7,002$. Это неверно, так как $8 > 7,002$.

Следовательно, искомые натуральные значения $x$ — это $5, 6, 7$.

Ответ: 5, 6, 7.

2) Рассмотрим неравенство $9,8 < x < 13,4$.

По условию задачи, $x$ — это натуральное число.

Неравенство является строгим, это означает, что $x$ должен быть строго больше $9,8$ и строго меньше $13,4$.

Найдем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию.

• Первое натуральное число, которое больше $9,8$, — это $10$. Проверяем: $9,8 < 10 < 13,4$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $11$. Проверяем: $9,8 < 11 < 13,4$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $12$. Проверяем: $9,8 < 12 < 13,4$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $13$. Проверяем: $9,8 < 13 < 13,4$. Это верно.
• Следующее натуральное число — $14$. Проверяем: $9,8 < 14 < 13,4$. Это неверно, так как $14 > 13,4$.

Следовательно, искомые натуральные значения $x$ — это $10, 11, 12, 13$.

Ответ: 10, 11, 12, 13.