Страница 212 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из двух десятичных дробей с неравными целыми частями больше?

Для того чтобы определить, какая из двух десятичных дробей с неравными целыми частями больше, необходимо сравнить именно их целые части (числа, стоящие до запятой). Дробная часть (цифры после запятой) в данном случае не будет влиять на результат сравнения.

Правило: Из двух десятичных дробей с разными целыми частями больше та, у которой целая часть больше.

Объяснение:

Любая положительная десятичная дробь представляет собой сумму её целой части и дробной части. При этом дробная часть всегда меньше единицы.

Рассмотрим две десятичные дроби $A$ и $B$.
Пусть $A = a,d_1d_2...$ и $B = b,e_1e_2...$, где $a$ и $b$ — это целые части, а $0,d_1d_2...$ и $0,e_1e_2...$ — это дробные части.

По условию, целые части не равны ($a \neq b$). Предположим, что $a > b$.

Так как $a$ и $b$ являются целыми числами, то неравенство $a > b$ означает, что $a$ как минимум на 1 больше, чем $b$, то есть $a \ge b+1$.

Сравним значение дроби $A$ со значением $b+1$.$A = a + 0,d_1d_2... \ge (b+1) + 0,d_1d_2...$Поскольку дробная часть $0,d_1d_2...$ всегда неотрицательна, то $A \ge b+1$.

Теперь рассмотрим дробь $B$:$B = b + 0,e_1e_2...$По определению, любая дробная часть $0,e_1e_2...$ строго меньше 1. Следовательно, $B < b+1$.

Таким образом, мы имеем два неравенства: $A \ge b+1$ и $B < b+1$. Из этого следует, что $A > B$.

Пример:

Сравним числа $12,34$ и $9,999$.

1. Целая часть числа $12,34$ равна 12.
2. Целая часть числа $9,999$ равна 9.
3. Сравниваем целые части: $12 > 9$.
4. Следовательно, $12,34 > 9,999$, несмотря на то, что дробная часть у второго числа (999) больше, чем у первого (34).

Ответ: Больше та десятичная дробь, у которой целая часть больше.

2. Как сравнивают десятичные дроби с равными целыми частями и одинаковым количеством цифр после запятой?

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и одинаковым количеством цифр после запятой, необходимо сравнить их дробные части, рассматривая их как натуральные числа. Та дробь будет больше, у которой дробная часть больше.

Другими словами, можно мысленно отбросить запятую и сравнить получившиеся целые числа. Большей будет та дробь, которой соответствует большее число.

Пример:

Сравним десятичные дроби $25.138$ и $25.129$.

1. Сравниваем целые части. Они равны: $25 = 25$.
2. Проверяем количество цифр после запятой. Оно одинаково: по три цифры в каждой дроби.
3. Теперь сравниваем дробные части как натуральные числа: $138$ и $129$.
4. Поскольку $138 > 129$, то и исходная дробь $25.138$ больше, чем $25.129$.
Таким образом, $25.138 > 25.129$.

Ответ: Если у десятичных дробей равны целые части и одинаково количество цифр после запятой, то их сравнивают по дробным частям (как натуральные числа). Больше та дробь, у которой больше дробная часть.

3. Какую дробь мы получим, если к данной десятичной дроби припишем справа несколько нулей?

Если к десятичной дроби приписать справа один или несколько нулей, то её величина не изменится. Мы получим дробь, равную исходной.

Это правило вытекает из основного свойства дроби. Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Приписывание нуля справа к десятичной дроби равносильно умножению числителя и знаменателя соответствующей ей обыкновенной дроби на 10, что не изменяет её значения.

Рассмотрим пример с дробью $0,7$.

Представим её в виде обыкновенной дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$.

Теперь припишем к $0,7$ один ноль справа, чтобы получить $0,70$:

$0,70 = \frac{70}{100}$

Сравнивая дроби $\frac{7}{10}$ и $\frac{70}{100}$, мы видим, что вторая дробь получается из первой умножением числителя и знаменателя на 10:

$\frac{7 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{70}{100}$

Так как числитель и знаменатель умножены на одно и то же число, значение дроби не изменилось. Следовательно, $0,7 = 0,70$.

Аналогично, $0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000$ и так далее.

Ответ: Мы получим дробь, равную данной.

4. Какую дробь мы получим, если у данной десятичной дроби отбросим последние нули её записи?

Если у десятичной дроби отбросить последние нули в её записи (то есть нули, стоящие в конце дробной части), то получится дробь, равная исходной. Это одно из основных свойств десятичных дробей.

Рассмотрим это свойство на конкретных примерах.

Пример 1: Возьмём дробь $2.70$.

Представим её в виде смешанного числа. Дробная часть $.70$ означает "семьдесят сотых": $2.70 = 2 \frac{70}{100}$.

Теперь отбросим последний ноль у исходной десятичной дроби, получив $2.7$. Представим эту дробь в виде смешанного числа. Дробная часть $.7$ означает "семь десятых": $2.7 = 2 \frac{7}{10}$.

Сравним полученные обыкновенные дроби. Мы знаем, что дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число. Сократим дробь $\frac{70}{100}$, разделив числитель и знаменатель на 10: $\frac{70}{100} = \frac{70 \div 10}{100 \div 10} = \frac{7}{10}$.

Таким образом, $2 \frac{70}{100} = 2 \frac{7}{10}$, а значит, и $2.70 = 2.7$. Отбрасывание нуля не изменило величину дроби.

Пример 2: $0.1500$.

$0.1500 = \frac{1500}{10000}$. Сократим дробь на 100: $\frac{1500 \div 100}{10000 \div 100} = \frac{15}{100}$.

Дробь $\frac{15}{100}$ в десятичной записи выглядит как $0.15$.

Следовательно, $0.1500 = 0.15$.

Отбрасывание нулей в конце записи десятичной дроби является операцией, обратной приписыванию нулей, и ни та, ни другая не меняет значения дроби.

Ответ: Мы получим дробь, равную данной.

5. Сформулируйте правило сравнения двух десятичных дробей с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой.

Для сравнения двух десятичных дробей, у которых целые части равны, а количество цифр после запятой различно, существует четкое правило. Суть его сводится к тому, чтобы привести дробные части к общему знаменателю (хотя в десятичных дробях это делается неявно) путем уравнивания количества знаков после запятой.

Правило сравнения (метод уравнивания знаков):

1. Сначала нужно уравнять количество цифр после запятой у обеих дробей. Для этого к дроби с меньшим количеством десятичных знаков дописывают справа нули. Это действие не изменяет величину дроби. Например, $5,3 = 5,30 = 5,300$.

2. После того, как количество знаков после запятой стало одинаковым, нужно отбросить запятую и сравнить получившиеся дробные части как обычные натуральные числа.

3. Большей будет та десятичная дробь, у которой дробная часть оказалась больше.

Пример:

Требуется сравнить числа $21,6$ и $21,589$.

Целые части этих дробей равны ($21=21$).

В дроби $21,6$ один знак после запятой, а в дроби $21,589$ — три знака. Уравняем количество знаков, дописав к первой дроби два нуля:

$21,6 = 21,600$

Теперь сравниваем дроби $21,600$ и $21,589$. Поскольку целые части равны, сравниваем их дробные части: $600$ и $589$.

Так как $600 > 589$, то и $21,600 > 21,589$.

Следовательно, $21,6 > 21,589$.

Альтернативный способ (поразрядное сравнение):

Можно сравнивать дроби поразрядно слева направо. Так как целые части равны, сравнение начинается с разряда десятых (первая цифра после запятой).

Снова сравним $21,6$ и $21,589$.

Смотрим на цифры в разряде десятых: у первой дроби это $6$, у второй — $5$.

Поскольку $6 > 5$, то первая дробь больше. Дальнейшее сравнение не требуется.

Этот способ часто быстрее, если первые же цифры после запятой оказываются разными.

Ответ: Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, нужно уравнять у них количество знаков после запятой, дописав нули справа к дроби с меньшим числом десятичных знаков, а затем сравнить их дробные части как натуральные числа. Больше та дробь, у которой дробная часть больше.