Страница 218 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило округления десятичных дробей.

1. Правило округления десятичных дробей можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Найти цифру в том разряде, до которого требуется округлить число. Эта цифра будет последней, которая останется в числе после округления.

2. Посмотреть на цифру, которая находится непосредственно справа от найденного разряда.

3. Если справа стоит цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то последнюю оставляемую цифру не изменяют, а все цифры, стоящие правее, отбрасывают.

4. Если справа стоит цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, а все цифры, стоящие правее, отбрасывают.

Если при увеличении на единицу цифра разряда становится равной $10$, то в этом разряде записывают $0$, а к цифре в предыдущем (более старшем) разряде прибавляют $1$.

Примеры:

а) Округлить число $42.741$ до десятых.
В разряде десятых стоит цифра $7$. Справа от нее — цифра $4$.
Так как $4 < 5$, цифру $7$ оставляем без изменений, а все последующие цифры ($4$ и $1$) отбрасываем.
$42.741 \approx 42.7$

б) Округлить число $8.576$ до сотых.
В разряде сотых стоит цифра $7$. Справа от нее — цифра $6$.
Так как $6 \ge 5$, цифру $7$ увеличиваем на единицу ($7+1=8$), а последующую цифру ($6$) отбрасываем.
$8.576 \approx 8.58$

в) Округлить число $15.952$ до десятых.
В разряде десятых стоит цифра $9$. Справа от нее — цифра $5$.
Так как $5 \ge 5$, цифру $9$ нужно увеличить на единицу. Получаем $9+1=10$. Поэтому в разряде десятых пишем $0$, а к разряду единиц прибавляем $1$ ($5+1=6$).
$15.952 \approx 16.0$ (ноль в конце записи показывает, что округление производилось до десятых).

Ответ: Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда, нужно все цифры, стоящие справа от этого разряда, отбросить. Если первая из отбрасываемых цифр — $0, 1, 2, 3$ или $4$, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Если же первая из отбрасываемых цифр — $5, 6, 7, 8$ или $9$, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

2. Сформулируйте правило округления натуральных чисел.

Округление натурального числа — это замена его близким по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр заменены нулями. Правило округления можно сформулировать в виде следующего алгоритма:

1. Найдите и подчеркните цифру того разряда, до которого нужно округлить число. Эта цифра называется округляемой.

2. Посмотрите на цифру, стоящую справа от округляемой.

3. Примените правило:

   • Если справа от округляемой цифры стоит цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то все цифры справа от округляемой заменяются нулями, а сама округляемая цифра остаётся без изменений (округление с недостатком).

   • Если справа от округляемой цифры стоит цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то все цифры справа от округляемой заменяются нулями, а сама округляемая цифра увеличивается на единицу (округление с избытком).

4. Если при увеличении на единицу округляемая цифра стала $10$ (например, была $9$), то вместо неё пишется $0$, а к цифре слева (в старшем разряде) прибавляется $1$.

Пример 1: Округление с недостатком

Округлим число $3472$ до сотен.

1. Разряд сотен — это цифра $4$. Число: $3\underline{4}72$.

2. Справа от неё стоит цифра $7$.

3. Так как $7 \ge 5$, мы увеличиваем округляемую цифру $4$ на единицу: $4 + 1 = 5$.

4. Все цифры справа от разряда сотен ($7$ и $2$) заменяем нулями.

Результат: $3500$. Записывается это так: $3472 \approx 3500$.

Пример 2: Округление с избытком

Округлим число $18394$ до тысяч.

1. Разряд тысяч — это цифра $8$. Число: $1\underline{8}394$.

2. Справа от неё стоит цифра $3$.

3. Так как $3 < 5$, мы оставляем округляемую цифру $8$ без изменений.

4. Все цифры справа от разряда тысяч ($3$, $9$ и $4$) заменяем нулями.

Результат: $18000$. Записывается это так: $18394 \approx 18000$.

Пример 3: Округление с переходом через разряд

Округлим число $7981$ до сотен.

1. Разряд сотен — это цифра $9$. Число: $7\underline{9}81$.

2. Справа от неё стоит цифра $8$.

3. Так как $8 \ge 5$, мы должны увеличить округляемую цифру $9$ на единицу: $9 + 1 = 10$.

4. В разряде сотен пишем $0$, а к цифре в разряде тысяч (слева) прибавляем $1$: $7 + 1 = 8$. Все цифры правее заменяем нулями.

Результат: $8000$. Записывается это так: $7981 \approx 8000$.

Ответ: Чтобы округлить натуральное число до определённого разряда, нужно все следующие за этим разрядом цифры заменить нулями. При этом, если первая из заменённых цифр была $0, 1, 2, 3$ или $4$, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений. Если же первая из заменённых цифр была $5, 6, 7, 8$ или $9$, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу.

1. Укажите, какие из следующих дробей равны:

1) 0,38;

2) $\frac{47}{1000}$;

3) 6,24;

4) 2,015;

5) 0,47;

6) 6,2400;

7) 2,105;

8) $\frac{38}{100}$;

9) 0,407;

10) 0,0470;

11) $2\frac{15}{100}$;

12) $6\frac{24}{100}$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных дробей равны, необходимо привести их к одному виду. Удобнее всего преобразовать все дроби в десятичные.

Выполним преобразования для каждой дроби:

• 1) $0,38$ — уже в виде десятичной дроби.
• 2) $\frac{47}{1000}$ — читается как "сорок семь тысячных", что в виде десятичной дроби записывается как $0,047$.
• 3) $6,24$ — уже в виде десятичной дроби.
• 4) $2,015$ — уже в виде десятичной дроби.
• 5) $0,47$ — уже в виде десятичной дроби.
• 6) $6,2400$ — нули в конце дробной части десятичной дроби не изменяют ее значения, поэтому $6,2400 = 6,24$.
• 7) $2,105$ — уже в виде десятичной дроби.
• 8) $\frac{38}{100}$ — читается как "тридцать восемь сотых", что в виде десятичной дроби записывается как $0,38$.
• 9) $0,407$ — уже в виде десятичной дроби.
• 10) $0,0470$ — нуль в конце дробной части десятичной дроби не изменяет ее значения, поэтому $0,0470 = 0,047$.
• 11) $2\frac{15}{100}$ — это смешанное число. Его можно записать как $2 + \frac{15}{100} = 2 + 0,15 = 2,15$.
• 12) $6\frac{24}{100}$ — это смешанное число. Его можно записать как $6 + \frac{24}{100} = 6 + 0,24 = 6,24$.

Теперь, когда все числа представлены в виде десятичных дробей, мы можем найти равные среди них, сгруппировав их.

Первая группа равных дробей

Сравниваем дроби 1) $0,38$ и 8) $\frac{38}{100}$.
Мы выяснили, что $\frac{38}{100} = 0,38$.
Следовательно, дроби $0,38$ и $\frac{38}{100}$ равны.
Ответ: 1) и 8).

Вторая группа равных дробей

Сравниваем дроби 2) $\frac{47}{1000}$ и 10) $0,0470$.
Мы выяснили, что $\frac{47}{1000} = 0,047$ и $0,0470 = 0,047$.
Следовательно, дроби $\frac{47}{1000}$ и $0,0470$ равны.
Ответ: 2) и 10).

Третья группа равных дробей

Сравниваем дроби 3) $6,24$, 6) $6,2400$ и 12) $6\frac{24}{100}$.
Мы выяснили, что $6,2400 = 6,24$ и $6\frac{24}{100} = 6,24$.
Следовательно, дроби $6,24$, $6,2400$ и $6\frac{24}{100}$ равны.
Ответ: 3), 6) и 12).

Остальные дроби (4) $2,015$, 5) $0,47$, 7) $2,105$, 9) $0,407$ и 11) $2,15$ не имеют равных среди представленных в списке.

2. Сравните числа:

1) $7,6$ и $7,4$; 3) $5,18$ и $5,1799$; 5) $8,4$ и $8,04$;
2) $9.1$ и $9.11$; 4) $0.06$ и $0.2$; 6) $0.1$ и $0.0987$.

1) 7,6 и 7,4
Для сравнения десятичных дробей 7,6 и 7,4 сначала сравниваем их целые части. Целые части обоих чисел равны 7.
Далее сравниваем дробные части, начиная с разряда десятых (первая цифра после запятой). У числа 7,6 в разряде десятых стоит цифра 6, а у числа 7,4 — цифра 4.
Так как $6 > 4$, то и число 7,6 больше числа 7,4.
Ответ: $7,6 > 7,4$.

2) 9,1 и 9,11
Целые части чисел 9,1 и 9,11 равны 9.
Сравниваем дробные части. В разряде десятых у обоих чисел стоит цифра 1.
Чтобы сравнить дальше, уравняем количество знаков после запятой, приписав к числу 9,1 справа ноль: $9,1 = 9,10$.
Теперь сравниваем числа 9,10 и 9,11. В разряде сотых у числа 9,10 стоит 0, а у числа 9,11 — 1.
Так как $0 < 1$, то $9,10 < 9,11$, а значит $9,1 < 9,11$.
Ответ: $9,1 < 9,11$.

3) 5,18 и 5,1799
Целые части чисел 5,18 и 5,1799 равны 5.
Сравниваем дробные части. В разряде десятых у обоих чисел стоит цифра 1.
Переходим к следующему разряду — сотым. У числа 5,18 в разряде сотых стоит цифра 8, а у числа 5,1799 — цифра 7.
Так как $8 > 7$, то число 5,18 больше числа 5,1799. Последующие цифры в числе 5,1799 уже не влияют на результат сравнения.
Ответ: $5,18 > 5,1799$.

4) 0,06 и 0,2
Целые части чисел 0,06 и 0,2 равны 0.
Сравниваем дробные части, начиная с разряда десятых. У числа 0,06 в разряде десятых стоит 0, а у числа 0,2 — цифра 2.
Так как $0 < 2$, то $0,06 < 0,2$.
Ответ: $0,06 < 0,2$.

5) 8,4 и 8,04
Целые части чисел 8,4 и 8,04 равны 8.
Сравниваем дробные части. В разряде десятых у числа 8,4 стоит цифра 4, а у числа 8,04 — цифра 0.
Так как $4 > 0$, то $8,4 > 8,04$.
Ответ: $8,4 > 8,04$.

6) 0,1 и 0,0987
Целые части чисел 0,1 и 0,0987 равны 0.
Сравниваем дробные части, начиная с разряда десятых. У числа 0,1 в разряде десятых стоит цифра 1, а у числа 0,0987 — цифра 0.
Так как $1 > 0$, то $0,1 > 0,0987$.
Ответ: $0,1 > 0,0987$.

3. Назовите наибольшую десятичную дробь, меньшую 100, содержащую две цифры после запятой.

Для решения этой задачи нам нужно найти число, которое удовлетворяет трем условиям:

1. Это десятичная дробь.
2. Она должна быть строго меньше 100.
3. Она должна содержать ровно две цифры после запятой.

Чтобы число было наибольшим из возможных, оно должно быть как можно ближе к 100. Рассмотрим число 100. С двумя знаками после запятой оно записывается как $100,00$. Нам нужно найти число, которое меньше $100,00$.

Десятичные дроби с двумя знаками после запятой представляют собой ряд чисел, идущих с шагом $0,01$ (одна сотая). Чтобы найти предыдущее число в этом ряду перед $100,00$, нужно вычесть из него этот шаг.

Выполним вычисление: $100,00 - 0,01 = 99,99$

Проверим полученное число $99,99$:

• Это десятичная дробь.
• Она меньше 100 ($99,99 < 100$).
• Она содержит ровно две цифры после запятой.

Любая другая десятичная дробь с двумя знаками после запятой, которая была бы больше $99,99$, была бы равна или больше 100 (например, следующее такое число $99,99 + 0,01 = 100,00$), что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, $99,99$ является искомым числом.

Ответ: $99,99$.

4. Назовите наименьшую десятичную дробь, большую 1 000, содержащую три цифры после запятой.

Чтобы найти наименьшую десятичную дробь, которая больше $1000$ и содержит три цифры после запятой, необходимо к числу $1000$ прибавить наименьшую возможную положительную десятичную дробь с тремя знаками после запятой.
Наименьшая положительная десятичная дробь с тремя знаками после запятой — это $0,001$. Это число соответствует одной тысячной.
Теперь сложим эти два числа:
$1000 + 0,001 = 1000,001$
Проверим условия: число $1000,001$ больше, чем $1000$, и содержит ровно три цифры после запятой ($0$, $0$ и $1$). Любое другое число, удовлетворяющее этим условиям (например, $1000,002$), будет больше, чем $1000,001$.
Ответ: $1000,001$.

5. Укажите все натуральные значения x, при которых верно неравенство $20 < x < 27.86$.

В задаче требуется найти все натуральные значения переменной $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $20 < x < 27,86$.

Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Неравенство можно разбить на две части:
1. $x > 20$. Это означает, что $x$ должен быть строго больше 20.
2. $x < 27,86$. Это означает, что $x$ должен быть строго меньше 27,86.

Мы ищем целые числа, которые находятся в интервале от 20 до 27,86, не включая границы.

Первое натуральное число, которое больше 20, — это 21.

Последнее натуральное число, которое меньше 27,86, — это 27 (поскольку следующее натуральное число, 28, уже больше 27,86).

Таким образом, нам нужно перечислить все натуральные числа от 21 до 27 включительно.

Это числа: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27.

Ответ: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27.

6. За $\frac{1}{6}$ кг сыра заплатили 40 р. Сколько надо заплатить за $1 \frac{5}{6}$ кг та-кого же сыра?

Для решения этой задачи мы можем сначала найти цену за один килограмм сыра, а затем, зная цену, вычислить стоимость необходимого количества сыра.

1. Найдем цену за 1 кг сыра.Известно, что за $ \frac{1}{6} $ кг сыра заплатили 40 рублей. Чтобы найти цену за целый килограмм (то есть за $ \frac{6}{6} $ кг), нужно стоимость $ \frac{1}{6} $ кг умножить на 6:
$ 40 \cdot 6 = 240 $ рублей.Таким образом, цена 1 кг сыра составляет 240 рублей.

2. Теперь вычислим, сколько нужно заплатить за $ 1\frac{5}{6} $ кг сыра.Сначала представим смешанное число $ 1\frac{5}{6} $ в виде неправильной дроби для удобства расчетов:
$ 1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6} $ кг.

3. Умножим цену за 1 кг на необходимое количество сыра, чтобы найти итоговую стоимость:
$ 240 \cdot \frac{11}{6} = \frac{240 \cdot 11}{6} = 40 \cdot 11 = 440 $ рублей.

Ответ: 440 рублей.

844. Округлите:

1) до десятых: $9,374$; $0,5298$; $10,444$; $54,06$; $74,95$;

2) до сотых: $13,405$; $28,2018$; $0,2375$; $18,0025$; $26,399$;

3) до единиц: $18,25$; $3,099$; $9,73$; $239,81$;

4) до тысячных: $0,5261$; $9,9999$; $1,58762$.

Для округления числа до определенного разряда необходимо посмотреть на цифру, следующую за этим разрядом. Если эта цифра от 0 до 4, то цифра в округляемом разряде остается неизменной, а все последующие цифры отбрасываются. Если же следующая цифра от 5 до 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все последующие отбрасываются.

1) до десятых: 9,374; 0,5298; 10,444; 54,06; 74,95;

Округляем до первого знака после запятой, смотрим на второй знак.
- 9,374: после цифры 3 (десятые) идет 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем 3 на 1. Получаем 9,4.
- 0,5298: после цифры 5 (десятые) идет 2. Так как $2 < 5$, оставляем 5 без изменений. Получаем 0,5.
- 10,444: после цифры 4 (десятые) идет 4. Так как $4 < 5$, оставляем 4 без изменений. Получаем 10,4.
- 54,06: после цифры 0 (десятые) идет 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем 0 на 1. Получаем 54,1.
- 74,95: после цифры 9 (десятые) идет 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем 9 на 1. Это приводит к увеличению целой части: $74,9+0,1 = 75,0$. Получаем 75,0.

Ответ: 9,4; 0,5; 10,4; 54,1; 75,0.

2) до сотых: 13,405; 28,2018; 0,2375; 18,0025; 26,399;

Округляем до второго знака после запятой, смотрим на третий знак.
- 13,405: после цифры 0 (сотые) идет 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем 0 на 1. Получаем 13,41.
- 28,2018: после цифры 0 (сотые) идет 1. Так как $1 < 5$, оставляем 0 без изменений. Получаем 28,20.
- 0,2375: после цифры 3 (сотые) идет 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем 3 на 1. Получаем 0,24.
- 18,0025: после цифры 0 (сотые) идет 2. Так как $2 < 5$, оставляем 0 без изменений. Получаем 18,00.
- 26,399: после цифры 9 (сотые) идет 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем 9 на 1. Это приводит к увеличению разряда десятых: $26,39+0,01 = 26,40$. Получаем 26,40.

Ответ: 13,41; 28,20; 0,24; 18,00; 26,40.

3) до единиц: 18,25; 3,099; 9,73; 239,81;

Округляем до целого числа, смотрим на первый знак после запятой (десятые).
- 18,25: после запятой идет 2. Так как $2 < 5$, отбрасываем дробную часть. Получаем 18.
- 3,099: после запятой идет 0. Так как $0 < 5$, отбрасываем дробную часть. Получаем 3.
- 9,73: после запятой идет 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем целую часть на 1: $9+1=10$. Получаем 10.
- 239,81: после запятой идет 8. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем целую часть на 1: $239+1=240$. Получаем 240.

Ответ: 18; 3; 10; 240.

4) до тысячных: 0,5261; 9,9999; 1,58762.

Округляем до третьего знака после запятой, смотрим на четвертый знак.
- 0,5261: после цифры 6 (тысячные) идет 1. Так как $1 < 5$, оставляем 6 без изменений. Получаем 0,526.
- 9,9999: после цифры 9 (тысячные) идет 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем 9 на 1. Это вызывает цепное увеличение старших разрядов: $9,999+0,001 = 10,000$. Получаем 10,000.
- 1,58762: после цифры 7 (тысячные) идет 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем 7 на 1. Получаем 1,588.

Ответ: 0,526; 10,000; 1,588.