Страница 222 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило сложения десятичных дробей.

Чтобы сложить десятичные дроби, необходимо выполнить следующие действия:

1. Уравнять количество знаков (цифр) после запятой в слагаемых. Если у одной дроби знаков после запятой меньше, чем у другой, нужно дописать в конец её дробной части недостающее количество нулей.

2. Записать дроби друг под другом в столбик так, чтобы запятая находилась строго под запятой. При такой записи одинаковые разряды чисел (единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми и т.д.) окажутся в одних и тех же столбцах.

3. Выполнить сложение чисел так, как если бы это были натуральные числа (игнорируя запятые). Сложение производится поразрядно, справа налево.

4. В полученной сумме поставить десятичную запятую в том же столбце, где она стоит у слагаемых, то есть под запятыми в слагаемых.

Пример:

Сложим десятичные дроби $23,7$ и $5,482$.

1. Уравняем количество знаков после запятой. У дроби $23,7$ один знак после запятой, а у дроби $5,482$ — три. Допишем к дроби $23,7$ два нуля справа, чтобы получить $23,700$.

2. Запишем дроби в столбик, располагая запятую под запятой:

 23,700+ 5,482----------

3. Выполним сложение, не обращая внимания на запятые, и поставим запятую в результате под запятыми слагаемых:

 23,700+ 5,482---------- 29,182

Таким образом, $23,7 + 5,482 = 29,182$.

Ответ: Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в них количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; 4) в полученной сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых.

2. Сформулируйте правило вычитания десятичных дробей.

Чтобы вычесть одну десятичную дробь из другой, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Уравнять количество знаков после запятой в уменьшаемом (число, из которого вычитают) и вычитаемом (число, которое вычитают). Если количество знаков отличается, то в дроби с меньшим количеством знаков после запятой нужно дописать справа необходимое число нулей.
2. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая находилась строго под запятой. В этом случае соответствующие разряды чисел (единицы под единицами, десятые под десятыми и т.д.) окажутся друг под другом.
3. Выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа, не обращая внимания на запятую.
4. В полученной разности поставить запятую на том же месте — под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Рассмотрим на примере. Найдем разность чисел $43,5$ и $7,82$.

1. Уравняем количество знаков после запятой. У числа $43,5$ один знак после запятой, а у $7,82$ — два. Допишем один ноль к числу $43,5$, чтобы получилось $43,50$.

2. Запишем дроби в столбик, запятая под запятой, и выполним вычитание:

Таким образом, $43,5 - 7,82 = 35,68$.

Ответ: Чтобы вычесть десятичные дроби, нужно сначала уравнять в них количество знаков после запятой, дописав нули. Затем записать их друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой, и выполнить вычитание как с натуральными числами. В полученном результате запятую следует поставить под запятыми исходных дробей.

1. Какая из следующих десятичных дробей равна дроби $\frac{79}{100\,000}$:

1) 0,79000;

2) 0,0079;

3) 0,00079;

4) 0,7900?

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $ \frac{79}{100000} $ в десятичную, необходимо разделить числитель (79) на знаменатель (100 000).

Деление на $100000$ (число с пятью нулями) эквивалентно переносу запятой в делимом числе на 5 знаков влево. Целое число 79 можно представить как 79,0.

Перенесем запятую в числе 79,0 на 5 позиций влево, добавляя нули по мере необходимости:
1. $7,9$ (один знак)
2. $0,79$ (два знака)
3. $0,079$ (три знака)
4. $0,0079$ (четыре знака)
5. $0,00079$ (пять знаков)

Таким образом, $ \frac{79}{100000} = 0,00079 $.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:
1) $0,79000$ - это то же самое, что $0,79$. Неверно.
2) $0,0079$ - это $ \frac{79}{10000} $. Неверно.
3) $0,00079$ - это $ \frac{79}{100000} $. Верно.
4) $0,7900$ - это то же самое, что $0,79$. Неверно.

Следовательно, правильный вариант ответа находится под номером 3.

Ответ: 3) 0,00079

2. Какая из следующих десятичных дробей наибольшая:

1) $43,56$;

2) $43,561$;

3) $43,559$;

4) $43,55$?

Чтобы определить, какая из предложенных десятичных дробей наибольшая, необходимо сравнить их поразрядно, двигаясь слева направо.

Представлены следующие числа: 43,56; 43,561; 43,559; 43,55.

1. Сравнение целой части.
У всех четырех чисел целая часть (число до запятой) одинакова и равна 43. Поэтому для определения наибольшего числа необходимо сравнить их дробные части.

2. Сравнение дробной части.
Будем сравнивать цифры после запятой по разрядам.

- Сначала сравним цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой). У всех чисел она равна 5.

- Теперь сравним цифры в разряде сотых (вторая цифра после запятой).
У чисел 43,56 и 43,561 эта цифра — 6.
У чисел 43,559 и 43,55 эта цифра — 5.
Поскольку $6 > 5$, то наибольшее число должно быть среди 43,56 и 43,561. Остальные два числа (43,559 и 43,55) меньше.

- Наконец, сравним оставшиеся два числа: 43,56 и 43,561. Для этого посмотрим на разряд тысячных (третья цифра после запятой).
У числа 43,561 в этом разряде стоит цифра 1.
У числа 43,56 в этом разряде цифры нет, что эквивалентно нулю (число можно записать как 43,560).
Поскольку $1 > 0$, то $43,561 > 43,560$.

Таким образом, наибольшей из всех предложенных дробей является 43,561.

Ответ: 43,561.

3. Какое из следующих чисел получим, если округлим десятичнуюдробь 6,27 до десятых:

1) 6,2; 2) 6,3; 3) 6,26; 4) 6,28?

Чтобы округлить десятичную дробь 6,27 до десятых, необходимо посмотреть на цифру, следующую за разрядом десятых. В данном числе это разряд сотых.

Число для округления: $6,27$.

Разряд, до которого нужно округлить: десятые. Цифра в этом разряде — 2.

Цифра, следующая за разрядом десятых (в разряде сотых): 7.

Согласно правилу округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Если она меньше 5, то цифра в округляемом разряде не изменяется.

В нашем случае цифра 7 больше 5 ($7 \ge 5$), поэтому мы должны увеличить цифру в разряде десятых на 1:

$2 + 1 = 3$

Цифры, стоящие правее разряда десятых, отбрасываются.

Таким образом, при округлении числа 6,27 до десятых мы получаем 6,3.

Среди предложенных вариантов: 1) 6,2; 2) 6,3; 3) 6,26; 4) 6,28, правильным является вариант 2).

Ответ: 6,3

4. На двух полках вместе на 20 книг больше, чем на каждой из них.
Сколько книг на каждой полке?

Для решения этой задачи можно использовать логические рассуждения или составить систему уравнений.

Способ 1: Логический

Общее количество книг на двух полках равно сумме книг на первой полке и книг на второй полке.

По условию, общее количество книг на 20 больше, чем количество книг на первой полке. Это означает, что разница между общим количеством книг и количеством книг на первой полке составляет 20. Эта разница и есть количество книг на второй полке. Следовательно, на второй полке 20 книг.

Аналогично, общее количество книг на 20 больше, чем количество книг на второй полке. Значит, разница между общим количеством и количеством на второй полке равна количеству книг на первой полке. Следовательно, на первой полке тоже 20 книг.

Способ 2: Алгебраический

Пусть $x$ – количество книг на первой полке, а $y$ – количество книг на второй полке. Общее количество книг на двух полках равно $x + y$.

Согласно условию, общее количество книг на 20 больше, чем на каждой из полок. Это можно выразить двумя уравнениями:
1) Общее количество на 20 больше, чем на первой полке: $x + y = x + 20$
2) Общее количество на 20 больше, чем на второй полке: $x + y = y + 20$

Решим первое уравнение относительно $y$:
$x + y = x + 20$
$y = x + 20 - x$
$y = 20$

Решим второе уравнение относительно $x$:
$x + y = y + 20$
$x = y + 20 - y$
$x = 20$

Таким образом, на первой полке 20 книг и на второй полке 20 книг.

Проверка:
Всего книг на двух полках: $20 + 20 = 40$.
Количество всех книг (40) больше количества книг на первой полке (20) на $40 - 20 = 20$.
Количество всех книг (40) больше количества книг на второй полке (20) на $40 - 20 = 20$.
Условия задачи выполнены.

Ответ: на каждой полке по 20 книг.

5. Сравните:

1) $2 \text{ м}$ и $200 \text{ см}$;

2) $20 \text{ см}$ и $0.2 \text{ м}$.

1) Для того чтобы сравнить 2 м и 200 см, необходимо привести их к одной единице измерения. Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Переведем 2 метра в сантиметры:
$2 \text{ м} = 2 \times 100 \text{ см} = 200 \text{ см}$.
Теперь сравним полученное значение с 200 см: $200 \text{ см} = 200 \text{ см}$.
Следовательно, 2 м и 200 см равны.
Ответ: $2 \text{ м} = 200 \text{ см}$.

2) Сравним 20 см и 0,2 м. Для этого также приведем величины к единой единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры, используя соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
$0,2 \text{ м} = 0,2 \times 100 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
Теперь сравним полученное значение с 20 см: $20 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
Таким образом, 20 см и 0,2 м равны.
Ответ: $20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$.