Страница 226 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

893. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(2,45 + 0,276) + 4,55;$

2) $(9,37 + 13,6) + 6,4;$

3) $5,12 + 3,75 + 5,25 + 4,88;$

4) $0,234 + 0,631 + 0,766 + 0,369.$

1) $(2,45 + 0,276) + 4,55$
Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Сгруппируем числа $2,45$ и $4,55$, так как сумма их дробных частей ($0,45$ и $0,55$) равна $1$.
$(2,45 + 0,276) + 4,55 = (2,45 + 4,55) + 0,276$
Сначала выполним сложение в скобках:
$2,45 + 4,55 = 7$
Затем к полученному результату прибавим оставшееся число:
$7 + 0,276 = 7,276$
Ответ: $7,276$.

2) $(9,37 + 13,6) + 6,4$
Используя сочетательное свойство сложения, изменим порядок действий. Удобнее сначала сложить $13,6$ и $6,4$, так как сумма их дробных частей ($0,6$ и $0,4$) равна $1$.
$(9,37 + 13,6) + 6,4 = 9,37 + (13,6 + 6,4)$
Вычислим сумму в скобках:
$13,6 + 6,4 = 20$
Теперь сложим полученный результат с оставшимся числом:
$9,37 + 20 = 29,37$
Ответ: $29,37$.

3) $5,12 + 3,75 + 5,25 + 4,88$
Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые так, чтобы суммы их дробных частей были целыми числами. Сложим $5,12$ с $4,88$ (так как $0,12 + 0,88 = 1$) и $3,75$ с $5,25$ (так как $0,75 + 0,25 = 1$).
$5,12 + 3,75 + 5,25 + 4,88 = (5,12 + 4,88) + (3,75 + 5,25)$
Вычислим сумму в каждой паре скобок:
$5,12 + 4,88 = 10$
$3,75 + 5,25 = 9$
Сложим полученные результаты:
$10 + 9 = 19$
Ответ: $19$.

4) $0,234 + 0,631 + 0,766 + 0,369$
Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений. Сложим $0,234$ с $0,766$ и $0,631$ с $0,369$. В этих парах суммы дробных частей дают целое число.
$0,234 + 0,631 + 0,766 + 0,369 = (0,234 + 0,766) + (0,631 + 0,369)$
Вычислим сумму в каждой паре скобок:
$0,234 + 0,766 = 1$
$0,631 + 0,369 = 1$
Сложим полученные результаты:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$.

894. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(12,82 + 8,394) + 5,18;$

2) $2,53 + 15,1 + 4,47 + 14,9.$

1) Чтобы найти значение выражения $(12,82 + 8,394) + 5,18$, воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволит нам изменить порядок действий и сгруппировать слагаемые так, чтобы вычисления были проще.
$(12,82 + 8,394) + 5,18 = 12,82 + 8,394 + 5,18 = (12,82 + 5,18) + 8,394$.
Удобно сложить $12,82$ и $5,18$, так как сумма их дробных частей равна единице ($0,82 + 0,18 = 1$).
1. Вычислим сумму в скобках:
$12,82 + 5,18 = 18$.
2. Теперь прибавим к результату оставшееся слагаемое:
$18 + 8,394 = 26,394$.
Ответ: $26,394$.

2) Чтобы найти значение выражения $2,53 + 15,1 + 4,47 + 14,9$, сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают целое число. Для этого воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения.
$2,53 + 15,1 + 4,47 + 14,9 = (2,53 + 4,47) + (15,1 + 14,9)$.
Мы сгруппировали $2,53$ и $4,47$, так как сумма их дробных частей $0,53 + 0,47 = 1$. Аналогично сгруппировали $15,1$ и $14,9$, так как $0,1 + 0,9 = 1$.
1. Вычислим сумму в первой скобке:
$2,53 + 4,47 = 7$.
2. Вычислим сумму во второй скобке:
$15,1 + 14,9 = 30$.
3. Сложим полученные результаты:
$7 + 30 = 37$.
Ответ: $37$.

895. Упростите выражение:

1) $2,46 + a + 81,139 + 14,8;$

2) $m + 0,47 + 5,062 + m + 43,295;$

3) $x + 0,3 + 0,9007 + 4,58 + 3x;$

4) $7c + 236,7 + 2c + 0,82 + 4,325.$

1) Чтобы упростить выражение, нужно сгруппировать и сложить числовые слагаемые, используя сочетательное свойство сложения.

$2,46 + a + 81,139 + 14,8 = a + (2,46 + 81,139 + 14,8)$

Выполним сложение чисел:

$2,46 + 81,139 = 83,599$

$83,599 + 14,8 = 98,399$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $a + 98,399$.

Ответ: $98,399 + a$.

2) Для упрощения этого выражения сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $m$ и числовые слагаемые.

$m + 0,47 + 5,062 + m + 43,295 = (m + m) + (0,47 + 5,062 + 43,295)$

Сложим слагаемые с переменной:

$m + m = 2m$

Сложим числовые слагаемые:

$0,47 + 5,062 = 5,532$

$5,532 + 43,295 = 48,827$

В результате получаем: $2m + 48,827$.

Ответ: $2m + 48,827$.

3) Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в выражении $x + 0,3 + 0,9007 + 4,58 + 3x$.

$(x + 3x) + (0,3 + 0,9007 + 4,58)$

Сложим слагаемые с переменной $x$:

$x + 3x = 1x + 3x = 4x$

Сложим числовые слагаемые:

$0,3 + 0,9007 = 1,2007$

$1,2007 + 4,58 = 5,7807$

Итоговое выражение: $4x + 5,7807$.

Ответ: $4x + 5,7807$.

4) В выражении $7c + 236,7 + 2c + 0,82 + 4,325$ также сгруппируем подобные слагаемые.

$(7c + 2c) + (236,7 + 0,82 + 4,325)$

Складываем слагаемые с переменной $c$:

$7c + 2c = 9c$

Складываем числовые слагаемые:

$236,7 + 0,82 = 237,52$

$237,52 + 4,325 = 241,845$

Получаем упрощенное выражение: $9c + 241,845$.

Ответ: $9c + 241,845$.

896. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

$14,36 \xrightarrow{+18,54} a \xrightarrow{-27,032} b \xrightarrow{+x} 10.$

Чтобы найти недостающие числа в цепочке, необходимо выполнить вычисления по порядку.

Нахождение числа a

Первое действие в цепочке — это сложение. Чтобы найти a, нужно к 14,36 прибавить 18,54.

$a = 14,36 + 18,54$

Выполним сложение в столбик:

$ \begin{array}{r} + \\ \end{array} \begin{array}{r} 14,36 \\ 18,54 \\ \hline 32,90 \end{array} $

Таким образом, $a = 32,9$.

Ответ: $a = 32,9$.

Нахождение числа b

Второе действие — вычитание. Чтобы найти b, нужно из полученного значения a вычесть 27,032.

$b = a - 27,032 = 32,9 - 27,032$

Выполним вычитание в столбик, уравняв количество знаков после запятой:

$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{r} 32,900 \\ 27,032 \\ \hline 5,868 \end{array} $

Следовательно, $b = 5,868$.

Ответ: $b = 5,868$.

Нахождение числа x

Третье действие — сложение. Известно, что если к числу b прибавить x, получится 10.

$b + x = 10$

Подставим найденное значение b:

$5,868 + x = 10$

Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 10 - 5,868$

Выполним вычитание в столбик:

$ \begin{array}{r} - \\ \end{array} \begin{array}{r} 10,000 \\ 5,868 \\ \hline 4,132 \end{array} $

Значит, $x = 4,132$.

Ответ: $x = 4,132$.

897. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

$39,8 \xrightarrow{-14,48} a \xrightarrow{+x} 74,123 \xrightarrow{-y} 40,2.$

Для нахождения пропущенных чисел в цепочке вычислений необходимо последовательно выполнить все указанные действия.

a

Чтобы найти первое неизвестное число a, необходимо выполнить первое действие в цепочке вычислений: вычесть 14,48 из 39,8. Это можно записать в виде уравнения $a = 39,8 - 14,48$. Выполнив вычитание, получаем результат: $a = 25,32$.
Ответ: 25,32.

x

Второй шаг цепочки — это сложение, которое можно записать как $a + x = 74,123$. Поскольку мы уже нашли, что $a = 25,32$, мы можем подставить это значение в уравнение: $25,32 + x = 74,123$. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, необходимо вычесть из суммы известное слагаемое: $x = 74,123 - 25,32$. В результате вычисления получаем $x = 48,803$.
Ответ: 48,803.

y

Последний шаг в цепочке — это вычитание, выраженное уравнением $74,123 - y = 40,2$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое y, нужно из уменьшаемого (74,123) вычесть разность (40,2): $y = 74,123 - 40,2$. Выполнив это действие, находим значение $y = 33,923$.
Ответ: 33,923.

898. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение (вычитание) было выполнено верно:

1) $\begin{array}{lr} \phantom{+} & 17,*4 \\ + & **,5* \\ \hline \phantom{+} & 105,23 \end{array}$

2) $\begin{array}{lr} \phantom{+} & *,53* \\ + & 6,9*8 \\ + & 20,*27 \\ \hline \phantom{+} & *0,041 \end{array}$

3) $\begin{array}{lr} \phantom{-} & 72,** \\ - & 3*,59 \\ \hline \phantom{-} & *2,69 \end{array}$

4) $\begin{array}{lr} \phantom{-} & 9*,7*5 \\ - & *4,*6* \\ \hline \phantom{-} & 34,841 \end{array}$

1)
Решим задачу поразрядно, справа налево, восстанавливая цифры, обозначенные звездочками.
В разряде сотых: $4 + * = 3$. Чтобы в сумме последняя цифра была 3, нужно к 4 прибавить 9, что даст 13. Значит, недостающая цифра - это 9. Записываем 3, а 1 переносим в следующий разряд.
В разряде десятых: $1 (перенос) + * + 5$, и сумма должна оканчиваться на 2. Получаем $6 + *$. Чтобы получить 12, недостающая цифра должна быть 6. Записываем 2, а 1 переносим.
В разряде единиц: $1 (перенос) + 7 + *$, и сумма должна оканчиваться на 5. Получаем $8 + *$. Чтобы получить 15, недостающая цифра должна быть 7. Записываем 5, а 1 переносим.
В разряде десятков: $1 (перенос) + 1 + * = 10$. Получаем $2 + * = 10$. Значит, недостающая цифра - это 8.
В итоге получаем пример: $17,64 + 87,59 = 105,23$.
Ответ: $ \begin{array}{r} 17,64 \\ + 87,59 \\ \hline 105,23 \end{array} $

2)
Решим задачу поразрядно, справа налево.
В разряде тысячных: $* + 8 + 7$, и сумма оканчивается на 1. Сумма известных цифр $8+7=15$. $15 + *$ должна оканчиваться на 1, значит, вся сумма равна 21. Отсюда $* = 21 - 15 = 6$. Записываем 1, а 2 переносим.
В разряде сотых: $2 (перенос) + 3 + * + 2$, и сумма оканчивается на 4. Сумма известных цифр $2+3+2=7$. $7 + *$ должна оканчиваться на 4, значит, вся сумма равна 14. Отсюда $* = 14 - 7 = 7$. Записываем 4, а 1 переносим.
В разряде десятых: $1 (перенос) + 5 + 9 + *$, и сумма оканчивается на 0. Сумма известных цифр $1+5+9=15$. $15 + *$ должна оканчиваться на 0, значит, вся сумма равна 20. Отсюда $* = 20 - 15 = 5$. Записываем 0, а 2 переносим.
В разряде единиц: $2 (перенос) + * + 6 + 0$, и сумма оканчивается на 0. Сумма известных цифр $2+6+0=8$. $8 + *$ должна оканчиваться на 0, значит, вся сумма равна 10. Отсюда $* = 10 - 8 = 2$. Записываем 0, а 1 переносим.
В разряде десятков: $1 (перенос) + 2 = *$. Отсюда $*=3$.
В итоге получаем пример: $2,536 + 6,978 + 20,527 = 30,041$.
Ответ: $ \begin{array}{r} 2,536 \\ 6,978 \\ + 20,527 \\ \hline 30,041 \end{array} $

3)
Для решения этого примера на вычитание удобно использовать обратную операцию - сложение: $*2,69 + 3*,59 = 72,**$.
В разряде сотых: $9 + 9 = 18$. Значит, последняя цифра в уменьшаемом - 8. Записываем 8, а 1 переносим.
В разряде десятых: $1 (перенос) + 6 + 5 = 12$. Значит, первая цифра после запятой в уменьшаемом - 2. Записываем 2, а 1 переносим.
В разряде единиц: $1 (перенос) + 2 + *$, и сумма оканчивается на 2. Сумма известных цифр $1+2=3$. $3 + *$ должна оканчиваться на 2, значит, вся сумма равна 12. Отсюда $* = 12 - 3 = 9$ (в вычитаемом). Записываем 2, а 1 переносим.
В разряде десятков: $1 (перенос) + * + 3 = 7$. Сумма $*+4=7$. Отсюда $*=3$ (в разности).
В итоге получаем пример: $72,28 - 39,59 = 32,69$.
Ответ: $ \begin{array}{r} 72,28 \\ - 39,59 \\ \hline 32,69 \end{array} $

4)
Решим задачу поразрядно, справа налево.
В разряде тысячных: $5 - * = 1$. Отсюда $* = 5 - 1 = 4$.
В разряде сотых: $* - 6 = 4$. Так как из однозначного числа нельзя вычесть 6 и получить 4, мы должны "занять" 1 из старшего разряда. Получаем $(10 + *) - 6 = 4$, то есть $* + 4 = 4$, откуда $* = 0$.
В разряде десятых: мы "заняли" 1 у 7, осталось 6. Получаем $6 - * = 8$. Снова "занимаем" 1 из старшего разряда: $(10 + 6) - * = 8$, то есть $16 - * = 8$, откуда $* = 8$.
В разряде единиц: мы "заняли" 1, поэтому имеем $(*-1) - 4 = 4$. То есть $* - 5 = 4$, откуда $* = 9$.
В разряде десятков: $9 - * = 3$. Отсюда $* = 9 - 3 = 6$.
В итоге получаем пример: $99,705 - 64,864 = 34,841$.
Ответ: $ \begin{array}{r} 99,705 \\ - 64,864 \\ \hline 34,841 \end{array} $

899. Как изменится сумма, если:

1) одно из слагаемых увеличить на $6,8$, а второе — на $4,25$;

2) одно из слагаемых увеличить на $14,3$, а второе уменьшить на $7,15$;

3) одно из слагаемых увеличить на $3,2$, а второе уменьшить на $3,2$?

1) одно из слагаемых увеличить на 6,8, а второе — на 4,25;

Пусть исходная сумма $S = a + b$, где $a$ и $b$ — слагаемые. После изменения слагаемых новая сумма $S_{new}$ будет равна:

$S_{new} = (a + 6,8) + (b + 4,25)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S_{new} = a + b + 6,8 + 4,25 = (a + b) + (6,8 + 4,25)$

Поскольку $a + b = S$, то $S_{new} = S + 11,05$.

Это означает, что сумма увеличится на общее приращение.

Найдем это приращение: $6,8 + 4,25 = 11,05$.

Ответ: Сумма увеличится на 11,05.

2) одно из слагаемых увеличить на 14,3, а второе уменьшить на 7,15;

Пусть исходная сумма $S = a + b$. После изменения слагаемых новая сумма $S_{new}$ будет равна:

$S_{new} = (a + 14,3) + (b - 7,15)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S_{new} = a + b + 14,3 - 7,15 = (a + b) + (14,3 - 7,15)$

Поскольку $a + b = S$, то $S_{new} = S + 7,15$.

Общее изменение суммы равно разности увеличений и уменьшений.

Найдем это изменение: $14,3 - 7,15 = 7,15$.

Поскольку результат положительный, сумма увеличится.

Ответ: Сумма увеличится на 7,15.

3) одно из слагаемых увеличить на 3,2, а второе уменьшить на 3,2?

Пусть исходная сумма $S = a + b$. После изменения слагаемых новая сумма $S_{new}$ будет равна:

$S_{new} = (a + 3,2) + (b - 3,2)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S_{new} = a + b + 3,2 - 3,2 = (a + b) + 0$

Поскольку $a + b = S$, то $S_{new} = S$.

Общее изменение суммы равно: $3,2 - 3,2 = 0$.

Сумма не изменилась, так как одно слагаемое увеличилось на то же число, на которое уменьшилось другое.

Ответ: Сумма не изменится.

900. Как изменится разность, если:

1) уменьшаемое увеличить на $9,25$;

2) уменьшаемое уменьшить на $7,6$;

3) вычитаемое увеличить на $12,2$;

4) вычитаемое уменьшить на $17,96$;

5) уменьшаемое увеличить на $0,4$, а вычитаемое — на $0,3$;

6) уменьшаемое увеличить на $2,3$, а вычитаемое уменьшить на $1,7$;

7) уменьшаемое уменьшить на $6,1$, а вычитаемое увеличить на $3,4$?

1) уменьшаемое увеличить на 9,25;
Пусть первоначальная разность равна $d = a - b$, где $a$ — уменьшаемое, а $b$ — вычитаемое.
Если уменьшаемое увеличить на 9,25, то новое уменьшаемое станет $a + 9,25$. Вычитаемое $b$ останется без изменений.
Новая разность будет равна $(a + 9,25) - b = (a - b) + 9,25 = d + 9,25$.
Следовательно, разность увеличится на 9,25.
Ответ: увеличится на 9,25.

2) уменьшаемое уменьшить на 7,6;
Если уменьшаемое $a$ уменьшить на 7,6, новая разность будет:
$(a - 7,6) - b = (a - b) - 7,6$.
Разность уменьшится на 7,6.
Ответ: уменьшится на 7,6.

3) вычитаемое увеличить на 12,2;
Если вычитаемое $b$ увеличить на 12,2, новая разность будет:
$a - (b + 12,2) = a - b - 12,2$.
Разность уменьшится на 12,2.
Ответ: уменьшится на 12,2.

4) вычитаемое уменьшить на 17,96;
Если вычитаемое $b$ уменьшить на 17,96, новая разность будет:
$a - (b - 17,96) = a - b + 17,96$.
Разность увеличится на 17,96.
Ответ: увеличится на 17,96.

5) уменьшаемое увеличить на 0,4, а вычитаемое — на 0,3;
Новое уменьшаемое — $a + 0,4$, новое вычитаемое — $b + 0,3$.
Новая разность: $(a + 0,4) - (b + 0,3) = a - b + 0,4 - 0,3 = (a - b) + 0,1$.
Разность увеличится на 0,1.
Ответ: увеличится на 0,1.

6) уменьшаемое увеличить на 2,3, а вычитаемое уменьшить на 1,7;
Новое уменьшаемое — $a + 2,3$, новое вычитаемое — $b - 1,7$.
Новая разность: $(a + 2,3) - (b - 1,7) = a - b + 2,3 + 1,7 = (a - b) + 4$.
Разность увеличится на 4.
Ответ: увеличится на 4.

7) уменьшаемое уменьшить на 6,1, а вычитаемое увеличить на 3,4?
Новое уменьшаемое — $a - 6,1$, новое вычитаемое — $b + 3,4$.
Новая разность: $(a - 6,1) - (b + 3,4) = a - b - 6,1 - 3,4 = (a - b) - 9,5$.
Разность уменьшится на 9,5.
Ответ: уменьшится на 9,5.

901. Выразите данные величины в дециметрах и выполните действия:

1) $2.34 \text{ дм} - 18 \text{ см};$

2) $9.6 \text{ дм} + 4 \text{ см};$

3) $49 \text{ дм} - 324 \text{ см};$

4) $5.63 \text{ м} + 2345 \text{ см};$

5) $9 \text{ м } 8 \text{ дм } 3 \text{ см} - 25 \text{ см } 8 \text{ мм};$

6) $1 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см} - 16 \text{ см } 9 \text{ мм}.$

Чтобы выполнить действия, необходимо все величины выразить в дециметрах. Для этого воспользуемся следующими соотношениями единиц длины:

1 м = 10 дм

1 дм = 10 см, следовательно, 1 см = 0,1 дм

1 дм = 100 мм, следовательно, 1 мм = 0,01 дм

1) 2,34 дм – 18 см

Первая величина уже выражена в дециметрах. Переведем 18 см в дециметры:

$18 \text{ см} = 18 \cdot 0,1 \text{ дм} = 1,8 \text{ дм}$

Теперь выполним вычитание:

$2,34 \text{ дм} - 1,8 \text{ дм} = 0,54 \text{ дм}$

Ответ: 0,54 дм.

2) 9,6 дм + 4 см

Переведем 4 см в дециметры:

$4 \text{ см} = 4 \cdot 0,1 \text{ дм} = 0,4 \text{ дм}$

Теперь выполним сложение:

$9,6 \text{ дм} + 0,4 \text{ дм} = 10 \text{ дм}$

Ответ: 10 дм.

3) 49 дм – 324 см

Переведем 324 см в дециметры:

$324 \text{ см} = 324 \cdot 0,1 \text{ дм} = 32,4 \text{ дм}$

Теперь выполним вычитание:

$49 \text{ дм} - 32,4 \text{ дм} = 16,6 \text{ дм}$

Ответ: 16,6 дм.

4) 5,63 м + 2 345 см

Переведем обе величины в дециметры:

$5,63 \text{ м} = 5,63 \cdot 10 \text{ дм} = 56,3 \text{ дм}$

$2345 \text{ см} = 2345 \cdot 0,1 \text{ дм} = 234,5 \text{ дм}$

Теперь выполним сложение:

$56,3 \text{ дм} + 234,5 \text{ дм} = 290,8 \text{ дм}$

Ответ: 290,8 дм.

5) 9 м 8 дм 3 см – 25 см 8 мм

Сначала переведем каждую составную величину в дециметры.

Первая величина: $9 \text{ м } 8 \text{ дм } 3 \text{ см} = (9 \cdot 10) \text{ дм} + 8 \text{ дм} + (3 \cdot 0,1) \text{ дм} = 90 \text{ дм} + 8 \text{ дм} + 0,3 \text{ дм} = 98,3 \text{ дм}$.

Вторая величина: $25 \text{ см } 8 \text{ мм} = (25 \cdot 0,1) \text{ дм} + (8 \cdot 0,01) \text{ дм} = 2,5 \text{ дм} + 0,08 \text{ дм} = 2,58 \text{ дм}$.

Теперь выполним вычитание:

$98,3 \text{ дм} - 2,58 \text{ дм} = 95,72 \text{ дм}$

Ответ: 95,72 дм.

6) 1 м 5 дм 6 см – 16 см 9 мм

Сначала переведем каждую составную величину в дециметры.

Первая величина: $1 \text{ м } 5 \text{ дм } 6 \text{ см} = (1 \cdot 10) \text{ дм} + 5 \text{ дм} + (6 \cdot 0,1) \text{ дм} = 10 \text{ дм} + 5 \text{ дм} + 0,6 \text{ дм} = 15,6 \text{ дм}$.

Вторая величина: $16 \text{ см } 9 \text{ мм} = (16 \cdot 0,1) \text{ дм} + (9 \cdot 0,01) \text{ дм} = 1,6 \text{ дм} + 0,09 \text{ дм} = 1,69 \text{ дм}$.

Теперь выполним вычитание:

$15,6 \text{ дм} - 1,69 \text{ дм} = 13,91 \text{ дм}$

Ответ: 13,91 дм.