Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

935. В старину в России пользовались такими мерами массы: пуд, фунт, золотник. Пуд был равен 40 фунтам, фунт — 96 золотникам. Скольким килограммам равен пуд, если золотник равен $4.266 \text{ г}$? Ответ округлите до сотых.

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислить массу фунта, затем пуда в граммах, и после этого перевести результат в килограммы и округлить его.

1. Сначала найдем, сколько граммов в одном фунте. Известно, что 1 фунт равен 96 золотникам, а 1 золотник — 4,266 г. Умножим эти значения:

$96 \times 4,266 = 409,536 \text{ г}$

Таким образом, 1 фунт равен 409,536 г.

2. Теперь найдем массу одного пуда в граммах. Известно, что 1 пуд равен 40 фунтам:

$40 \times 409,536 = 16381,44 \text{ г}$

Итак, 1 пуд равен 16381,44 г.

3. Переведем полученное значение из граммов в килограммы. В одном килограмме 1000 граммов, поэтому для перевода нужно разделить массу в граммах на 1000:

$16381,44 \text{ г} \div 1000 = 16,38144 \text{ кг}$

4. По условию, ответ необходимо округлить до сотых. Смотрим на третью цифру после запятой в числе 16,38144. Это цифра 1. Так как 1 меньше 5, округляем в меньшую сторону (оставляем предыдущую цифру без изменений).

$16,38144 \approx 16,38$

Ответ: 16,38 кг.

936. Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью 11,4 км/ч, а второй — со скоростью 9,8 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 6,5 ч после начала движения?

Для решения этой задачи найдем скорость, с которой велосипедисты удаляются друг от друга, а затем умножим эту скорость на время в пути.

1. Поскольку велосипедисты выехали одновременно из одного села и движутся в одном направлении, расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна разности их скоростей. Обозначим скорости велосипедистов как $v_1$ и $v_2$.

$v_1 = 11,4$ км/ч
$v_2 = 9,8$ км/ч

Найдем скорость удаления $v_{уд}$:

$v_{уд} = v_1 - v_2 = 11,4 - 9,8 = 1,6$ км/ч

2. Теперь, зная скорость удаления, можно найти расстояние $S$, которое будет между велосипедистами через $t = 6,5$ ч. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S = v_{уд} \cdot t$

$S = 1,6 \text{ км/ч} \cdot 6,5 \text{ ч} = 10,4$ км

Ответ: 10,4 км.

937. Из одного порта в другой одновременно вышли теплоход и катер. Скорость теплохода равна 26,3 км/ч, а скорость катера — 30,8 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 5,4 ч после начала движения?

Для решения этой задачи необходимо определить, как изменяется расстояние между теплоходом и катером с течением времени. Поскольку они движутся в одном направлении, но с разной скоростью, расстояние между ними будет увеличиваться. Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Вычисление через разность пройденных расстояний

1. Сначала найдем расстояние, которое пройдет теплоход за 5,4 часа. Для этого умножим его скорость на время, используя формулу $S = v \cdot t$.

Расстояние теплохода: $S_1 = 26,3 \text{ км/ч} \cdot 5,4 \text{ ч} = 142,02 \text{ км}$.

2. Затем найдем расстояние, которое пройдет катер за это же время.

Расстояние катера: $S_2 = 30,8 \text{ км/ч} \cdot 5,4 \text{ ч} = 166,32 \text{ км}$.

3. Чтобы найти, какое расстояние будет между ними, нужно вычесть из большего расстояния (пройденного катером) меньшее (пройденное теплоходом).

Итоговое расстояние: $S = S_2 - S_1 = 166,32 \text{ км} - 142,02 \text{ км} = 24,3 \text{ км}$.

Способ 2: Вычисление через скорость удаления

1. Этот способ основан на понятии относительной скорости. Так как катер движется быстрее теплохода, он от него удаляется. Скорость, с которой увеличивается расстояние между ними, называется скоростью удаления ($v_{уд}$). Она равна разности их скоростей.

$v_{уд} = v_{катера} - v_{теплохода} = 30,8 \text{ км/ч} - 26,3 \text{ км/ч} = 4,5 \text{ км/ч}$.

Это означает, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 4,5 км.

2. Теперь найдем, на какое расстояние они удалятся друг от друга за 5,4 часа. Для этого умножим скорость удаления на время.

$S = v_{уд} \cdot t = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 5,4 \text{ ч} = 24,3 \text{ км}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 24,3 км.

938. С одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Один из них двигался со скоростью 63,4 км/ч, а второй — со скоростью 58,6 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 9,3 ч после начала движения?

Чтобы найти расстояние между поездами, нужно сначала определить скорость, с которой они удаляются друг от друга. Поскольку поезда движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются. Эта величина называется скоростью удаления.

1. Вычислим скорость удаления поездов:

$v_{удаления} = v_1 + v_2 = 63,4 \text{ км/ч} + 58,6 \text{ км/ч} = 122 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная скорость удаления и время в пути, можно найти расстояние, которое будет между поездами. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S = v_{удаления} \cdot t = 122 \text{ км/ч} \cdot 9,3 \text{ ч} = 1134,6 \text{ км}$

Таким образом, через 9,3 часа после начала движения расстояние между поездами составит 1134,6 км.

Ответ: 1134,6 км.

939. Из одного города в противоположных направлениях одновременно отправились два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна $72,5 \text{ км/ч}$, что на $8,7 \text{ км/ч}$ больше, чем скорость второго. Какое расстояние будет между ними через $7,6 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти скорость второго автомобиля.

Из условия известно, что скорость первого автомобиля ($v_1$) составляет $72,5 \text{ км/ч}$ и она на $8,7 \text{ км/ч}$ больше скорости второго автомобиля ($v_2$). Чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно из скорости первого вычесть разницу.

$v_2 = v_1 - 8,7 = 72,5 - 8,7 = 63,8 \text{ км/ч}$.

2. Найти скорость удаления автомобилей.

Так как автомобили движутся из одной точки в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость их удаления друг от друга равна сумме их скоростей.

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 72,5 + 63,8 = 136,3 \text{ км/ч}$.

3. Найти расстояние между автомобилями через 7,6 часа.

Чтобы найти расстояние ($S$), которое будет между автомобилями через определенное время ($t$), нужно скорость удаления умножить на время в пути.

$S = v_{уд} \times t = 136,3 \text{ км/ч} \times 7,6 \text{ ч} = 1035,88 \text{ км}$.

Ответ: через 7,6 ч после начала движения расстояние между автомобилями будет 1035,88 км.

940. Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали велосипедист и легковой автомобиль. Велосипедист ехал со скоростью $13,8 \text{ км/ч}$, а автомобиль — в $6,3$ раза быстрее. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и автомобиль встретились через $4,5 \text{ ч}$ после начала движения.

Для решения задачи нужно выполнить несколько последовательных действий: найти скорость автомобиля, затем их общую скорость сближения, и после этого вычислить искомое расстояние.

1. Найдём скорость легкового автомобиля.
Из условия известно, что скорость велосипедиста составляет $13,8$ км/ч, а автомобиль двигался в $6,3$ раза быстрее. Чтобы найти скорость автомобиля, умножим скорость велосипедиста на $6,3$:
$13,8 \text{ км/ч} \cdot 6,3 = 86,94 \text{ км/ч}$.

2. Найдём скорость сближения.
Поскольку велосипедист и автомобиль ехали навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость их сближения равна сумме скоростей:
$v_{сближения} = 13,8 \text{ км/ч} + 86,94 \text{ км/ч} = 100,74 \text{ км/ч}$.

3. Найдём расстояние между городами.
Расстояние равно произведению скорости сближения на время, через которое они встретились. Время до встречи по условию составляет $4,5$ ч.
$S = v_{сближения} \cdot t = 100,74 \text{ км/ч} \cdot 4,5 \text{ ч} = 453,33 \text{ км}$.

Ответ: 453,33 км.

941. Из двух сёл навстречу друг другу одновременно начали движение велосипедист и пешеход. Пешеход шёл со скоростью 3,2 км/ч, что в 4,2 раза меньше скорости велосипедиста. Найдите расстояние между сёлами, если велосипедист и пешеход встретились через 1,6 ч после начала движения.

Для решения этой задачи нужно выполнить три действия: найти скорость велосипедиста, определить скорость их сближения и затем вычислить расстояние между сёлами.

1. Найдём скорость велосипедиста

По условию, скорость пешехода равна $3,2$ км/ч, и это в $4,2$ раза меньше скорости велосипедиста. Следовательно, скорость велосипедиста ($v_{в}$) в $4,2$ раза больше скорости пешехода ($v_{п}$):

$v_{в} = v_{п} \cdot 4,2 = 3,2 \cdot 4,2 = 13,44$ км/ч.

2. Найдём скорость сближения

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_{п} + v_{в} = 3,2 + 13,44 = 16,64$ км/ч.

3. Найдём расстояние между сёлами

Они встретились через $t = 1,6$ ч. Расстояние ($S$) — это произведение скорости сближения на время до встречи:

$S = v_{сбл} \cdot t = 16,64 \cdot 1,6 = 26,624$ км.

Ответ: 26,624 км.

942. Найдите значение выражения:

1) $ (8.2 \cdot 0.45 + 14.71) \cdot 3.8 - 49.436; $

2) $ (3.6 \cdot 4.25 - 0.7) \cdot 5.9 + 7.9 \cdot 0.2; $

3) $ 0.7 \cdot (34.1 - 18.4) + 0.5 \cdot 18.6 - (9.8 + 1.6) \cdot 1.4. $

1) Для нахождения значения выражения $(8,2 \cdot 0,45 + 14,71) \cdot 3,8 - 49,436$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (умножение, затем сложение), потом умножение за скобками и в конце вычитание.
1. Выполним умножение в скобках: $8,2 \cdot 0,45 = 3,69$.
2. Выполним сложение в скобках: $3,69 + 14,71 = 18,4$.
3. Умножим результат из скобок на $3,8$: $18,4 \cdot 3,8 = 69,92$.
4. Выполним вычитание: $69,92 - 49,436 = 20,484$.
Таким образом, итоговое значение выражения: $(8,2 \cdot 0,45 + 14,71) \cdot 3,8 - 49,436 = (3,69 + 14,71) \cdot 3,8 - 49,436 = 18,4 \cdot 3,8 - 49,436 = 69,92 - 49,436 = 20,484$.
Ответ: 20,484.

2) Для нахождения значения выражения $(3,6 \cdot 4,25 - 0,7) \cdot 5,9 + 7,9 \cdot 0,2$ действия выполняются в следующем порядке: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), затем умножения вне скобок и в конце сложение.
1. Выполним умножение в скобках: $3,6 \cdot 4,25 = 15,3$.
2. Выполним вычитание в скобках: $15,3 - 0,7 = 14,6$.
3. Теперь выражение имеет вид: $14,6 \cdot 5,9 + 7,9 \cdot 0,2$. Выполним умножения слева направо.
4. Первое умножение: $14,6 \cdot 5,9 = 86,14$.
5. Второе умножение: $7,9 \cdot 0,2 = 1,58$.
6. Выполним сложение: $86,14 + 1,58 = 87,72$.
Таким образом, итоговое значение выражения: $(3,6 \cdot 4,25 - 0,7) \cdot 5,9 + 7,9 \cdot 0,2 = (15,3 - 0,7) \cdot 5,9 + 1,58 = 14,6 \cdot 5,9 + 1,58 = 86,14 + 1,58 = 87,72$.
Ответ: 87,72.

3) Для нахождения значения выражения $0,7 \cdot (34,1 - 18,4) + 0,5 \cdot 18,6 - (9,8 + 1,6) \cdot 1,4$ сначала выполняются действия в скобках, затем умножения, а после — сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним действие в первых скобках: $34,1 - 18,4 = 15,7$.
2. Выполним действие во вторых скобках: $9,8 + 1,6 = 11,4$.
3. Выражение принимает вид: $0,7 \cdot 15,7 + 0,5 \cdot 18,6 - 11,4 \cdot 1,4$.
4. Выполним умножения слева направо:
$0,7 \cdot 15,7 = 10,99$.
$0,5 \cdot 18,6 = 9,3$.
$11,4 \cdot 1,4 = 15,96$.
5. Выражение принимает вид: $10,99 + 9,3 - 15,96$.
6. Выполним сложение и вычитание слева направо:
$10,99 + 9,3 = 20,29$.
$20,29 - 15,96 = 4,33$.
Ответ: 4,33.

943. Найдите значение выражения:

1) $(2.35 \cdot 6.8 - 6.793) \cdot 0.4 + 1.3252;$

2) $3.4 \cdot 6.5 - 0.25 \cdot (17.6 \cdot 1.5 + 3.28);$

3) $(36.8 - 15.3) \cdot 0.4 + 0.6 \cdot 12.4 - (18.6 - 13.8) \cdot 0.5.$

1) $(2,35 \cdot 6,8 - 6,793) \cdot 0,4 + 1,3252$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (умножение, затем вычитание), потом умножение за скобками и в конце сложение.

1. Выполним умножение в скобках:
$2{,}35 \cdot 6{,}8 = 15{,}98$

2. Выполним вычитание в скобках:
$15{,}98 - 6{,}793 = 9{,}187$

3. Умножим результат, полученный в скобках, на 0,4:
$9{,}187 \cdot 0{,}4 = 3{,}6748$

4. Выполним сложение:
$3{,}6748 + 1{,}3252 = 5$

Ответ: 5

2) $3,4 \cdot 6,5 - 0,25 \cdot (17,6 \cdot 1,5 + 3,28)$

Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним умножение в скобках:
$17{,}6 \cdot 1{,}5 = 26{,}4$

2. Выполним сложение в скобках:
$26{,}4 + 3{,}28 = 29{,}68$

3. Выполним первое умножение в выражении:
$3{,}4 \cdot 6{,}5 = 22{,}1$

4. Выполним второе умножение (результат скобок на 0,25):
$0{,}25 \cdot 29{,}68 = 7{,}42$

5. Выполним вычитание:
$22{,}1 - 7{,}42 = 14{,}68$

Ответ: 14,68

3) $(36,8 - 15,3) \cdot 0,4 + 0,6 \cdot 12,4 - (18,6 - 13,8) \cdot 0,5$

Выполним действия в соответствии с их приоритетом.

1. Выполним вычитание в первых скобках:
$36{,}8 - 15{,}3 = 21{,}5$

2. Выполним вычитание во вторых скобках:
$18{,}6 - 13{,}8 = 4{,}8$

3. Теперь выражение имеет вид: $21,5 \cdot 0,4 + 0,6 \cdot 12,4 - 4,8 \cdot 0,5$. Выполним все операции умножения слева направо:
$21{,}5 \cdot 0{,}4 = 8{,}6$
$0{,}6 \cdot 12{,}4 = 7{,}44$
$4{,}8 \cdot 0{,}5 = 2{,}4$

4. Теперь выражение имеет вид: $8,6 + 7,44 - 2,4$. Выполним сложение и вычитание слева направо:
$8{,}6 + 7{,}44 = 16{,}04$
$16{,}04 - 2{,}4 = 13{,}64$

Ответ: 13,64

944. На какое число надо умножить число $7,08$, чтобы получить:

1) $70,8$;

2) $7080$;

3) $0,708$;

4) $0,000708$?

Чтобы найти число, на которое нужно умножить исходное число, чтобы получить заданное, необходимо заданное число разделить на исходное. Обозначим искомый множитель через $x$.

1) Найдем число, на которое нужно умножить 7,08, чтобы получить 70,8.
Составим уравнение:
$7,08 \cdot x = 70,8$
Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = \frac{70,8}{7,08}$
Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от запятой в делителе:
$x = \frac{70,8 \cdot 100}{7,08 \cdot 100} = \frac{7080}{708} = 10$
Таким образом, число 7,08 нужно умножить на 10.
Ответ: 10.

2) Найдем число, на которое нужно умножить 7,08, чтобы получить 7 080.
Составим уравнение:
$7,08 \cdot x = 7080$
Найдем $x$:
$x = \frac{7080}{7,08}$
Умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{7080 \cdot 100}{7,08 \cdot 100} = \frac{708000}{708} = 1000$
Таким образом, число 7,08 нужно умножить на 1000.
Ответ: 1000.

3) Найдем число, на которое нужно умножить 7,08, чтобы получить 0,708.
Составим уравнение:
$7,08 \cdot x = 0,708$
Найдем $x$:
$x = \frac{0,708}{7,08}$
Умножим числитель и знаменатель на 1000:
$x = \frac{0,708 \cdot 1000}{7,08 \cdot 1000} = \frac{708}{7080} = \frac{1}{10} = 0,1$
Таким образом, число 7,08 нужно умножить на 0,1.
Ответ: 0,1.

4) Найдем число, на которое нужно умножить 7,08, чтобы получить 0,000708.
Составим уравнение:
$7,08 \cdot x = 0,000708$
Найдем $x$:
$x = \frac{0,000708}{7,08}$
Умножим числитель и знаменатель на 1 000 000, чтобы избавиться от запятых в обоих числах:
$x = \frac{0,000708 \cdot 1000000}{7,08 \cdot 1000000} = \frac{708}{7080000} = \frac{1}{10000} = 0,0001$
Таким образом, число 7,08 нужно умножить на 0,0001.
Ответ: 0,0001.