Номер 4, страница 230 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какие свойства умножения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел?

Для дробных чисел, так же как и для натуральных, выполняются все основные свойства умножения. Рассмотрим каждое из них подробнее.

Переместительное свойство умножения

Это свойство утверждает, что от перестановки множителей произведение не изменяется. Для любых дробных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

$\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21}$

Следовательно, $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3}$.

Сочетательное свойство умножения

Это свойство позволяет группировать множители произвольным образом. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Для любых дробных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Пример:

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{24} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

Следовательно, $(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6})$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Это свойство связывает операции умножения и сложения. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых дробных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Пример:

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{3}{7}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{28}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$

Следовательно, $\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{7} + \frac{3}{7}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7}$.

Также для дробных чисел выполняются свойства умножения на единицу и на ноль.

Свойство умножения на единицу

При умножении любого числа на единицу получается то же самое число. Для любого дробного числа $a$:

$a \cdot 1 = a$

Пример: $\frac{8}{11} \cdot 1 = \frac{8}{11}$.

Свойство умножения на ноль

При умножении любого числа на ноль получается ноль. Для любого дробного числа $a$:

$a \cdot 0 = 0$

Пример: $\frac{3}{5} \cdot 0 = 0$.

Ответ: Для дробных чисел, так же как и для натуральных, выполняются переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения, а также свойства умножения на единицу и на ноль.