Номер 1.122, страница 32 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.122 Какие законы используют при сложении и вычитании столбиком?

Сложение и вычитание столбиком — это алгоритмы, которые неявно основаны на фундаментальных математических законах и свойствах. Главный принцип, лежащий в основе этих методов, — это позиционная система счисления. Согласно этому принципу, любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 253 — это $2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 3 \cdot 1$. Именно это позволяет выравнивать числа по разрядам (единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.) и выполнять операции поразрядно.

При сложении столбиком используются переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения. Переместительный закон ($a+b=b+a$) и сочетательный закон ($(a+b)+c=a+(b+c)$) позволяют нам перегруппировывать слагаемые так, чтобы удобно складывать цифры в одинаковых разрядах. Например, сумма $148 + 275$ раскладывается на $(100+40+8) + (200+70+5)$. Используя эти законы, мы группируем слагаемые: $(100+200) + (40+70) + (8+5)$. Процесс "переноса" в следующий разряд является следствием этой перегруппировки в десятичной системе (например, $8+5=13$, что равно $10+3$; 3 остается в разряде единиц, а 1 десяток переносится в разряд десятков).

При вычитании столбиком используются свойства вычитания, в частности правило вычитания суммы из числа ($a - (b+c) = a-b-c$) и правило вычитания числа из суммы ($(a+b)-c = a+(b-c)$). Процедура "заёма" из старшего разряда — это практическое применение этих свойств. Когда мы не можем вычесть цифру в младшем разряде (например, в примере $324 - 158$ мы не можем из 4 вычесть 8), мы перегруппируем уменьшаемое. Число $324$ ($300+20+4$) представляется как $300+10+14$, "заняв" один десяток. Это позволяет выполнить вычитание в разряде единиц ($14-8$). Аналогично "заём" происходит и в других разрядах.

Ответ: При сложении и вычитании столбиком используются: во-первых, принцип позиционной системы счисления (представление числа в виде суммы разрядных слагаемых); во-вторых, для сложения — переместительный и сочетательный законы; в-третьих, для вычитания — свойства вычитания числа из суммы и суммы из числа, которые оправдывают поразрядные операции с "переносами" и "заёмами".