Номер 1, страница 11 - гдз по математике 5 класс рабочая тетрадь Ткачева

Параграф 1. Натуральные числа и нуль. Шкалы. 4. Плоскость, прямая, луч, угол - номер 1, страница 11.

Условие 2024.

1. На рисунке проведите прямые $AC$, $AB$, $BD$. Точку пересечения прямых $AC$ и $BD$ обозначьте буквой $M$. Отметьте точку $N$, не лежащую ни на одной из проведённых прямых.

Решение 2024.

Решение 2 2024.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений и вычислений. Введем декартову систему координат, чтобы точно определить положение точек и прямых. Примем за начало координат $O(0, 0)$ левый нижний узел сетки, а шаг сетки равным 1.

В этой системе координат точки имеют следующие координаты:

• $A(3, 1)$
• $B(1, 5)$
• $C(4, 6)$
• $D(6, 3)$

1. Проведение прямых AC, AB, BD

Прямые проводятся через соответствующие пары точек. Для аналитического решения найдем уравнения этих прямых, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

• Прямая AC: проходит через точки $A(3, 1)$ и $C(4, 6)$.
  Угловой коэффициент: $k_{AC} = \frac{6 - 1}{4 - 3} = 5$.
  Уравнение: $y - 1 = 5(x - 3) \implies y = 5x - 15 + 1 \implies y = 5x - 14$.
• Прямая AB: проходит через точки $A(3, 1)$ и $B(1, 5)$.
  Угловой коэффициент: $k_{AB} = \frac{5 - 1}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = -2$.
  Уравнение: $y - 1 = -2(x - 3) \implies y = -2x + 6 + 1 \implies y = -2x + 7$.
• Прямая BD: проходит через точки $B(1, 5)$ и $D(6, 3)$.
  Угловой коэффициент: $k_{BD} = \frac{3 - 5}{6 - 1} = -\frac{2}{5}$.
  Уравнение: $y - 5 = -\frac{2}{5}(x - 1) \implies y = -\frac{2}{5}x + \frac{2}{5} + 5 \implies y = -\frac{2}{5}x + \frac{27}{5}$.

2. Обозначение точки пересечения прямых AC и BD буквой M

Чтобы найти точку пересечения $M$, необходимо решить систему уравнений для прямых $AC$ и $BD$:

$\begin{cases} y = 5x - 14 \\ y = -\frac{2}{5}x + \frac{27}{5} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$5x - 14 = -\frac{2}{5}x + \frac{27}{5}$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дробей:

$25x - 70 = -2x + 27$

$25x + 2x = 27 + 70$

$27x = 97 \implies x = \frac{97}{27}$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 5 \cdot \left(\frac{97}{27}\right) - 14 = \frac{485}{27} - \frac{14 \cdot 27}{27} = \frac{485 - 378}{27} = \frac{107}{27}$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $M\left(\frac{97}{27}, \frac{107}{27}\right)$ или в виде смешанных чисел $M\left(3\frac{16}{27}, 3\frac{26}{27}\right)$. Приблизительно это $M(\approx 3.59, \approx 3.96)$.

Ответ: Точка пересечения прямых AC и BD — $M\left(\frac{97}{27}, \frac{107}{27}\right)$.

3. Отметка точки N, не лежащей ни на одной из проведённых прямых

Нужно выбрать точку $N(x_N, y_N)$, координаты которой не удовлетворяют ни одному из трех уравнений прямых:

• $y_N \neq 5x_N - 14$ (для прямой AC)
• $y_N \neq -2x_N + 7$ (для прямой AB)
• $y_N \neq -\frac{2}{5}x_N + \frac{27}{5}$ (для прямой BD)

Выберем любую простую точку, например, точку с целочисленными координатами, которая визуально не лежит на линиях. Возьмем точку $N(1, 1)$. Проверим, удовлетворяют ли ее координаты уравнениям:

• Проверка для AC: $1 = 5(1) - 14 \implies 1 = -9$. Неверно. Точка не лежит на AC.
• Проверка для AB: $1 = -2(1) + 7 \implies 1 = 5$. Неверно. Точка не лежит на AB.
• Проверка для BD: $1 = -\frac{2}{5}(1) + \frac{27}{5} \implies 1 = \frac{25}{5} \implies 1 = 5$. Неверно. Точка не лежит на BD.

Поскольку координаты точки $N(1, 1)$ не удовлетворяют ни одному из уравнений, она является подходящей. Существует бесконечное множество таких точек.

Ответ: В качестве точки N можно выбрать, например, точку с координатами $(1, 1)$.

Визуальное решение на сетке:

На рисунке ниже показано, как выглядят проведенные прямые, точка пересечения $M$ и один из возможных вариантов расположения точки $N$.