Номер 2.47, страница 49, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. 8. Действие сложения. Свойства сложения - номер 2.47, страница 49.

Условие.

2.47 а) Из цифр 6, 7, 8, 9 и 2 составьте четырёхзначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Сколько чисел получили?

б) Сколько чисел можно получить, если надо составить пятизначные числа из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9?

Решение 1.

а) Построим дерево вариантов. В записи числа первой цифрой (единицы тысяч) может быть любая из пяти цифр, второй (сотни) - любая из четырёх оставшихся, третьей (десятки) - любая из трёх оставшихся, а четвёртый (единицы) любая из двух оставшихся. Построим часть дерева. Пусть первой цифрой будет 6.

Получим четырёхзначные числа 6789, 6782, 6798, 6792 и т.д.

Таких чисел на данном фрагменте 24, а фрагментов дерева можно построить всего 5 (т.к. дано 5 цифр). 5 · 4 · 3 · 2 = 120 или 24 · 5 = 120 чисел.

Ответ: 120 чисел.

б) Используя теорию из №2.46 и №2.47 а) пятизначных чисел, в записи которых цифры не повторяются, из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9 можно составить: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 720 штук. Так как в условии задании не сказано, что цифры не должны повторятся, значит, они могут повторяться. Тогда таких чисел может быть 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7776.

Ответ: 720 чисел без повторений или 7776 с повторениями.

Решение 2.

а) Задача состоит в том, чтобы найти количество четырёхзначных чисел, которые можно составить из пяти данных цифр {6, 7, 8, 9, 2} без повторения цифр. Это классическая задача на размещения из комбинаторики.
Нам нужно выбрать 4 цифры из 5 и расставить их по 4 позициям.
- На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 5 данных цифр.
- После выбора первой цифры, на вторую позицию (разряд сотен) останется 4 варианта, так как цифры не должны повторяться.
- На третью позицию (разряд десятков) останется 3 варианта.
- На последнюю, четвертую позицию (разряд единиц) останется 2 варианта.

Общее количество таких чисел находится перемножением числа вариантов для каждой позиции (по правилу произведения):
$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

Ответ: 120 чисел.

б) В этой задаче нужно найти, сколько пятизначных чисел можно составить из шести цифр {1, 3, 5, 7, 8, 9}. Как и в предыдущем пункте, предполагается, что цифры в записи числа не повторяются.
Это задача на нахождение числа размещений из 6 элементов по 5.
- На первую позицию есть 6 вариантов выбора цифры.
- На вторую позицию — 5 оставшихся вариантов.
- На третью — 4 варианта.
- На четвертую — 3 варианта.
- На пятую — 2 варианта.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$

Ответ: 720 чисел.

Решение 3.

Решение 4.