номер 4, страница 21, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Изменится ли отношение чисел $a : b$, если $\text{a}$ и $\text{b}$ умножить или разделить на одно и то же, не равное нулю, число?

Нет, отношение чисел $a : b$ не изменится. Это утверждение является основным свойством отношения (или дроби). Рассмотрим оба случая подробно.

Отношение двух чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$ (при условии, что $b \neq 0$).

1. Умножение на одно и то же число

Пусть мы умножим оба члена отношения, $\text{a}$ и $\text{b}$, на одно и то же, не равное нулю, число $\text{c}$. Новое отношение примет вид $(a \cdot c) : (b \cdot c)$.

Запишем это новое отношение в виде дроби:

$\frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Согласно основному свойству дроби, мы можем сократить общий множитель $\text{c}$ в числителе и знаменателе, и значение дроби от этого не изменится:

$\frac{a \cdot \cancel{c}}{b \cdot \cancel{c}} = \frac{a}{b}$

Таким образом, новое отношение равно исходному.

2. Деление на одно и то же число

Пусть мы разделим оба члена отношения, $\text{a}$ и $\text{b}$, на одно и то же, не равное нулю, число $\text{c}$. Новое отношение примет вид $(a : c) : (b : c)$.

Запишем это новое отношение в виде сложной дроби:

$\frac{a/c}{b/c}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b}$

Снова сокращаем общий множитель $\text{c}$:

$\frac{a \cdot \cancel{c}}{\cancel{c} \cdot b} = \frac{a}{b}$

И в этом случае новое отношение оказалось равно исходному.

Например, для отношения $4:8$, которое равно $0,5$:

- Умножим оба числа на 3: $(4 \cdot 3) : (8 \cdot 3) = 12 : 24$. Отношение $\frac{12}{24}$ также равно $0,5$.

- Разделим оба числа на 2: $(4 : 2) : (8 : 2) = 2 : 4$. Отношение $\frac{2}{4}$ также равно $0,5$.

Важное замечание: число, на которое умножают или делят, должно быть не равно нулю, поскольку деление на ноль является неопределенной операцией.

Ответ: Нет, отношение чисел $a : b$ не изменится.