номер 1, страница 92, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему при сложении отрицательных чисел получается отрицательное число?

1. Существует несколько способов понять, почему при сложении отрицательных чисел всегда получается отрицательное число. Рассмотрим три основных объяснения.

Объяснение с помощью числовой прямой

Представьте себе числовую прямую, где ноль находится в центре, положительные числа — справа, а отрицательные — слева. Сложение можно рассматривать как движение по этой прямой. Сложение положительного числа — это движение вправо, а сложение отрицательного числа — движение влево, в сторону уменьшения.

Например, чтобы сложить $ (-3) + (-2) $, мы сначала находим на прямой точку $ -3 $. Она находится на 3 единицы левее нуля. Затем, прибавляя $ -2 $, мы должны из этой точки переместиться еще на 2 единицы влево. Сделав два шага влево из точки $ -3 $, мы попадаем в точку $ -5 $. Таким образом, $ (-3) + (-2) = -5 $. Поскольку при сложении отрицательных чисел мы всегда движемся только влево от нуля (или из уже отрицательной области), мы никогда не пересечем ноль и не попадем в положительную часть. Мы лишь удаляемся вглубь отрицательных значений. Поэтому результат всегда будет отрицательным.

Объяснение на бытовом примере (долги)

Очень наглядно это можно представить на примере денег и долгов. Положительные числа — это деньги у вас в кошельке, а отрицательные — это ваши долги. Если у вас есть долг в 500 рублей, ваше финансовое положение можно оценить как $ -500 $. Если вы берете в долг еще 200 рублей, это действие аналогично прибавлению отрицательного числа: $ + (-200) $. Ваш общий долг становится $ 500 + 200 = 700 $ рублей, а финансовое положение теперь равно $ -700 $. Математически это выглядит так: $ (-500) + (-200) = -700 $. Сложение долгов всегда приводит к увеличению общей суммы долга, что и отражается в том, что сумма отрицательных чисел является отрицательным числом с большим модулем.

Математическое объяснение

Наиболее строгое объяснение основано на аксиомах и свойствах чисел. Любое отрицательное число $ -a $ можно представить как произведение $ -1 $ на соответствующее положительное число $ a $ (где $ a > 0 $). Например, $ -5 $ это то же самое, что и $ (-1) \cdot 5 $.

Рассмотрим сумму двух произвольных отрицательных чисел $ -a $ и $ -b $, где $ a $ и $ b $ — положительные числа. Их сумма записывается как $ (-a) + (-b) $. Используя представление через множитель $ -1 $, мы получаем: $ ((-1) \cdot a) + ((-1) \cdot b) $. По дистрибутивному (распределительному) закону мы можем вынести общий множитель $ -1 $ за скобки: $ -1 \cdot (a + b) $.

Поскольку $ a $ и $ b $ по условию положительные числа, их сумма $ (a + b) $ также является положительным числом. Обозначим эту сумму как $ c $, то есть $ c = a + b $ и $ c > 0 $. Тогда наше выражение принимает вид $ -1 \cdot c $, что по определению есть отрицательное число $ -c $. Это доказывает, что сумма двух отрицательных чисел всегда будет отрицательным числом.

Ответ: При сложении отрицательных чисел получается отрицательное число, так как это действие соответствует движению в отрицательном направлении по числовой прямой или увеличению суммарного долга. Математически это объясняется тем, что сумма $ (-a) + (-b) $ равна $ -(a+b) $: мы складываем положительные модули чисел и ставим перед результатом знак минус, что всегда приводит к отрицательному значению.