Номер 1, страница 5, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Каковы признаки делимости чисел на $\text{2}$; на $\text{5}$; на $\text{9}$; на $\text{3}$?

на 2:

Число делится на 2 без остатка (является четным), если его последняя цифра является четной. Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.

Объяснение: Любое целое число $\text{N}$ можно представить в виде $N = 10a + b$, где $\text{b}$ — это последняя цифра числа, а $\text{a}$ — число, образованное всеми предыдущими цифрами. Слагаемое $10a$ всегда делится на 2, так как $10a = 2 \cdot (5a)$. Следовательно, делимость числа $\text{N}$ на 2 полностью зависит от делимости на 2 его последней цифры $\text{b}$. Если $\text{b}$ делится на 2 (то есть $\text{b}$ — это 0, 2, 4, 6 или 8), то и все число $\text{N}$ делится на 2.

Пример: Число 378 делится на 2, так как его последняя цифра 8 — четная. Число 593 не делится на 2, так как его последняя цифра 3 — нечетная.

Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

на 5:

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

Объяснение: Аналогично признаку делимости на 2, представим число $\text{N}$ в виде $N = 10a + b$. Слагаемое $10a$ всегда делится на 5, так как $10a = 5 \cdot (2a)$. Значит, делимость числа $\text{N}$ на 5 зависит только от делимости последней цифры $\text{b}$. Среди однозначных чисел на 5 делятся только 0 и 5.

Пример: Число 1290 делится на 5, так как оно оканчивается на 0. Число 435 делится на 5, так как оно оканчивается на 5. Число 884 не делится на 5, так как оно оканчивается на 4.

Ответ: Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

на 9:

Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

Объяснение: Этот признак основан на свойствах десятичной системы счисления. Любое число можно представить как сумму произведений его цифр на степени десятки. Например, $459 = 4 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 9$. Каждую степень десятки можно представить в виде $10^k - 1 + 1$, при этом $10^k - 1$ всегда состоит из $\text{k}$ девяток и, следовательно, делится на 9. Например, $100 - 1 = 99$, $10 - 1 = 9$. Тогда $459 = 4 \cdot (99+1) + 5 \cdot (9+1) + 9 = (4 \cdot 99 + 5 \cdot 9) + (4 + 5 + 9)$. Первое слагаемое $(4 \cdot 99 + 5 \cdot 9)$ очевидно делится на 9. Значит, чтобы все число делилось на 9, необходимо, чтобы второе слагаемое, которое является суммой цифр числа $(4+5+9)$, также делилось на 9. В общем виде, число $\text{N}$ и сумма его цифр $S(N)$ дают одинаковые остатки при делении на 9, что записывается как $N \equiv S(N) \pmod{9}$.

Пример: Проверим число 7695. Сумма его цифр: $7 + 6 + 9 + 5 = 27$. Так как 27 делится на 9 ($27 = 9 \cdot 3$), то и число 7695 делится на 9. Действительно, $7695 : 9 = 855$.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

на 3:

Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Объяснение: Объяснение полностью аналогично признаку делимости на 9. Это связано с тем, что число 10 при делении на 3 дает в остатке 1 ($10 = 3 \cdot 3 + 1$). Следовательно, любая степень $10^k$ также будет давать остаток 1 при делении на 3. Поэтому число $\text{N}$ и сумма его цифр $S(N)$ дают одинаковые остатки при делении на 3 ($N \equiv S(N) \pmod{3}$). Таким образом, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример: Проверим число 5721. Сумма его цифр: $5 + 7 + 2 + 1 = 15$. Так как 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$), то и число 5721 делится на 3. Проверим: $5721 : 3 = 1907$.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.