Номер 4, страница 5, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

4. Как привести дробь к наименьшему общему знаменателю? Приведите примеры.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) — это преобразование дробей, при котором их знаменатели становятся одинаковыми и равными наименьшему возможному числу. Это число является наименьшим общим кратным (НОК) исходных знаменателей. Эта операция необходима для выполнения сложения и вычитания дробей, а также для их сравнения.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это число и будет их наименьшим общим знаменателем.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого новый общий знаменатель (НОК) нужно разделить на знаменатель данной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель, используя основное свойство дроби.

Примеры

1. Привести дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{8} $ к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 8. Для этого разложим их на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Чтобы найти НОК, берем все множители из разложения первого числа ($2 \cdot 3$) и добавляем недостающие множители из второго ($2 \cdot 2$).

НОК(6, 8) = $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 24.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби:

Для дроби $ \frac{1}{6} $ дополнительный множитель: $24 \div 6 = 4$.

Для дроби $ \frac{3}{8} $ дополнительный множитель: $24 \div 8 = 3$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24} $

$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $

Ответ: $ \frac{4}{24} $ и $ \frac{9}{24} $.

2. Привести дроби $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{4}{5} $ к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

1. Находим НОК знаменателей 15 и 5. В этом случае один из знаменателей (15) делится на другой (5) без остатка. Значит, НОК(15, 5) = 15. Наименьший общий знаменатель — 15.

2. Находим дополнительные множители:

Для дроби $ \frac{7}{15} $ дополнительный множитель: $15 \div 15 = 1$. (Дробь не изменится).

Для дроби $ \frac{4}{5} $ дополнительный множитель: $15 \div 5 = 3$.

3. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на её дополнительный множитель:

$ \frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 1}{15 \cdot 1} = \frac{7}{15} $

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $

Ответ: $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{12}{15} $.

3. Привести дроби $ \frac{5}{12} $, $ \frac{11}{18} $ и $ \frac{7}{30} $ к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

1. Находим НОК знаменателей 12, 18 и 30. Разложим их на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Для нахождения НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^2$, $3^2$, $\text{5}$.

НОК(12, 18, 30) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Наименьший общий знаменатель равен 180.

2. Находим дополнительные множители:

Для $ \frac{5}{12} $: $180 \div 12 = 15$.

Для $ \frac{11}{18} $: $180 \div 18 = 10$.

Для $ \frac{7}{30} $: $180 \div 30 = 6$.

3. Умножаем числители и знаменатели на соответствующие множители:

$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 15}{12 \cdot 15} = \frac{75}{180} $

$ \frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{110}{180} $

$ \frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 6}{30 \cdot 6} = \frac{42}{180} $

Ответ: $ \frac{75}{180} $, $ \frac{110}{180} $ и $ \frac{42}{180} $.