Номер 7, страница 6, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

7. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

1) $\frac{24}{60}$, НОД (24, 60) = $\Box$;

2) $\frac{45}{105}$, НОД (45, 105) = $\Box$;

3) $\frac{39}{130}$, НОД (39, 130) = $\Box$;

4) $\frac{64}{144}$, НОД (64, 144) = $\Box$.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) числителя 24 и знаменателя 60, разложим оба числа на простые множители.

Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложение числа 60: $60 = 10 \cdot 6 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Для нахождения НОД нужно выбрать общие простые множители в наименьшей степени и перемножить их.

Общие множители: $\text{2}$ и $\text{3}$. Наименьшая степень для $\text{2}$ это $2^2$, для $\text{3}$ это $3^1$.

НОД (24, 60) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Теперь сократим дробь $\frac{24}{60}$. Для этого разделим числитель и знаменатель на их НОД, то есть на 12.

$\frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5}$.

Ответ: НОД (24, 60) = 12; $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$.

2) Найдем НОД для чисел 45 и 105. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 45: $45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3 \cdot 3 = 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 105: $105 = 5 \cdot 21 = 5 \cdot 3 \cdot 7 = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Общие простые множители: $\text{3}$ и $\text{5}$. Берем их в наименьшей степени.

НОД (45, 105) = $3 \cdot 5 = 15$.

Сократим дробь $\frac{45}{105}$, разделив числитель и знаменатель на 15.

$\frac{45 \div 15}{105 \div 15} = \frac{3}{7}$.

Ответ: НОД (45, 105) = 15; $\frac{45}{105} = \frac{3}{7}$.

3) Найдем НОД для чисел 39 и 130. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 39: $39 = 3 \cdot 13$.

Разложение числа 130: $130 = 10 \cdot 13 = 2 \cdot 5 \cdot 13$.

Единственный общий простой множитель - это 13.

НОД (39, 130) = 13.

Сократим дробь $\frac{39}{130}$, разделив числитель и знаменатель на 13.

$\frac{39 \div 13}{130 \div 13} = \frac{3}{10}$.

Ответ: НОД (39, 130) = 13; $\frac{39}{130} = \frac{3}{10}$.

4) Найдем НОД для чисел 64 и 144. Разложим их на простые множители.

Разложение числа 64: $64 = 8 \cdot 8 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^6$.

Разложение числа 144: $144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$.

Общий простой множитель - это 2. Наименьшая степень, в которой он встречается в обоих разложениях, - это 4.

НОД (64, 144) = $2^4 = 16$.

Сократим дробь $\frac{64}{144}$, разделив числитель и знаменатель на 16.

$\frac{64 \div 16}{144 \div 16} = \frac{4}{9}$.

Ответ: НОД (64, 144) = 16; $\frac{64}{144} = \frac{4}{9}$.