Номер 14, страница 7, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

14*. Две шестерни сцеплены зубьями (рис. 2). Большая шестерня имеет 57 зубьев, а малая – 38. Сколько оборотов сделает большая шестерня, когда зубья обеих шестерен займут первоначальное положение?

Рис. 2

Для того чтобы зубья обеих шестерен одновременно вернулись в свое первоначальное положение, каждая из них должна совершить целое число полных оборотов. Это произойдет, когда общее число зубьев, прошедших через точку сцепления, будет минимальным числом, которое делится без остатка и на число зубьев большой шестерни, и на число зубьев малой. Иными словами, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел зубьев.

Число зубьев большой шестерни равно $57$. Число зубьев малой шестерни равно $38$.

Найдем $НОК(57, 38)$. Для этого разложим оба числа на простые множители:

$57 = 3 \cdot 19$

$38 = 2 \cdot 19$

Наименьшее общее кратное равно произведению всех простых множителей, входящих в разложения, взятых в наибольшей степени:

$НОК(57, 38) = 2 \cdot 3 \cdot 19 = 114$.

Это означает, что зубья займут первоначальное положение, когда через точку сцепления пройдет $114$ зубьев.

Чтобы найти количество оборотов большой шестерни, разделим это число на количество ее зубьев:

Количество оборотов = $\frac{НОК(57, 38)}{57} = \frac{114}{57} = 2$.

Таким образом, большая шестерня сделает 2 оборота. Для проверки можно убедиться, что малая шестерня также совершит целое число оборотов: $\frac{114}{38} = 3$ оборота.

Ответ: 2.