Номер 1, страница 9, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1) При каком условии обыкновенную дробь можно привести к десятичной?

1)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда выполняется определенное условие, связанное со знаменателем этой дроби.

Сначала необходимо представить обыкновенную дробь в несократимом виде. Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).

Основное условие: Несократимую обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ можно преобразовать в конечную десятичную дробь, если её знаменатель $\text{n}$ не имеет никаких других простых делителей, кроме 2 и 5. Другими словами, разложение знаменателя на простые множители должно содержать только числа 2 и 5 (в любых степенях).

Математически это можно записать так: знаменатель $\text{n}$ должен иметь вид $n = 2^a \cdot 5^b$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — целые неотрицательные числа.

Объяснение:

Конечная десятичная дробь — это, по сути, дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.). Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, любая степень десяти будет состоять только из простых множителей 2 и 5: $10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Чтобы превратить обыкновенную дробь $\frac{m}{n}$ в десятичную, мы должны привести её к эквивалентной дроби со знаменателем $10^k$. Это возможно, только если знаменатель исходной несократимой дроби $\text{n}$ является делителем числа $10^k$. А это, в свою очередь, возможно, только если все простые множители числа $\text{n}$ также являются множителями числа $10^k$, то есть это могут быть только 2 и 5.

Примеры:

1. Дробь $\frac{3}{8}$.

Дробь несократима. Знаменатель $n=8$. Разложим его на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Знаменатель содержит только простой множитель 2. Следовательно, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной. Для этого домножим числитель и знаменатель на $5^3 = 125$, чтобы в знаменателе получить степень десяти:

$\frac{3}{8} = \frac{3}{2^3} = \frac{3 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{3 \cdot 125}{(2 \cdot 5)^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{375}{1000} = 0.375$.

2. Дробь $\frac{9}{20}$.

Дробь несократима. Знаменатель $n=20$. Разложим его на простые множители: $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. Знаменатель содержит только простые множители 2 и 5. Значит, дробь можно представить в виде конечной десятичной.

$\frac{9}{20} = \frac{9}{2^2 \cdot 5} = \frac{9 \cdot 5}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{45}{(2 \cdot 5)^2} = \frac{45}{10^2} = \frac{45}{100} = 0.45$.

3. Дробь $\frac{5}{6}$.

Дробь несократима. Знаменатель $n=6$. Разложим его на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Так как в разложении знаменателя есть простой множитель 3 (который не является ни 2, ни 5), эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении 5 на 6 получится бесконечная периодическая дробь: $0.8333...$

4. Дробь $\frac{12}{30}$.

Сначала нужно сократить дробь: $\frac{12}{30} = \frac{12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{2}{5}$. Теперь анализируем несократимую дробь $\frac{2}{5}$. Знаменатель $n=5$. Его разложение на простые множители — это просто 5. Так как он содержит только множитель 5, дробь можно представить в виде конечной десятичной:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0.4$.

Ответ: Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, если после её сокращения (приведения к несократимому виду) разложение её знаменателя на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.