Номер 16, страница 8, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

16. Какова наименьшая площадь квадрата, если он делится без остатка на прямоугольники длиной 13 см и шириной 5 см?

Для того чтобы квадрат можно было "разделить без остатка" на прямоугольники размером $13 \times 5$ см, его должно быть возможно полностью замостить (покрыть без зазоров и наложений) такими прямоугольниками. Пусть сторона искомого квадрата равна $\text{L}$ см.

Чтобы найти наименьшее возможное значение $\text{L}$, необходимо определить, каким свойством должна обладать сторона квадрата. Докажем, что $\text{L}$ должна быть кратна как 13, так и 5.

1. Кратность 13:

Воспользуемся методом раскраски. Мысленно разобьем квадрат на единичные клетки $1 \times 1$ см и раскрасим их в 13 цветов. Цвет клетки с координатами $(i, j)$ будет определяться как $(i+j) \pmod{13}$.

Рассмотрим один прямоугольник $13 \times 5$ см. Независимо от его ориентации (расположен ли он как $13 \times 5$ или как $5 \times 13$), он всегда будет покрывать ровно 5 клеток каждого из 13 цветов. Это происходит потому, что в любом ряду или столбце длиной 13 клеток будут представлены все 13 цветов ровно по одному разу.

Поскольку каждый прямоугольник-«кирпичик» содержит одинаковое количество клеток каждого цвета, то и вся замощенная ими фигура — в данном случае квадрат $L \times L$ — также должна содержать одинаковое количество клеток каждого из 13 цветов. Это математическое свойство для квадрата $L \times L$ выполняется тогда и только тогда, когда его сторона $\text{L}$ кратна 13.

2. Кратность 5:

Аналогично, раскрасим квадрат в 5 цветов по правилу $(i+j) \pmod{5}$. Каждый прямоугольник $13 \times 5$ см, независимо от ориентации, будет покрывать ровно 13 клеток каждого из 5 цветов. Следовательно, чтобы квадрат $L \times L$ можно было замостить, он должен содержать равное количество клеток каждого из 5 цветов. Это возможно только в том случае, если его сторона $\text{L}$ кратна 5.

Итак, длина стороны квадрата $\text{L}$ должна быть одновременно кратна 13 и 5. Чтобы найти наименьшую площадь, нужно найти наименьшую возможную длину стороны $\text{L}$. Наименьшее натуральное число, которое делится и на 13, и на 5, — это их наименьшее общее кратное (НОК).

Поскольку 13 и 5 — простые числа, их НОК равно их произведению: $L = \text{НОК}(13, 5) = 13 \times 5 = 65$ см.

Таким образом, наименьшая возможная длина стороны квадрата составляет 65 см. Наименьшая площадь $\text{S}$ этого квадрата равна: $S = L^2 = 65^2 = 4225$ см$^2$.

Ответ: $4225$ см$^2$.