Номер 9, страница 6, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

9. Какие фигуры, изображенные на рисунке 1, можно нарисовать одним росчерком (не проведя ни одной линии дважды и не отрывая карандаш от тетради), а какие – нельзя? Перечертите фигуры, которые можно обвести одним росчерком, в тетрадь.

Рис. 1

Для решения этой задачи воспользуемся понятием из теории графов. Каждую фигуру можно рассматривать как граф, где точки пересечения или окончания линий являются вершинами, а сами линии — ребрами. Степенью вершины называется количество ребер (линий), которые в ней сходятся.

Фигуру можно нарисовать одним росчерком (то есть не отрывая карандаша и не проводя одну и ту же линию дважды), если выполняется одно из следующих условий:

1. Все вершины фигуры имеют четную степень. В этом случае рисование можно начать из любой точки и закончить в ней же.

2. В фигуре ровно две вершины с нечетной степенью. В этом случае рисование нужно начинать в одной из нечетных вершин, а заканчивать в другой.

Если в фигуре больше двух вершин с нечетной степенью, то ее невозможно нарисовать одним росчерком. Проанализируем каждую фигуру.

a) Рассмотрим фигуру в виде конверта. У нее 5 вершин (точек пересечения линий): одна на вершине треугольного клапана, две на верхних углах прямоугольника и две на нижних. Подсчитаем степени этих вершин:

• Верхняя вершина: сходятся 2 линии, степень $\text{2}$ (четная).

• Две вершины на верхних углах прямоугольника: в каждой сходятся 4 линии, степень каждой $\text{4}$ (четная).

• Две вершины на нижних углах прямоугольника: в каждом сходятся 3 линии, степень каждой $\text{3}$ (нечетная).

В этой фигуре ровно две вершины с нечетной степенью. Согласно правилу, такую фигуру можно нарисовать одним росчерком. Начинать рисование нужно в одной из нижних вершин, а заканчивать в другой.

Ответ: можно нарисовать.

б) Эта фигура имеет 4 вершины. Подсчитаем их степени:

• Верхняя вершина: степень $\text{3}$ (нечетная).

• Нижняя левая вершина: степень $\text{3}$ (нечетная).

• Нижняя правая вершина: степень $\text{3}$ (нечетная).

• Центральная вершина: степень $\text{3}$ (нечетная).

Все четыре вершины этой фигуры имеют нечетную степень. Поскольку количество нечетных вершин ($\text{4}$) больше двух, такую фигуру невозможно нарисовать одним росчерком.

Ответ: нельзя нарисовать.

в) Эта фигура состоит из трех пересекающихся окружностей. Вершинами в данном случае являются точки пересечения окружностей.

• Верхняя и средняя окружности пересекаются в двух точках.

• Средняя и нижняя окружности пересекаются в двух точках.

Всего у фигуры 4 вершины. В каждой такой вершине сходятся 4 дуги (по две от каждой окружности, образующей пересечение). Таким образом, степень каждой из четырех вершин равна $\text{4}$ (четная).

Так как все вершины фигуры имеют четную степень, ее можно нарисовать одним росчерком.

Ответ: можно нарисовать.

Таким образом, одним росчерком можно нарисовать фигуры а) и в). Именно их и следует перечертить в тетрадь.