Страница 34 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Определите азимут направления (рис. 16):

а) С–В; б) В; в) Ю–В.

С

С-З

С-В

З

В

Ю-З

Ю-В

Ю

а) С-В
Азимут – это угол, который отсчитывается по часовой стрелке от направления на север до заданного направления. Азимут измеряется в градусах от $0^\circ$ до $360^\circ$. Направлению на север (С) соответствует азимут $0^\circ$, а направлению на восток (В) – $90^\circ$. Направление на северо-восток (С-В) расположено точно между севером и востоком, поэтому его азимут равен среднему арифметическому их значений: $(0^\circ + 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

б) В
Направление на восток (В) является одним из четырех основных направлений (румбов). Отсчет азимута начинается от направления на север ($0^\circ$) и ведется по часовой стрелке. Угол между севером и востоком составляет четверть полного круга, то есть $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) Ю-В
Направление на юго-восток (Ю-В) расположено точно между востоком (В) и югом (Ю). Азимут востока составляет $90^\circ$, а азимут юга – $180^\circ$. Соответственно, азимут юго-востока вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений: $(90^\circ + 180^\circ) / 2 = 270^\circ / 2 = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

1.2. Внутри прямого угла провели луч так, что один из полученных углов оказался:

а) в 2 раза меньше другого;

б) на $10^\circ$ больше другого.

Определите получившиеся углы.

Прямой угол равен $90^\circ$. Когда внутри него проводят луч, он делится на два угла, сумма которых равна $90^\circ$. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, мы имеем основное уравнение: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

а)

По условию, один из полученных углов в 2 раза меньше другого. Пусть $\alpha$ — меньший угол, тогда $\beta$ — больший. Это можно записать в виде соотношения: $\beta = 2\alpha$.

Подставим это соотношение в основное уравнение:

$\alpha + 2\alpha = 90^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

Теперь найдем величину меньшего угла $\alpha$:

$\alpha = 90^\circ / 3 = 30^\circ$

Зная меньший угол, найдем больший угол $\beta$:

$\beta = 2\alpha = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$

Проверим: $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: получившиеся углы равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

б)

По условию, один из полученных углов на $10^\circ$ больше другого. Пусть $\alpha$ — меньший угол, а $\beta$ — больший. Тогда их соотношение можно записать как $\beta = \alpha + 10^\circ$.

Подставим это соотношение в основное уравнение $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\alpha + (\alpha + 10^\circ) = 90^\circ$

$2\alpha + 10^\circ = 90^\circ$

Теперь найдем величину меньшего угла $\alpha$:

$2\alpha = 90^\circ - 10^\circ$

$2\alpha = 80^\circ$

$\alpha = 80^\circ / 2 = 40^\circ$

Зная меньший угол, найдем больший угол $\beta$:

$\beta = \alpha + 10^\circ = 40^\circ + 10^\circ = 50^\circ$

Проверим: $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: получившиеся углы равны $40^\circ$ и $50^\circ$.

1.3. Внутри развёрнутого угла провели луч так, что один из полученных углов Рис. 16 оказался:

а) в 3 раза больше другого;

б) на $20^\circ$ меньше другого.

Определите получившиеся углы.

Развёрнутый угол имеет градусную меру $180°$. Когда внутри развёрнутого угла проводят луч, он делит его на два смежных угла, сумма которых равна $180°$.

а) Пусть величина одного из углов равна $x$. По условию, другой угол в 3 раза больше, следовательно, его величина равна $3x$. Сумма этих углов составляет $180°$. Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 180°$
$4x = 180°$
$x = \frac{180°}{4}$
$x = 45°$
Один угол равен $45°$. Второй угол равен $3x = 3 \times 45° = 135°$.
Проверим: $45° + 135° = 180°$.
Ответ: получившиеся углы равны $45°$ и $135°$.

б) Пусть величина большего угла равна $y$. По условию, другой угол на $20°$ меньше, следовательно, его величина равна $y - 20°$. Сумма этих углов составляет $180°$. Составим и решим уравнение:
$y + (y - 20°) = 180°$
$2y - 20° = 180°$
$2y = 180° + 20°$
$2y = 200°$
$y = \frac{200°}{2}$
$y = 100°$
Больший угол равен $100°$. Меньший угол равен $y - 20° = 100° - 20° = 80°$.
Проверим: $100° + 80° = 180°$.
Ответ: получившиеся углы равны $80°$ и $100°$.