Страница 41 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Чем является отношение величин:

а) одного наименования;

б) разных наименований?

Приведите примеры.

а) одного наименования;

Отношение двух величин одного наименования — это безразмерная величина, то есть число. Оно показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой, или какую часть одна величина составляет от другой. При делении таких величин их единицы измерения сокращаются.

Примеры:

1. Отношение двух длин: длина комнаты 6 метров, а ширина 3 метра.
Отношение длины к ширине: $6 \text{ м} / 3 \text{ м} = 2$.
Это число показывает, что длина комнаты в 2 раза больше ее ширины.

2. Отношение двух масс: масса арбуза 10 кг, а масса дыни 2 кг.
Отношение массы арбуза к массе дыни: $10 \text{ кг} / 2 \text{ кг} = 5$.
Это означает, что арбуз в 5 раз тяжелее дыни.

Ответ: Отношение величин одного наименования является числом (безразмерной величиной).

б) разных наименований?

Отношение двух величин разных наименований является новой физической величиной, которая имеет собственное наименование и единицу измерения. Единица измерения новой величины представляет собой отношение исходных единиц.

Примеры:

1. Скорость движения. Это отношение пути ко времени. Если тело прошло путь $S = 100$ километров за время $t = 2$ часа, то его скорость $v$ равна:
$v = S / t = 100 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 50 \text{ км/ч}$.
Здесь новая величина — это скорость, а ее единица измерения — километры в час (км/ч).

2. Плотность вещества. Это отношение массы к объему. Если масса железного бруска $m = 15.6$ кг, а его объем $V = 0.002$ м³, то его плотность $\rho$ равна:
$\rho = m / V = 15.6 \text{ кг} / 0.002 \text{ м}^3 = 7800 \text{ кг/м}^3$.
Здесь новая величина — это плотность, а ее единица измерения — килограмм на кубический метр (кг/м³).

3. Цена товара. Это отношение стоимости к количеству (массе, объему и т.д.). Если 5 кг картофеля стоят 150 рублей, то цена одного килограмма равна:
$150 \text{ руб} / 5 \text{ кг} = 30 \text{ руб/кг}$.
Здесь новая величина — это цена, а ее единица измерения — рубли за килограмм (руб/кг).

Ответ: Отношение величин разных наименований является новой величиной со своей единицей измерения.

2.3. Используя слово «отношение», прочитайте запись:

а) $7 : 2$;

б) $\frac{3}{5}$;

в) $1 : 5$;

г) $\frac{1}{6}$.

а) Запись $7 : 2$ является отношением двух чисел: 7 и 2. Используя слово «отношение», эта запись читается как «отношение семи к двум».

Ответ: отношение семи к двум.

б) Запись в виде дроби $\frac{3}{5}$ также представляет собой отношение, в данном случае числа 3 к числу 5. Используя слово «отношение», эта запись читается как «отношение трёх к пяти».

Ответ: отношение трёх к пяти.

в) Запись $1 : 5$ является отношением числа 1 к числу 5. Используя слово «отношение», эта запись читается как «отношение одного к пяти».

Ответ: отношение одного к пяти.

г) Запись в виде дроби $\frac{1}{6}$ представляет собой отношение числа 1 к числу 6. Используя слово «отношение», эта запись читается как «отношение одного к шести».

Ответ: отношение одного к шести.

2.4. Запишите отношение, назовите его члены:

а) $7:3$
б) $5:9$
в) $12:4$
г) $10:1000$

а)

Отношение двух чисел — это их частное. Отношение числа 7 к числу 3 можно записать с помощью знака деления (двоеточия) или в виде дроби.

Запись отношения: $7 : 3$ или $\frac{7}{3}$.

Числа, составляющие отношение, называются его членами. В данном отношении:

• 7 — первый (предыдущий) член отношения.
• 3 — второй (последующий) член отношения.

Ответ: Отношение: $7 : 3$ или $\frac{7}{3}$. Члены отношения: 7 (предыдущий член) и 3 (последующий член).

б)

Отношение числа 5 к числу 9 записывается как $5 : 9$ или в виде дроби $\frac{5}{9}$.

Члены этого отношения:

• 5 — предыдущий член.
• 9 — последующий член.

Ответ: Отношение: $5 : 9$ или $\frac{5}{9}$. Члены отношения: 5 (предыдущий член) и 9 (последующий член).

в)

Отношение числа 12 к числу 4 записывается как $12 : 4$ или в виде дроби $\frac{12}{4}$.

Члены этого отношения:

• 12 — предыдущий член.
• 4 — последующий член.

Ответ: Отношение: $12 : 4$ или $\frac{12}{4}$. Члены отношения: 12 (предыдущий член) и 4 (последующий член).

г)

Отношение числа 10 к числу 1000 записывается как $10 : 1000$ или в виде дроби $\frac{10}{1000}$.

Члены этого отношения:

• 10 — предыдущий член.
• 1000 — последующий член.

Ответ: Отношение: $10 : 1000$ или $\frac{10}{1000}$. Члены отношения: 10 (предыдущий член) и 1000 (последующий член).

2.5. Найдите отношение:

а) $3$ к $\frac{1}{2}$;

б) $5$ к $\frac{10}{13}$;

в) $\frac{7}{8}$ к $\frac{21}{32}$;

г) $\frac{12}{17}$ к $\frac{48}{51}$.

а) Чтобы найти отношение числа 3 к дроби $\frac{1}{2}$, необходимо разделить 3 на $\frac{1}{2}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь.
$3 : \frac{1}{2} = 3 \times \frac{2}{1} = 6$.
Ответ: 6.

б) Чтобы найти отношение числа 5 к дроби $\frac{10}{13}$, необходимо разделить 5 на $\frac{10}{13}$. Заменим деление умножением на обратную дробь $\frac{13}{10}$.
$5 : \frac{10}{13} = 5 \times \frac{13}{10} = \frac{5 \times 13}{10}$.
Сократим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5 \times 13}{10} = \frac{1 \times 13}{2} = \frac{13}{2}$.
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{13}{2} = 6 \frac{1}{2}$.
Ответ: $6 \frac{1}{2}$.

в) Чтобы найти отношение дроби $\frac{7}{8}$ к дроби $\frac{21}{32}$, необходимо разделить первую дробь на вторую. Для этого умножим первую дробь на дробь, обратную второй.
$\frac{7}{8} : \frac{21}{32} = \frac{7}{8} \times \frac{32}{21}$.
Сократим дроби перед умножением: 7 и 21 сокращаются на 7, а 8 и 32 сокращаются на 8.
$\frac{7 \div 7}{8 \div 8} \times \frac{32 \div 8}{21 \div 7} = \frac{1}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$.
Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

г) Чтобы найти отношение дроби $\frac{12}{17}$ к дроби $\frac{48}{51}$, необходимо разделить первую дробь на вторую. Умножим первую дробь на дробь, обратную второй.
$\frac{12}{17} : \frac{48}{51} = \frac{12}{17} \times \frac{51}{48}$.
Сократим дроби перед умножением: 12 и 48 сокращаются на 12, а 17 и 51 сокращаются на 17.
$\frac{12 \div 12}{17 \div 17} \times \frac{51 \div 17}{48 \div 12} = \frac{1}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

2.6. Прочитайте отношение, назовите его члены, упростите отношение с помощью свойства отношения:

а) $40 : 50 = 4 : 5$;

б) $99 : 18$;

в) $450 : 250$;

г) $720 : 81$.

В чём заключается свойство отношения?

а) 40 : 50
Отношение читается как "сорок к пятидесяти".
Члены отношения: 40 – предыдущий член, 50 – последующий член.
Чтобы упростить отношение, нужно разделить его члены на их наибольший общий делитель (НОД).
НОД(40, 50) = 10.
$40 : 50 = (40 \div 10) : (50 \div 10) = 4 : 5$.
Ответ: 4 : 5.

б) 99 : 18
Отношение читается как "девяносто девять к восемнадцати".
Члены отношения: 99 – предыдущий член, 18 – последующий член.
Для упрощения найдем наибольший общий делитель для 99 и 18.
НОД(99, 18) = 9.
Разделим каждый член отношения на 9:
$99 : 18 = (99 \div 9) : (18 \div 9) = 11 : 2$.
Ответ: 11 : 2.

в) 450 : 250
Отношение читается как "четыреста пятьдесят к двумстам пятидесяти".
Члены отношения: 450 – предыдущий член, 250 – последующий член.
Для упрощения найдем наибольший общий делитель для 450 и 250.
НОД(450, 250) = 50.
Разделим каждый член отношения на 50:
$450 : 250 = (450 \div 50) : (250 \div 50) = 9 : 5$.
Ответ: 9 : 5.

г) 720 : 81
Отношение читается как "семьсот двадцать к восьмидесяти одному".
Члены отношения: 720 – предыдущий член, 81 – последующий член.
Для упрощения найдем наибольший общий делитель для 720 и 81.
НОД(720, 81) = 9.
Разделим каждый член отношения на 9:
$720 : 81 = (720 \div 9) : (81 \div 9) = 80 : 9$.
Ответ: 80 : 9.

В чём заключается свойство отношения?
Основное свойство отношения заключается в том, что значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Для отношения $a : b$ и любого числа $c \neq 0$ справедливо:
$a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$
$a : b = (a \div c) : (b \div c)$ (если $a$ и $b$ делятся на $c$)
Именно это свойство используется для упрощения отношений.

2.7. Запишите отношение в виде дроби (там, где можно, упростите отношение):

а) $3:5$;

б) $49:28$;

в) $35:700$;

г) $5:7$;

д) $520:460$;

е) $27:81$.

а) Чтобы записать отношение $3 : 5$ в виде дроби, нужно первое число (делимое) записать в числитель, а второе число (делитель) — в знаменатель. Получаем дробь $\frac{3}{5}$. Числитель 3 и знаменатель 5 не имеют общих делителей, кроме 1 (являются взаимно простыми числами), поэтому эта дробь несократимая.
Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Запишем отношение $49 : 28$ в виде дроби: $\frac{49}{28}$. Чтобы упростить (сократить) эту дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Разложим числа на простые множители: $49 = 7 \cdot 7$, а $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Общий множитель — 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{49}{28} = \frac{49 \div 7}{28 \div 7} = \frac{7}{4}$.
Ответ: $\frac{7}{4}$

в) Запишем отношение $35 : 700$ в виде дроби: $\frac{35}{700}$. Для упрощения дроби найдем НОД для 35 и 700. Заметим, что 700 делится на 35 без остатка ($700 = 35 \cdot 20$). Следовательно, мы можем сократить дробь на 35:
$\frac{35}{700} = \frac{35 \div 35}{700 \div 35} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

г) Запишем отношение $5 : 7$ в виде дроби: $\frac{5}{7}$. Числа 5 и 7 являются простыми, их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, дробь $\frac{5}{7}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{7}$

д) Запишем отношение $520 : 460$ в виде дроби: $\frac{520}{460}$. Оба числа оканчиваются на 0, поэтому их можно сократить на 10:
$\frac{520}{460} = \frac{520 \div 10}{460 \div 10} = \frac{52}{46}$.
Полученные числа, 52 и 46, являются четными, поэтому их можно сократить на 2:
$\frac{52}{46} = \frac{52 \div 2}{46 \div 2} = \frac{26}{23}$.
Число 23 — простое, а 26 на 23 не делится, поэтому дробь $\frac{26}{23}$ несократимая.
Ответ: $\frac{26}{23}$

е) Запишем отношение $27 : 81$ в виде дроби: $\frac{27}{81}$. Чтобы упростить дробь, найдем НОД для 27 и 81. Можно заметить, что оба числа делятся на 9 ($27 = 3 \cdot 9$, $81 = 9 \cdot 9$). Сократим на 9:
$\frac{27}{81} = \frac{27 \div 9}{81 \div 9} = \frac{3}{9}$.
Теперь дробь $\frac{3}{9}$ можно сократить на 3:
$\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Также можно было сразу заметить, что $81 = 3 \cdot 27$, и сократить дробь на 27.
Ответ: $\frac{1}{3}$

2.8. Можно ли выразить натуральным числом отношение:

а) $40 : 20$;

б) $30 : 60$;

в) $1000 : 100$;

г) $600 : 30$;

д) $20 : 40$;

е) $100 : 1000?$;

Чтобы выразить отношение натуральным числом, необходимо, чтобы результат деления первого числа на второе был целым положительным числом (1, 2, 3, ...). Проверим каждое отношение:

а) 40 : 20
Выполним деление: $40 : 20 = 2$.
Число 2 является натуральным числом.
Ответ: да, можно.

б) 30 : 60
Выполним деление: $30 : 60 = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Число 0,5 является дробным, а не натуральным.
Ответ: нет, нельзя.

в) 1000 : 100
Выполним деление: $1000 : 100 = 10$.
Число 10 является натуральным числом.
Ответ: да, можно.

г) 600 : 30
Выполним деление: $600 : 30 = 20$.
Число 20 является натуральным числом.
Ответ: да, можно.

д) 20 : 40
Выполним деление: $20 : 40 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Число 0,5 не является натуральным числом.
Ответ: нет, нельзя.

е) 100 : 1000
Выполним деление: $100 : 1000 = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Число 0,1 не является натуральным числом.
Ответ: нет, нельзя.

2.9. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением натуральных чисел по образцу:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. I способ. $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} : \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} : \frac{2}{6} = 3:2$.

II способ. Умножим каждый член отношения на 6:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{6}{2} : \frac{6}{3} = 3:2$.

б) $\frac{1}{4} : \frac{1}{5};$

в) $\frac{3}{7} : \frac{4}{5};$

г) $\frac{2}{5} : \frac{3}{7};$

д) $\frac{12}{17} : 1\frac{1}{2};$

е) $1\frac{1}{2} : \frac{3}{8};$

ж) $2\frac{1}{2} : 1\frac{2}{3}.$

Упростите отношение величин (2.10–2.11):

б) Чтобы заменить отношение дробей $\frac{1}{4} : \frac{1}{5}$ равным ему отношением натуральных чисел, умножим каждый член отношения на их наименьший общий знаменатель, который равен $20$.
$(\frac{1}{4} \cdot 20) : (\frac{1}{5} \cdot 20) = 5 : 4$.
Ответ: $5:4$

в) Для отношения $\frac{3}{7} : \frac{4}{5}$ наименьший общий знаменатель равен $35$. Умножим каждый член отношения на $35$:
$(\frac{3}{7} \cdot 35) : (\frac{4}{5} \cdot 35) = (3 \cdot 5) : (4 \cdot 7) = 15 : 28$.
Ответ: $15:28$

г) Для отношения $\frac{2}{5} : \frac{3}{7}$ наименьший общий знаменатель равен $35$. Умножим каждый член отношения на $35$:
$(\frac{2}{5} \cdot 35) : (\frac{3}{7} \cdot 35) = (2 \cdot 7) : (3 \cdot 5) = 14 : 15$.
Ответ: $14:15$

д) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Получаем отношение $\frac{12}{17} : \frac{3}{2}$. Наименьший общий знаменатель дробей равен $34$. Умножим каждый член отношения на $34$:
$(\frac{12}{17} \cdot 34) : (\frac{3}{2} \cdot 34) = (12 \cdot 2) : (3 \cdot 17) = 24 : 51$.
Сократим полученное отношение, разделив оба члена на $3$:
$(24 \div 3) : (51 \div 3) = 8 : 17$.
Ответ: $8:17$

е) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Получаем отношение $\frac{3}{2} : \frac{3}{8}$. Наименьший общий знаменатель дробей равен $8$. Умножим каждый член отношения на $8$:
$(\frac{3}{2} \cdot 8) : (\frac{3}{8} \cdot 8) = (3 \cdot 4) : 3 = 12 : 3$.
Сократим полученное отношение, разделив оба члена на $3$:
$(12 \div 3) : (3 \div 3) = 4 : 1$.
Ответ: $4:1$

ж) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Получаем отношение $\frac{5}{2} : \frac{5}{3}$. Наименьший общий знаменатель дробей равен $6$. Умножим каждый член отношения на $6$:
$(\frac{5}{2} \cdot 6) : (\frac{5}{3} \cdot 6) = (5 \cdot 3) : (5 \cdot 2) = 15 : 10$.
Сократим полученное отношение, разделив оба члена на $5$:
$(15 \div 5) : (10 \div 5) = 3 : 2$.
Ответ: $3:2$

2.10. а) $\frac{35 \text{ м}}{28 \text{ м}}$

б) $\frac{45 \text{ кг}}{36 \text{ кг}}$

в) $\frac{420 \text{ км}}{720 \text{ км}}$

г) $\frac{450 \text{ Т}}{540 \text{ Т}}$

д) $\frac{320 \text{ ч}}{48 \text{ ч}}$

е) $\frac{480 \text{ мин}}{840 \text{ мин}}$

а) Чтобы упростить отношение $\frac{35\ м}{28\ м}$, необходимо сократить дробь $\frac{35}{28}$, поскольку единицы измерения (метры) в числителе и знаменателе одинаковы. Для этого находим наибольший общий делитель (НОД) чисел 35 и 28. НОД(35, 28) = 7. Теперь разделим числитель и знаменатель на 7. Получаем: $ \frac{35}{28} = \frac{35 \div 7}{28 \div 7} = \frac{5}{4} $. Ответ: $ \frac{5}{4} $.

б) Упростим отношение $\frac{45\ кг}{36\ кг}$. Единицы измерения (килограммы) сокращаются. Нужно сократить дробь $\frac{45}{36}$. Находим наибольший общий делитель для 45 и 36. НОД(45, 36) = 9. Разделим числитель и знаменатель на 9: $ \frac{45}{36} = \frac{45 \div 9}{36 \div 9} = \frac{5}{4} $. Ответ: $ \frac{5}{4} $.

в) Упростим отношение $\frac{420\ км}{720\ км}$. Единицы измерения (километры) сокращаются. Сократим дробь $\frac{420}{720}$. Сначала можно разделить числитель и знаменатель на 10, убрав нули: $\frac{42}{72}$. Затем находим НОД для 42 и 72. НОД(42, 72) = 6. Разделим числитель и знаменатель на 6: $ \frac{42}{72} = \frac{42 \div 6}{72 \div 6} = \frac{7}{12} $. Ответ: $ \frac{7}{12} $.

г) Упростим отношение $\frac{450\ т}{540\ т}$. Единицы измерения (тонны) сокращаются. Сократим дробь $\frac{450}{540}$. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10: $\frac{45}{54}$. Теперь найдем НОД для 45 и 54. НОД(45, 54) = 9. Разделим числитель и знаменатель на 9: $ \frac{45}{54} = \frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6} $. Ответ: $ \frac{5}{6} $.

д) Упростим отношение $\frac{320\ ч}{48\ ч}$. Единицы измерения (часы) сокращаются. Сократим дробь $\frac{320}{48}$. Находим НОД для 320 и 48. НОД(320, 48) = 16. Разделим числитель и знаменатель на 16: $ \frac{320}{48} = \frac{320 \div 16}{48 \div 16} = \frac{20}{3} $. Ответ: $ \frac{20}{3} $.

е) Упростим отношение $\frac{480\ мин}{840\ мин}$. Единицы измерения (минуты) сокращаются. Сократим дробь $\frac{480}{840}$. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10: $\frac{48}{84}$. Теперь находим НОД для 48 и 84. НОД(48, 84) = 12. Разделим числитель и знаменатель на 12: $ \frac{48}{84} = \frac{48 \div 12}{84 \div 12} = \frac{4}{7} $. Ответ: $ \frac{4}{7} $.

2.11. а) $ \frac{12 \text{ м}}{15 \text{ дм}} $

б) $ \frac{18 \text{ кг}}{540 \text{ г}} $

в) $ \frac{490 \text{ см}}{35 \text{ дм}} $

г) $ \frac{450 \text{ кг}}{2 \text{ т}} $

д) $ \frac{3500 \text{ см}^3}{21 \text{ дм}^3} $

е) $ \frac{9900 \text{ дм}^3}{18 \text{ м}^3} $

а) Чтобы найти значение отношения $\frac{12 \text{ м}}{15 \text{ дм}}$, необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Переведем метры в дециметры. Зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, получаем: $12 \text{ м} = 12 \times 10 \text{ дм} = 120 \text{ дм}$. Теперь можно найти отношение, сократив единицы измерения: $\frac{120 \text{ дм}}{15 \text{ дм}} = \frac{120}{15} = 8$. Ответ: 8

б) Чтобы найти значение отношения $\frac{18 \text{ кг}}{540 \text{ г}}$, приведем величины к одной единице измерения. Переведем килограммы в граммы. Зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, получаем: $18 \text{ кг} = 18 \times 1000 \text{ г} = 18000 \text{ г}$. Теперь найдем отношение: $\frac{18000 \text{ г}}{540 \text{ г}} = \frac{18000}{540} = \frac{1800}{54}$. Разделим числитель и знаменатель на 18: $\frac{1800 \div 18}{54 \div 18} = \frac{100}{3}$. Ответ: $\frac{100}{3}$

в) Чтобы найти значение отношения $\frac{490 \text{ см}}{35 \text{ дм}}$, приведем величины к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры. Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, получаем: $35 \text{ дм} = 35 \times 10 \text{ см} = 350 \text{ см}$. Теперь найдем отношение: $\frac{490 \text{ см}}{350 \text{ см}} = \frac{490}{350} = \frac{49}{35}$. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{49 \div 7}{35 \div 7} = \frac{7}{5}$. Ответ: $\frac{7}{5}$

г) Чтобы найти значение отношения $\frac{450 \text{ кг}}{2 \text{ т}}$, приведем величины к одной единице измерения. Переведем тонны в килограммы. Зная, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$, получаем: $2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$. Теперь найдем отношение: $\frac{450 \text{ кг}}{2000 \text{ кг}} = \frac{450}{2000} = \frac{45}{200}$. Разделим числитель и знаменатель на 5: $\frac{45 \div 5}{200 \div 5} = \frac{9}{40}$. Ответ: $\frac{9}{40}$

д) Чтобы найти значение отношения $\frac{3500 \text{ см}^3}{21 \text{ дм}^3}$, приведем величины к одной единице измерения. Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры. Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $1 \text{ дм}^3 = 10^3 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$. Тогда $21 \text{ дм}^3 = 21 \times 1000 \text{ см}^3 = 21000 \text{ см}^3$. Теперь найдем отношение: $\frac{3500 \text{ см}^3}{21000 \text{ см}^3} = \frac{3500}{21000} = \frac{35}{210}$. Разделим числитель и знаменатель на 35: $\frac{35 \div 35}{210 \div 35} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$

е) Чтобы найти значение отношения $\frac{9900 \text{ дм}^3}{18 \text{ м}^3}$, приведем величины к одной единице измерения. Переведем кубические метры в кубические дециметры. Зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^3 = 10^3 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3$. Тогда $18 \text{ м}^3 = 18 \times 1000 \text{ дм}^3 = 18000 \text{ дм}^3$. Теперь найдем отношение: $\frac{9900 \text{ дм}^3}{18000 \text{ дм}^3} = \frac{9900}{18000} = \frac{99}{180}$. Разделим числитель и знаменатель на 9: $\frac{99 \div 9}{180 \div 9} = \frac{11}{20}$. Ответ: $\frac{11}{20}$