Страница 42 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.12. Упростите отношение величин по образцу:

а) $ \frac{350 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = \frac{350}{5} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 70 \frac{\text{км}}{\text{ч}} $;

б) $ \frac{720 \text{ км}}{8 \text{ ч}} $;

в) $ \frac{360 \text{ м}}{3 \text{ мин}} $;

г) $ \frac{420 \text{ кг}}{4 \text{ м}^3} $;

д) $ \frac{2250 \text{ кг}}{3 \text{ м}^3} $;

е) $ \frac{720 \text{ м}}{20 \text{ с}} $;

ж) $ \frac{450 \text{ г}}{5 \text{ см}^3} $.

б)

Чтобы упростить отношение величин, необходимо разделить числовое значение в числителе (720) на числовое значение в знаменателе (8), а отношение единиц измерения (км/ч) сохранить. Это соответствует нахождению скорости.

$\frac{720 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = \frac{720}{8} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: $90 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

в)

Аналогично предыдущему пункту, делим числовое значение расстояния (360 м) на числовое значение времени (3 мин), чтобы найти скорость.

$\frac{360 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = \frac{360}{3} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 120 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: $120 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

г)

В данном случае упрощение отношения соответствует нахождению плотности вещества. Делим массу (420 кг) на объем (4 м³).

$\frac{420 \text{ кг}}{4 \text{ м}^3} = \frac{420}{4} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 105 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $105 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

д)

Снова находим плотность, разделив массу (2250 кг) на объем (3 м³).

$\frac{2250 \text{ кг}}{3 \text{ м}^3} = \frac{2250}{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

е)

Находим скорость, разделив расстояние (720 м) на время (20 с).

$\frac{720 \text{ м}}{20 \text{ с}} = \frac{720}{20} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 36 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $36 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

ж)

Находим плотность, разделив массу (450 г) на объем (5 см³).

$\frac{450 \text{ г}}{5 \text{ см}^3} = \frac{450}{5} \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 90 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Ответ: $90 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

2.13. Найдите пройденный путь $s$, если известны скорость $v$ и время $t$ равномерного движения:

а) $v=2 \text{ м/с}, t=3 \text{ с};$

б) $v=2 \text{ м/с}, t=\frac{1}{20} \text{ мин.}$

а)

Для нахождения пройденного пути $s$ при равномерном движении используется формула: $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

В данном случае единицы измерения скорости ($v = 2$ м/с) и времени ($t = 3$ с) согласованы, поэтому можно сразу подставить значения в формулу:

$s = 2 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.

б)

В этом пункте скорость дана в метрах в секунду ($v = 2$ м/с), а время — в минутах ($t = \frac{1}{20}$ мин). Для корректного расчета по формуле $s = v \cdot t$ необходимо привести единицы измерения к единой системе. Переведем время из минут в секунды.

В одной минуте содержится 60 секунд, следовательно:

$t = \frac{1}{20} \text{ мин} = \frac{1}{20} \cdot 60 \text{ с} = 3 \text{ с}$

Теперь, когда время выражено в секундах, можно вычислить пройденный путь:

$s = 2 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.

2.14. Найдите скорость равномерного движения $v$, если известны пройденный путь $s$ и время движения $t$:

а) $s = 6$ м, $t = 3$ с;

б) $s = 6$ м, $t = \frac{1}{20}$ ч.

Для нахождения скорости равномерного движения $v$ используется формула:

$v = \frac{s}{t}$

где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время движения.

а)

Дано: $s = 6$ м, $t = 3$ с.

Подставим известные значения в формулу:

$v = \frac{6 \text{ м}}{3 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: 2 м/с.

б)

Дано: $s = 6$ м, $t = \frac{1}{20}$ ч.

Поскольку единицы измерения пути (метры) и времени (часы) не согласованы для получения стандартной единицы скорости (м/с), необходимо перевести время из часов в секунды. В одном часе 3600 секунд.

$t = \frac{1}{20} \text{ ч} = \frac{1}{20} \times 3600 \text{ с} = 180 \text{ с}$

Теперь подставим значения в формулу скорости:

$v = \frac{6 \text{ м}}{180 \text{ с}} = \frac{1}{30} \text{ м/с}$

Ответ: $\frac{1}{30}$ м/с.

2.15. Скорость пешехода $5 \frac{1}{5}$ км/ч. Найдите путь, пройденный пешеходом:

а) за 2 ч;

б) за $1 \frac{1}{2}$ ч;

в) за 45 мин;

г) за 125 мин.

Для решения задачи используется формула нахождения пути: $S = v \cdot t$, где $S$ – это путь, $v$ – это скорость, а $t$ – это время.

Скорость пешехода $v = 5\frac{1}{5}$ км/ч. Для удобства вычислений переведем это значение в неправильную дробь:

$v = 5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$ км/ч.

а) за 2 ч

Время в пути $t = 2$ ч. Найдем пройденный путь:

$S = \frac{26}{5} \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = \frac{52}{5} \text{ км} = 10\frac{2}{5} \text{ км} = 10,4 \text{ км}.$

Ответ: $10,4$ км.

б) за $1\frac{1}{2}$ ч

Время в пути $t = 1\frac{1}{2}$ ч. Переведем время в неправильную дробь: $t = \frac{3}{2}$ ч. Найдем пройденный путь:

$S = \frac{26}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{26 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{78}{10} \text{ км} = 7\frac{8}{10} \text{ км} = 7,8 \text{ км}.$

Ответ: $7,8$ км.

в) за 45 мин

Поскольку скорость дана в км/ч, необходимо перевести время из минут в часы. В одном часе 60 минут.

$t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4}$ ч.

Теперь найдем пройденный путь:

$S = \frac{26}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{26 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{78}{20} \text{ км} = \frac{39}{10} \text{ км} = 3,9 \text{ км}.$

Ответ: $3,9$ км.

г) за 125 мин

Переведем время из минут в часы:

$t = 125 \text{ мин} = \frac{125}{60} \text{ ч} = \frac{25}{12}$ ч.

Найдем пройденный путь, выполнив сокращение дробей:

$S = \frac{26}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{26 \cdot 25}{5 \cdot 12} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} \text{ км} = 10\frac{5}{6} \text{ км}.$

Ответ: $10\frac{5}{6}$ км.

2.16. Расстояние в $1 \frac{1}{2}$ км пешеход прошёл за 20 мин. Найдите скорость пешехода. Ответ запишите в следующих единицах:

а) км/ч;

б) км/мин;

в) м/ч;

г) м/мин;

д) м/с.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения скорости: $v = S / t$, где $v$ — это скорость, $S$ — расстояние, а $t$ — время.

По условию задачи:

Расстояние $S = 1 \frac{1}{2}$ км = 1,5 км.

Время $t = 20$ мин.

Прежде чем приступить к вычислениям, переведем данные в необходимые единицы измерения:

Расстояние в метрах: $S = 1,5 \text{ км} = 1,5 \cdot 1000 \text{ м} = 1500 \text{ м}$.

Время в часах: $t = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Время в секундах: $t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$.

а) км/ч;

Для нахождения скорости в км/ч, разделим расстояние в километрах на время в часах.

$v = \frac{S}{t} = \frac{1,5 \text{ км}}{\frac{1}{3} \text{ ч}} = 1,5 \cdot 3 \text{ км/ч} = 4,5 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4,5 км/ч.

б) км/мин;

Для нахождения скорости в км/мин, разделим расстояние в километрах на время в минутах.

$v = \frac{S}{t} = \frac{1,5 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 0,075 \text{ км/мин}$.

Ответ: 0,075 км/мин.

в) м/ч;

Для нахождения скорости в м/ч, разделим расстояние в метрах на время в часах.

$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{\frac{1}{3} \text{ ч}} = 1500 \cdot 3 \text{ м/ч} = 4500 \text{ м/ч}$.

Ответ: 4500 м/ч.

г) м/мин;

Для нахождения скорости в м/мин, разделим расстояние в метрах на время в минутах.

$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{20 \text{ мин}} = 75 \text{ м/мин}$.

Ответ: 75 м/мин.

д) м/с.

Для нахождения скорости в м/с, разделим расстояние в метрах на время в секундах.

$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{1200 \text{ с}} = \frac{15}{12} \text{ м/с} = \frac{5}{4} \text{ м/с} = 1,25 \text{ м/с}$.

Ответ: 1,25 м/с.

2.17. Скорость легковой автомашины 72 км/ч. Какой путь она проедет за:

а) $ \frac{2}{3} $ ч;

б) 45 мин;

в) 50 мин;

г) 165 мин?

Для нахождения пути, который проедет автомашина, воспользуемся основной формулой для равномерного движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — это путь, $v$ — скорость, а $t$ — время. Скорость автомобиля дана в км/ч, поэтому для расчетов необходимо, чтобы время также было выражено в часах. Если время дано в минутах, его нужно перевести в часы, зная, что в 1 часе 60 минут.

а) Дано время $t = \frac{2}{3}$ ч. Время уже выражено в часах. Найдем путь: $S = 72 \text{ км/ч} \cdot \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{72 \cdot 2}{3} \text{ км} = 24 \cdot 2 \text{ км} = 48 \text{ км}$.
Ответ: 48 км.

б) Дано время $t = 45$ мин. Сначала переведем минуты в часы: $t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4}$ ч. Теперь рассчитаем путь: $S = 72 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{72 \cdot 3}{4} \text{ км} = 18 \cdot 3 \text{ км} = 54 \text{ км}$.
Ответ: 54 км.

в) Дано время $t = 50$ мин. Переведем минуты в часы: $t = 50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6}$ ч. Рассчитаем путь: $S = 72 \text{ км/ч} \cdot \frac{5}{6} \text{ ч} = \frac{72 \cdot 5}{6} \text{ км} = 12 \cdot 5 \text{ км} = 60 \text{ км}$.
Ответ: 60 км.

г) Дано время $t = 165$ мин. Переведем минуты в часы: $t = 165 \text{ мин} = \frac{165}{60} \text{ ч} = \frac{11}{4}$ ч. Рассчитаем путь: $S = 72 \text{ км/ч} \cdot \frac{11}{4} \text{ ч} = \frac{72 \cdot 11}{4} \text{ км} = 18 \cdot 11 \text{ км} = 198 \text{ км}$.
Ответ: 198 км.

2.18. Скорость легковой автомашины 1200 м/мин. За сколько часов

машина проедет:

а) 144 км;

б) 36 км;

в) 8 км;

г) 54 км?

ель

бер.

B

бер.

A

Масштаб 1:10 000

Для решения задачи сначала необходимо перевести скорость автомобиля из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч), так как расстояние дано в километрах, а время требуется найти в часах.

1. Перевод скорости в км/ч.

Скорость автомобиля: $v = 1200 \text{ м/мин}$.

В одном километре 1000 метров, поэтому, чтобы перевести метры в километры, нужно разделить на 1000:

$1200 \text{ м} = \frac{1200}{1000} \text{ км} = 1,2 \text{ км}$.

Таким образом, скорость автомобиля составляет $1,2$ км/мин.

В одном часе 60 минут. Чтобы перевести скорость из км/мин в км/ч, нужно умножить на 60:

$v = 1,2 \text{ км/мин} \times 60 \text{ мин/ч} = 72 \text{ км/ч}$.

2. Расчет времени.

Теперь, зная скорость в км/ч, мы можем найти время для каждого заданного расстояния, используя формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

а) Для расстояния $S = 144$ км:

$t = \frac{144 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 часа.

б) Для расстояния $S = 36$ км:

$t = \frac{36 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = 0,5 \text{ ч}$.

Ответ: 0,5 часа.

в) Для расстояния $S = 8$ км:

$t = \frac{8 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = \frac{1}{9} \text{ ч}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$ часа.

г) Для расстояния $S = 54$ км:

$t = \frac{54 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$.

Ответ: 0,75 часа.

2.19. Найдите скорость автомашины, если 80 км она проезжает:

а) за 1 ч;

б) за $\frac{4}{5}$ ч;

в) за $\frac{4}{3}$ ч;

г) за $\frac{8}{7}$ ч;

д) за 50 мин;

е) за 65 мин;

ж) за 90 мин;

з) за 100 мин.

Для нахождения скорости автомашины используется формула $v = \frac{S}{t}$, где $v$ – скорость, $S$ – расстояние, а $t$ – время. В данной задаче расстояние $S$ всегда равно 80 км.

а) Время в пути $t = 1$ час.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 80$ км/ч.
Ответ: 80 км/ч.

б) Время в пути $t = \frac{4}{5}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{4}{5}} = 80 \cdot \frac{5}{4} = \frac{400}{4} = 100$ км/ч.
Ответ: 100 км/ч.

в) Время в пути $t = \frac{4}{3}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{4}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{4} = \frac{240}{4} = 60$ км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

г) Время в пути $t = \frac{8}{7}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{8}{7}} = 80 \cdot \frac{7}{8} = \frac{560}{8} = 70$ км/ч.
Ответ: 70 км/ч.

д) Время в пути $t = 50$ минут. Для расчета скорости необходимо перевести минуты в часы. Так как в одном часе 60 минут, то $t = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{5}{6}} = 80 \cdot \frac{6}{5} = \frac{480}{5} = 96$ км/ч.
Ответ: 96 км/ч.

е) Время в пути $t = 65$ минут. Переводим минуты в часы: $t = \frac{65}{60} = \frac{13}{12}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{13}{12}} = 80 \cdot \frac{12}{13} = \frac{960}{13} = 73\frac{11}{13}$ км/ч.
Ответ: $73\frac{11}{13}$ км/ч.

ж) Время в пути $t = 90$ минут. Переводим минуты в часы: $t = \frac{90}{60} = \frac{3}{2}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{3}{2}} = 80 \cdot \frac{2}{3} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3}$ км/ч.
Ответ: $53\frac{1}{3}$ км/ч.

з) Время в пути $t = 100$ минут. Переводим минуты в часы: $t = \frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ часа.
Скорость вычисляется как: $v = \frac{80}{\frac{5}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{5} = \frac{240}{5} = 48$ км/ч.
Ответ: 48 км/ч.

2.20. Два конькобежца одновременно стартовали на дистанцию 10 000 м по замкнутой дорожке, длина которой равна 400 м. Скорость первого конькобежца 20 км/ч, а скорость второго 21 км/ч. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции? А на два круга?

Для решения задачи сначала определим все данные и приведем их к единым единицам измерения. Дистанция $S = 10000$ м = $10$ км. Длина круга $L = 400$ м = $0.4$ км. Скорость первого конькобежца $v_1 = 20$ км/ч. Скорость второго конькобежца $v_2 = 21$ км/ч.

Чтобы определить, произойдет ли обгон, нужно сравнить время, необходимое для обгона, со временем, за которое заканчивается дистанция. Дистанция заканчивается, когда самый быстрый конькобежец (второй) ее преодолеет.

Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции?

1. Найдем время, за которое второй, более быстрый, конькобежец пройдет всю дистанцию. Это и будет общее время гонки.

$t_{гонки} = \frac{S}{v_2} = \frac{10 \text{ км}}{21 \text{ км/ч}} = \frac{10}{21}$ часа.

2. Найдем время, необходимое второму конькобежцу, чтобы обогнать первого на один круг. Для этого используем понятие скорости сближения. Второй конькобежец догоняет первого со скоростью, равной разности их скоростей.

$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 21 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 1$ км/ч.

3. Чтобы обогнать первого на один круг, второй должен "наверстать" расстояние, равное длине одного круга ($L = 0.4$ км). Найдем время, за которое это произойдет.

$t_{обгона1} = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{0.4 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0.4$ часа.

4. Теперь сравним время, необходимое для обгона, с общим временем гонки.

$t_{обгона1} = 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{10}{21}$ часа.

Приведем дроби к общему знаменателю $5 \times 21 = 105$:

$t_{обгона1} = \frac{2 \times 21}{105} = \frac{42}{105}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{10 \times 5}{105} = \frac{50}{105}$ часа.

Так как $\frac{42}{105} < \frac{50}{105}$, то $t_{обгона1} < t_{гонки}$. Это означает, что второй конькобежец успеет обогнать первого на один круг до того, как финиширует.

Ответ: да, обгонит.

А на два круга?

1. Чтобы обогнать первого конькобежца на два круга, второму нужно преодолеть разницу в расстоянии, равную двум длинам круга.

$L_{два} = 2 \times L = 2 \times 0.4 \text{ км} = 0.8$ км.

2. Найдем время, необходимое для обгона на два круга, используя ту же скорость сближения $v_{сближения} = 1$ км/ч.

$t_{обгона2} = \frac{L_{два}}{v_{сближения}} = \frac{0.8 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0.8$ часа.

3. Сравним это время с общим временем гонки $t_{гонки} = \frac{10}{21}$ часа.

$t_{обгона2} = 0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ часа.

Приведем дроби к общему знаменателю $105$:

$t_{обгона2} = \frac{4 \times 21}{105} = \frac{84}{105}$ часа.

$t_{гонки} = \frac{50}{105}$ часа.

Так как $\frac{84}{105} > \frac{50}{105}$, то $t_{обгона2} > t_{гонки}$. Это означает, что гонка закончится раньше, чем второй конькобежец успеет обогнать первого на два круга.

Ответ: нет, на два круга не обгонит.