Страница 48 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.41. Скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода. Однажды они отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 30 км. Какой путь проедет велосипедист до встречи с пешеходом?

Обозначим скорость пешехода как $v_п$, а скорость велосипедиста как $v_в$. Пусть $t$ — это время, которое они двигались до встречи. Тогда путь, пройденный пешеходом, равен $S_п = v_п \cdot t$, а путь, пройденный велосипедистом, — $S_в = v_в \cdot t$.

По условию задачи, скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода:
$v_в = 5 \cdot v_п$

Поскольку время движения до встречи $t$ для них одинаково, то и расстояние, которое проедет велосипедист, будет в 5 раз больше расстояния, которое пройдет пешеход. Это можно увидеть, разделив одно уравнение пути на другое:
$\frac{S_в}{S_п} = \frac{v_в \cdot t}{v_п \cdot t} = \frac{v_в}{v_п}$
Подставив соотношение скоростей, получим:
$\frac{S_в}{S_п} = \frac{5 \cdot v_п}{v_п} = 5$
Следовательно, $S_в = 5 \cdot S_п$.

Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу. В момент встречи сумма пройденных ими расстояний будет равна начальному расстоянию между ними, то есть 30 км:
$S_в + S_п = 30$

Теперь мы можем составить и решить систему уравнений. Подставим выражение $S_в = 5 \cdot S_п$ в уравнение суммы путей:
$5 \cdot S_п + S_п = 30$
$6 \cdot S_п = 30$
$S_п = \frac{30}{6} = 5$ км

Мы нашли расстояние, которое прошел пешеход. Чтобы найти путь велосипедиста, воспользуемся соотношением $S_в = 5 \cdot S_п$:
$S_в = 5 \cdot 5 = 25$ км

Ответ: 25 км.

2.42. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 2 ч, а велосипедист — за 6 ч. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проехал каждый до встречи, если расстояние между пунктами 60 км? Решите задачу двумя способами.

Способ 1

Этот способ основан на вычислении скоростей мотоциклиста и велосипедиста.

1. Найдем скорость мотоциклиста. Он проезжает 60 км за 2 часа, следовательно, его скорость равна:

$V_{м} = \frac{S}{t_{м}} = \frac{60 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем скорость велосипедиста. Он проезжает 60 км за 6 часов, следовательно, его скорость равна:

$V_{в} = \frac{S}{t_{в}} = \frac{60 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$

3. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:

$V_{сбл} = V_{м} + V_{в} = 30 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$

4. Теперь найдем время, через которое они встретятся. Для этого нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{V_{сбл}} = \frac{60 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 1,5 \text{ ч}$

5. Зная время до встречи, можем вычислить расстояние, которое проехал каждый из них, умножив их скорость на время в пути.

Расстояние, которое проехал мотоциклист:

$S_{м} = V_{м} \times t_{встр} = 30 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

Расстояние, которое проехал велосипедист:

$S_{в} = V_{в} \times t_{встр} = 10 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

Проверка: $45 \text{ км} + 15 \text{ км} = 60 \text{ км}$.

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.

Способ 2

Этот способ основан на определении, какую часть пути проезжает каждый за единицу времени (1 час).

1. Определим, какую часть всего расстояния проезжает мотоциклист за 1 час. Так как на весь путь он тратит 2 часа, за 1 час он проезжает:

$\frac{1}{2}$ всего расстояния.

2. Определим, какую часть всего расстояния проезжает велосипедист за 1 час. Так как на весь путь он тратит 6 часов, за 1 час он проезжает:

$\frac{1}{6}$ всего расстояния.

3. Найдем, какую часть расстояния они проезжают вместе за 1 час, двигаясь навстречу друг другу (их общая производительность):

$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ всего расстояния.

4. Теперь найдем время до их встречи. Если за 1 час они вместе преодолевают $\frac{2}{3}$ пути, то весь путь (принятый за 1) они преодолеют за:

$t_{встр} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \times \frac{3}{2} = 1,5 \text{ ч}$

5. Зная время до встречи, найдем, какую часть пути проехал каждый, и переведем это в километры.

Мотоциклист за 1,5 часа проехал часть пути, равную:

$\frac{1}{2} \text{ (пути/ч)} \times 1,5 \text{ ч} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ всего расстояния.

В километрах это составит: $S_{м} = 60 \text{ км} \times \frac{3}{4} = 45 \text{ км}$

Велосипедист за 1,5 часа проехал часть пути, равную:

$\frac{1}{6} \text{ (пути/ч)} \times 1,5 \text{ ч} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ всего расстояния.

В километрах это составит: $S_{в} = 60 \text{ км} \times \frac{1}{4} = 15 \text{ км}$

Проверка: $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ (весь путь).

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.

2.43. Над выполнением задания 3 дня работала первая бригада из 5 плотников и 4 дня вторая бригада из 6 плотников. За работу заплатили 39 000 р. Сколько получит первая бригада, если все плотники работали с одинаковой производительностью?

Для решения задачи необходимо рассчитать общий объем работы в человеко-днях и определить стоимость одного человеко-дня. Так как все плотники работали с одинаковой производительностью, оплата за один человеко-день для всех одинакова.

1. Рассчитаем количество человеко-дней, отработанных первой бригадой.
Первая бригада состояла из 5 плотников и работала 3 дня:$5 \text{ плотников} \times 3 \text{ дня} = 15$ человеко-дней.

2. Рассчитаем количество человеко-дней, отработанных второй бригадой.
Вторая бригада состояла из 6 плотников и работала 4 дня:$6 \text{ плотников} \times 4 \text{ дня} = 24$ человеко-дня.

3. Найдем общее количество отработанных человеко-дней.
Сложим человеко-дни, отработанные обеими бригадами:$15 + 24 = 39$ человеко-дней.

4. Определим стоимость одного человеко-дня.
Общая сумма оплаты за 39 человеко-дней составила 39 000 рублей. Чтобы найти стоимость одного человеко-дня, разделим общую сумму на общее количество человеко-дней:$39000 \text{ р.} \div 39 = 1000$ р.

5. Рассчитаем, сколько получит первая бригада.
Первая бригада отработала 15 человеко-дней. Умножим это количество на стоимость одного человеко-дня:$15 \times 1000 \text{ р.} = 15000$ р.

Ответ: 15 000 р.

2.44. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2.

б) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй как 2:3, вторая к третьей как 3:5, а третья к четвёртой как 5:6.

в) Разделить 125 на такие части, чтобы первая часть относилась ко второй как 2:3, вторая к третьей как 4:5, а третья к четвёртой как 6:11.

г) Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7500 р. Спрашивается, сколько из этой прибыли придётся получить каждому купцу.

д) На железной дороге работало 3 артели; в первой было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4068 р. Сколько придётся получить каждой артели?

а)

Чтобы разделить число 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2, нужно сначала найти сумму этих чисел (долей).

$7 + 5 + 2 = 14$

Это означает, что число 84 состоит из 14 равных долей. Теперь найдем, чему равна одна доля:

$84 / 14 = 6$

Теперь, зная величину одной доли, можно найти каждую из трех частей:

• Первая часть: $7 \times 6 = 42$
• Вторая часть: $5 \times 6 = 30$
• Третья часть: $2 \times 6 = 12$

Проверка: $42 + 30 + 12 = 84$.

Ответ: 42, 30 и 12.

б)

Нужно разделить 125 на 4 части ($x_1, x_2, x_3, x_4$) со следующими отношениями:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$

$x_2 : x_3 = 3 : 5$

$x_3 : x_4 = 5 : 6$

Чтобы найти общее соотношение, нужно привести все отношения к единой форме $x_1 : x_2 : x_3 : x_4$. Поскольку общие члены в соседних отношениях равны (3 для $x_2$ и 5 для $x_3$), мы можем сразу объединить их:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 2 : 3 : 5 : 6$

Теперь задача сводится к разделению числа 125 в этом отношении. Найдем сумму долей:

$2 + 3 + 5 + 6 = 16$

Найдем величину одной доли:

$125 / 16 = 7.8125$

Теперь вычислим каждую часть:

• Первая часть: $2 \times (125 / 16) = 250 / 16 = 125 / 8 = 15.625$
• Вторая часть: $3 \times (125 / 16) = 375 / 16 = 23.4375$
• Третья часть: $5 \times (125 / 16) = 625 / 16 = 39.0625$
• Четвертая часть: $6 \times (125 / 16) = 750 / 16 = 375 / 8 = 46.875$

Ответ: 15.625, 23.4375, 39.0625 и 46.875.

в)

Нужно разделить 125 на 4 части ($x_1, x_2, x_3, x_4$) со следующими отношениями:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$

$x_2 : x_3 = 4 : 5$

$x_3 : x_4 = 6 : 11$

Приведем эти отношения к общему виду. Сначала объединим первые два. Общий член $x_2$ имеет значения 3 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 4 равно 12. Умножим первое отношение на 4, а второе на 3:

$x_1 : x_2 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$

$x_2 : x_3 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$

Теперь имеем $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$.

Теперь объединим это с третьим отношением $x_3 : x_4 = 6 : 11$. Общий член $x_3$ имеет значения 15 и 6. НОК для 15 и 6 равно 30. Умножим полученное тройное отношение на 2, а третье отношение на 5:

$x_1 : x_2 : x_3 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16 : 24 : 30$

$x_3 : x_4 = (6 \times 5) : (11 \times 5) = 30 : 55$

Итоговое общее отношение: $x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 55$.

Найдем сумму долей:

$16 + 24 + 30 + 55 = 125$

Величина одной доли: $125 / 125 = 1$.

Следовательно, искомые части равны самим долям:

• Первая часть: $16 \times 1 = 16$
• Вторая часть: $24 \times 1 = 24$
• Третья часть: $30 \times 1 = 30$
• Четвертая часть: $55 \times 1 = 55$

Ответ: 16, 24, 30 и 55.

г)

Прибыль должна быть разделена пропорционально вкладам каждого купца. Вклады составляют 15 000 р., 10 000 р. и 12 500 р. Найдем отношение вкладов:

$15000 : 10000 : 12500$

Для удобства упростим это отношение, разделив каждое число на их наибольший общий делитель. Можно последовательно делить на 100, а затем на 25.

$150 : 100 : 125$ (разделили на 100)

$6 : 4 : 5$ (разделили на 25)

Итак, прибыль в 7500 р. нужно разделить в отношении 6 : 4 : 5. Найдем сумму долей:

$6 + 4 + 5 = 15$

Найдем, сколько прибыли приходится на одну долю:

$7500 / 15 = 500$ р.

Теперь рассчитаем прибыль каждого купца:

• Прибыль первого купца: $6 \times 500 = 3000$ р.
• Прибыль второго купца: $4 \times 500 = 2000$ р.
• Прибыль третьего купца: $5 \times 500 = 2500$ р.

Проверка: $3000 + 2000 + 2500 = 7500$ р.

Ответ: первому купцу придётся 3000 р., второму — 2000 р., третьему — 2500 р.

д)

Оплата за работу должна быть распределена пропорционально объему выполненной работы каждой артелью. Объем работы можно измерить в человеко-днях (произведение количества рабочих на количество дней).

Рассчитаем объем работы для каждой артели:

• Первая артель: $27 \text{ рабочих} \times 20 \text{ дней} = 540$ человеко-дней
• Вторая артель: $32 \text{ рабочих} \times 18 \text{ дней} = 576$ человеко-дней
• Третья артель: $15 \text{ рабочих} \times 16 \text{ дней} = 240$ человеко-дней

Теперь нужно разделить общую оплату 4068 р. в отношении $540 : 576 : 240$. Упростим это отношение, найдя наибольший общий делитель. Все числа делятся на 12:

$540 / 12 = 45$

$576 / 12 = 48$

$240 / 12 = 20$

Таким образом, отношение долей составляет $45 : 48 : 20$. Найдем сумму долей:

$45 + 48 + 20 = 113$

Найдем, какая сумма приходится на одну долю:

$4068 / 113 = 36$ р.

Теперь рассчитаем оплату для каждой артели:

• Оплата первой артели: $45 \times 36 = 1620$ р.
• Оплата второй артели: $48 \times 36 = 1728$ р.
• Оплата третьей артели: $20 \times 36 = 720$ р.

Проверка: $1620 + 1728 + 720 = 4068$ р.

Ответ: первая артель получит 1620 р., вторая — 1728 р., третья — 720 р.