Страница 54 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

? 2.62. Какие величины называют:

а) прямо пропорциональными;

б) обратно пропорциональными?

Приведите примеры.

а) прямо пропорциональными;

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин является постоянным числом, которое называют коэффициентом пропорциональности ($k$). Если величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$, то их зависимость можно выразить формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Примеры:

• Стоимость товара и его количество. При постоянной цене за единицу товара, общая стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленного товара. Например, если 1 кг яблок стоит 100 рублей, то 2 кг будут стоить 200 рублей, а 3 кг — 300 рублей.
• Пройденный путь и время движения. При постоянной скорости, расстояние, пройденное объектом, прямо пропорционально времени его движения. Например, автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, за 1 час проедет 60 км, а за 2 часа — 120 км. Зависимость выражается формулой $s = vt$, где скорость $v$ является коэффициентом пропорциональности.

Ответ: Прямо пропорциональными называют две величины, отношение которых постоянно. Это означает, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.

б) обратно пропорциональными?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение соответствующих значений таких величин является постоянным числом. Если величина $y$ обратно пропорциональна величине $x$, то их зависимость можно выразить формулой $y = \frac{k}{x}$ или $xy = k$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Примеры:

• Скорость и время на фиксированном расстоянии. Чтобы проехать расстояние в 120 км, автомобилю со скоростью 60 км/ч потребуется 2 часа. Если увеличить скорость вдвое до 120 км/ч, то время в пути уменьшится вдвое и составит 1 час.
• Количество работников и время выполнения работы. Если 3 маляра могут покрасить забор за 4 часа, то 6 маляров (в 2 раза больше) выполнят ту же работу за 2 часа (в 2 раза быстрее), при условии одинаковой производительности труда.

Ответ: Обратно пропорциональными называют две величины, произведение которых постоянно. Это означает, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

2.63. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше;

б) в 2 раза меньше?

а) Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара. Это значит, что если количество карандашей увеличится в 2 раза, то и заплатить за них нужно будет в 2 раза больше. Чтобы найти новую стоимость, умножим первоначальную цену на 2.
$80 \cdot 2 = 160$ (р.)
Ответ: 160 р.

б) Аналогично, если количество карандашей уменьшится в 2 раза, то и стоимость покупки уменьшится во столько же раз. Чтобы найти новую стоимость, разделим первоначальную цену на 2.
$80 : 2 = 40$ (р.)
Ответ: 40 р.

2.64. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 р. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже;

б) в 2 раза дешевле?

а) в 2 раза дороже;

Поскольку количество карандашей остается неизменным, а цена каждого из них увеличивается в 2 раза, то и общая стоимость всей покупки также увеличится в 2 раза.
$80 \times 2 = 160$ (р.)
Ответ: 160 р.

б) в 2 раза дешевле?

Если количество карандашей не меняется, а цена каждого из них уменьшается в 2 раза, то общая стоимость всей покупки также уменьшится в 2 раза.
$80 / 2 = 40$ (р.)
Ответ: 40 р.

2.65. На имеющиеся деньги можно купить 30 карандашей.

a) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — это имеющаяся сумма денег, а $P_k$ — цена одного карандаша. Из условия известно, что на всю сумму можно купить 30 карандашей. Это можно записать в виде формулы: $S = 30 \times P_k$

а)

В данном случае цена тетради ($P_t$) в 2 раза меньше цены карандаша, то есть $P_t = P_k / 2$. Чтобы найти количество тетрадей ($N_t$), которое можно купить на те же деньги, нужно общую сумму разделить на цену одной тетради: $N_t = \frac{S}{P_t}$ Теперь подставим выражения для $S$ и $P_t$: $N_t = \frac{30 \times P_k}{P_k / 2} = 30 \times 2 = 60$ Это можно объяснить и проще: если товар в 2 раза дешевле, то на ту же сумму его можно купить в 2 раза больше.

Ответ: 60 тетрадей.

б)

В этом случае цена ручки ($P_r$) в 10 раз больше цены карандаша, то есть $P_r = P_k \times 10$. Чтобы найти количество ручек ($N_r$), которое можно купить на те же деньги, нужно общую сумму разделить на цену одной ручки: $N_r = \frac{S}{P_r}$ Подставим выражения для $S$ и $P_r$: $N_r = \frac{30 \times P_k}{P_k \times 10} = \frac{30}{10} = 3$ Простое объяснение: если товар в 10 раз дороже, то на ту же сумму его можно купить в 10 раз меньше.

Ответ: 3 ручки.

2.66. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.

а) Сколько километров пройдёт за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) Сколько километров проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

а)

Расстояние ($S$), скорость ($V$) и время ($t$) связаны формулой $S = V \cdot t$. Из условия задачи следует, что время движения ($t$) для велосипедиста и пешехода одинаково. При постоянном времени расстояние прямо пропорционально скорости. Это означает, что если скорость в несколько раз меньше, то и пройденное за то же время расстояние будет во столько же раз меньше.

Скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Велосипедист проехал 36 км. Следовательно, пешеход за то же время пройдёт в 3 раза меньшее расстояние: $36 \text{ км} \div 3 = 12 \text{ км}$.

Ответ: 12 км.

б)

Аналогично, время движения мотоциклиста и велосипедиста одинаково. Значит, пройденное ими расстояние прямо пропорционально их скорости.

Скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста. Следовательно, за то же время мотоциклист проедет в 5 раз большее расстояние: $36 \text{ км} \cdot 5 = 180 \text{ км}$.

Ответ: 180 км.

2.67. Расстояние от села до города велосипедист проехал за 3 ч.

a) За сколько часов это расстояние пройдёт пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Обозначим время, за которое велосипедист проехал расстояние от села до города, как $t_{вело} = 3$ часа. Для решения задачи воспользуемся тем, что при постоянном расстоянии скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что во сколько раз увеличивается скорость, во столько же раз уменьшается время, и наоборот.

а) За сколько часов это расстояние пройдёт пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Поскольку скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста, то времени на тот же путь ему потребуется в 3 раза больше.

Время движения пешехода: $t_{пеш} = t_{вело} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.

б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Поскольку скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста, то времени на тот же путь ему потребуется в 5 раз меньше.

Время движения мотоциклиста: $t_{мото} = \frac{t_{вело}}{5} = \frac{3}{5}$ часа.

Можно перевести $\frac{3}{5}$ часа в минуты: $\frac{3}{5} \cdot 60 = 36$ минут.

Ответ: $\frac{3}{5}$ часа или 36 минут.

2.68. Какова зависимость между:

а) ценой карандаша и стоимостью нескольких таких карандашей при постоянном их количестве;

б) количеством карандашей одного сорта и их стоимостью при постоянной их цене;

в) количеством карандашей и их ценой при постоянной стоимости покупки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $C$ – стоимость покупки;
• $p$ – цена одного карандаша;
• $n$ – количество карандашей.

Эти три величины связаны между собой основной формулой: $C = p \cdot n$.

а) ценой карандаша и стоимостью нескольких таких карандашей при постоянном их количестве;

В этом случае количество карандашей $n$ является постоянной величиной (константой), обозначим ее как $k$. Тогда формула зависимости стоимости $C$ от цены $p$ принимает вид: $C = p \cdot k$.
Эта формула выражает прямую пропорциональность. Это означает, что во сколько раз увеличится или уменьшится цена одного карандаша ($p$), во столько же раз увеличится или уменьшится общая стоимость покупки ($C$).
Пример: если купить 10 карандашей, и цена одного карандаша возрастет с 5 до 10 рублей, то общая стоимость покупки возрастет с 50 ($5 \cdot 10$) до 100 рублей ($10 \cdot 10$). Цена удвоилась, и стоимость удвоилась.
Ответ: прямая пропорциональность.

б) количеством карандашей одного сорта и их стоимостью при постоянной их цене;

Здесь цена одного карандаша $p$ является постоянной величиной, обозначим ее как $k$. Тогда формула зависимости стоимости $C$ от количества $n$ выглядит так: $C = k \cdot n$.
Это также зависимость прямой пропорциональности. Во сколько раз увеличится количество купленных карандашей ($n$), во столько же раз возрастет и общая стоимость ($C$).
Пример: если цена одного карандаша 5 рублей, то покупка 10 карандашей обойдется в 50 рублей ($5 \cdot 10$), а покупка 20 карандашей – в 100 рублей ($5 \cdot 20$). Количество удвоилось, и стоимость удвоилась.
Ответ: прямая пропорциональность.

в) количеством карандашей и их ценой при постоянной стоимости покупки?

В данном случае общая стоимость покупки $C$ является постоянной величиной, обозначим ее как $k$. Формула, связывающая цену $p$ и количество $n$, будет: $k = p \cdot n$.
Из этой формулы можно выразить одну величину через другую: $n = k/p$ или $p = k/n$.
Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. Это означает, что во сколько раз увеличится одна величина (например, цена $p$), во столько же раз уменьшится другая (количество $n$), чтобы их произведение оставалось постоянным.
Пример: если на 100 рублей можно купить 20 карандашей по цене 5 рублей за штуку ($100 = 5 \cdot 20$), то при увеличении цены до 10 рублей за штуку, на ту же сумму можно будет купить уже только 10 карандашей ($100 = 10 \cdot 10$). Цена удвоилась, а количество, которое можно купить, уменьшилось вдвое.
Ответ: обратная пропорциональность.

2.69. Какова зависимость между:

а) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения;

б) временем и расстоянием при постоянной скорости движения;

в) временем и скоростью при постоянном пути?

Для анализа зависимостей между скоростью, временем и расстоянием используется основная формула равномерного движения:

$s = v \cdot t$

где $s$ – расстояние (путь), $v$ – скорость, $t$ – время.

а) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения;

Если время движения $t$ является постоянной величиной ($t = \text{const}$), то формула $s = v \cdot t$ показывает, что расстояние $s$ прямо пропорционально скорости $v$. Коэффициентом пропорциональности выступает время $t$.

Это означает, что во сколько раз увеличится (или уменьшится) скорость, во столько же раз увеличится (или уменьшится) пройденное расстояние за одно и то же время. Например, если увеличить скорость в 2 раза, то и расстояние, пройденное за то же время, увеличится в 2 раза.

Таким образом, зависимость между скоростью и расстоянием при постоянном времени — это прямая пропорциональность.

Ответ: При постоянном времени движения расстояние прямо пропорционально скорости.

б) временем и расстоянием при постоянной скорости движения;

Если скорость движения $v$ является постоянной величиной ($v = \text{const}$), то из формулы $s = v \cdot t$ следует, что расстояние $s$ прямо пропорционально времени $t$. Коэффициентом пропорциональности в данном случае является скорость $v$.

Это значит, что во сколько раз увеличится (или уменьшится) время движения, во столько же раз увеличится (или уменьшится) пройденное расстояние при той же скорости. Например, если двигаться с постоянной скоростью в 3 раза дольше, то и пройденный путь будет в 3 раза больше.

Таким образом, зависимость между временем и расстоянием при постоянной скорости — это прямая пропорциональность.

Ответ: При постоянной скорости движения расстояние прямо пропорционально времени.

в) временем и скоростью при постоянном пути?

Если пройденный путь $s$ является постоянной величиной ($s = \text{const}$), то для нахождения зависимости между временем и скоростью выразим одну величину через другую из основной формулы:

$t = \frac{s}{v}$ или $v = \frac{s}{t}$

Из этих формул видно, что время $t$ и скорость $v$ являются обратно пропорциональными величинами. Коэффициентом пропорциональности является расстояние $s$.

Это означает, что для прохождения одного и того же расстояния, во сколько раз мы увеличим скорость, во столько же раз уменьшится время движения. Например, чтобы проехать заданный путь, при увеличении скорости в 2 раза, время в пути сократится в 2 раза.

Таким образом, зависимость между временем и скоростью при постоянном пути — это обратная пропорциональность.

Ответ: При постоянном пути время обратно пропорционально скорости.