Страница 61 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.107. Магнитный железняк содержит 70 % чистого железа. Сколько тонн железа в 13 т железняка?

Чтобы определить массу чистого железа в 13 тоннах железняка, необходимо найти 70% от этой массы.

Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого нужно разделить процентное значение на 100:
$70\% = \frac{70}{100} = 0.7$

Далее, умножим общую массу железняка на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу чистого железа:
$13 \text{ т} \times 0.7 = 9.1 \text{ т}$

Таким образом, в 13 тоннах магнитного железняка содержится 9,1 тонны чистого железа.

Ответ: 9,1 т

2.108. Сплав содержит 62 % олова и 38 % свинца. Сколько граммов олова и сколько свинца в 400 г сплава?

Для решения этой задачи необходимо найти массу каждого компонента сплава, зная его общую массу и процентное содержание каждого компонента.

Общая масса сплава составляет 400 г.

Сколько граммов олова

Содержание олова в сплаве составляет 62%. Чтобы найти массу олова, нужно общую массу сплава умножить на долю олова. Переведем проценты в десятичную дробь: $62\% = 0,62$.

Масса олова = Общая масса × Доля олова

$400 \text{ г} \cdot 0,62 = 248 \text{ г}$

Ответ: в сплаве содержится 248 г олова.

Сколько свинца

Содержание свинца в сплаве составляет 38%. Аналогично найдем массу свинца. Переведем проценты в десятичную дробь: $38\% = 0,38$.

Масса свинца = Общая масса × Доля свинца

$400 \text{ г} \cdot 0,38 = 152 \text{ г}$

Проверим, сложив массы компонентов: $248 \text{ г} + 152 \text{ г} = 400 \text{ г}$. Результат верный.

Ответ: в сплаве содержится 152 г свинца.

2.109. Папа отложил 20 000 р. на подарки маме и нам — детям. На подарок маме он потратил 40 % этой суммы, мне и моей сестре по 30 %. Все ли отложенные деньги потратил папа? Нет ли в задаче лишних данных?

Все ли отложенные деньги потратил папа?

Чтобы определить, все ли деньги были потрачены, нужно сложить процентные доли всех трат. Если сумма составит 100%, значит, папа потратил всю отложенную сумму.

Папа потратил:

• На подарок маме — 40% суммы.
• На подарок мне — 30% суммы.
• На подарок сестре — 30% суммы.

Сложим все проценты:

$40\% + 30\% + 30\% = 100\%$

Так как общая сумма трат составила 100%, это означает, что папа потратил все отложенные деньги. Можно проверить это, вычислив точные суммы в рублях:

Сумма на подарок маме: $20\ 000 \cdot \frac{40}{100} = 8\ 000$ рублей.

Сумма на подарок мне: $20\ 000 \cdot \frac{30}{100} = 6\ 000$ рублей.

Сумма на подарок сестре: $20\ 000 \cdot \frac{30}{100} = 6\ 000$ рублей.

Общая потраченная сумма: $8\ 000 + 6\ 000 + 6\ 000 = 20\ 000$ рублей.

Эта сумма в точности равна той, что была отложена.

Ответ: Да, папа потратил все отложенные деньги.

Нет ли в задаче лишних данных?

Чтобы ответить на первый вопрос, было достаточно сложить проценты и убедиться, что их сумма равна 100%. Конкретная сумма денег, отложенная папой (20 000 рублей), для этого вычисления не требовалась. Этот вывод можно было сделать, основываясь только на процентах.

Следовательно, начальная сумма в 20 000 рублей является избыточной (лишней) информацией для ответа на главный вопрос задачи.

Ответ: Да, в задаче есть лишние данные — сумма 20 000 р.

2.110. а) $25 \%$ учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, ещё $75 \%$ — в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?

б) Туристы проехали $80 \%$ намеченного маршрута на поезде и $15 \%$ — на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

в) Маша потратила $70 \%$ имевшихся у неё денег на книги и $30 \%$ — на тетради. Все ли деньги потратила Маша?

а) Чтобы определить, все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях, необходимо найти общую долю участников. Если сложить проценты участников в каждом виде соревнований, получится:
$25\% + 75\% = 100\%$
Однако, этот результат не гарантирует, что участвовали все ученики, так как некоторые из них могли соревноваться в обоих видах прыжков (и в высоту, и в длину). Если есть ученики, которые участвовали в обеих дисциплинах, то общее количество уникальных участников будет меньше $100\%$. Например, если $10\%$ учеников участвовали в обоих видах, то общее число участников составило бы $100\% - 10\% = 90\%$.
Поскольку условие задачи не исключает такой возможности, нельзя однозначно утверждать, что в соревнованиях участвовали все ученики.
Ответ: Не обязательно.

б) Чтобы узнать, весь ли маршрут проехали туристы, нужно сложить части маршрута, которые они проехали на поезде и на автобусе. Весь маршрут принимается за $100\%$.
Общая пройденная часть маршрута составляет:
$80\% + 15\% = 95\%$
Так как $95\%$ меньше $100\%$, туристы еще не преодолели весь намеченный маршрут. Им осталось проехать:
$100\% - 95\% = 5\%$
Ответ: Нет, не весь.

в) Чтобы определить, все ли деньги потратила Маша, нужно сложить доли денег, потраченные на книги и тетради. Вся сумма денег, которая была у Маши, составляет $100\%$.
Общая сумма потраченных денег составляет:
$70\% + 30\% = 100\%$
Так как результат равен $100\%$, это означает, что Маша потратила все деньги, которые у неё были.
Ответ: Да, все.

2.111. Учительница сказала: «С контрольной работой справились 100 % учащихся нашего класса». Как это понимать?

Проценты используются для выражения части от целого. За `$100\%$` всегда принимается целая величина. В данном контексте «целой величиной» является общее количество учащихся в классе.

Выражение «справились с контрольной работой» означает, что ученики успешно выполнили задания и получили положительную оценку (то есть оценку выше неудовлетворительной).

Таким образом, слова учительницы «с контрольной работой справились `$100\%$` учащихся нашего класса» следует понимать так, что абсолютно все ученики, писавшие контрольную, выполнили её на положительную оценку. В классе нет ни одного ученика, который бы не справился с работой.

Ответ: Это означает, что все без исключения ученики класса успешно написали контрольную работу.

? 2.112. а) Потратили $80\%$ суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?

б) Мужчины составляют $75\%$ всех работников завода. Сколько процентов всех работников составляют женщины?

в) Девочки составляют $40\%$ класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

а) Примем всю сумму за 100%. Если потратили 80% от этой суммы, то чтобы найти оставшуюся часть в процентах, необходимо из 100% вычесть потраченные 80%.

Вычисление: $100\% - 80\% = 20\%$

Ответ: 20%.

б) Примем всех работников завода за 100%. Мужчины составляют 75% от этого количества. Чтобы найти, какой процент составляют женщины, нужно из общего процента работников вычесть процент мужчин.

Вычисление: $100\% - 75\% = 25\%$

Ответ: 25%.

в) Примем всех учеников класса за 100%. Девочки составляют 40% от всех учеников. Чтобы определить, какой процент составляют мальчики, нужно из 100% вычесть процент девочек.

Вычисление: $100\% - 40\% = 60\%$

Ответ: 60%.

2.113. а) Найдите 15 % числа 36.

б) Найдите число, 15 % которого равны 36.

а) Чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь и умножить на это число. 15% соответствует дроби $15/100 = 0,15$.

Вычислим 15% от 36:

$36 \cdot 0,15 = 5,4$

Также можно составить пропорцию, где 36 — это 100%, а искомое значение $x$ — это 15%:

$\frac{36}{100\%} = \frac{x}{15\%}$

Отсюда $x = \frac{36 \cdot 15}{100} = \frac{540}{100} = 5,4$.

Ответ: 5,4

б) В этом случае нам известно, что 15% от некоторого числа равны 36. Обозначим искомое число как $x$. Тогда 15% от $x$ — это $0,15 \cdot x$.

Составим уравнение:

$0,15 \cdot x = 36$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 36 на 0,15:

$x = \frac{36}{0,15} = \frac{36}{15/100} = \frac{36 \cdot 100}{15} = \frac{3600}{15} = 240$

Также можно составить пропорцию, где $x$ — это 100%, а 36 — это 15%:

$\frac{x}{100\%} = \frac{36}{15\%}$

Отсюда $x = \frac{36 \cdot 100}{15} = \frac{3600}{15} = 240$.

Ответ: 240

2.114. Найдите число:

а) $1\%$ которого равен 3;

б) $10\%$ которого равны 40;

в) $15\%$ которого равны 30;

г) $50\%$ которого равны 250.

а) 1% которого равен 3

Чтобы найти целое число по его проценту, нужно значение, соответствующее этому проценту, разделить на сам процент, выраженный в виде десятичной дроби.Пусть искомое число - это $x$. 1% в виде десятичной дроби - это $0.01$.Составим уравнение:

$x \times 0.01 = 3$

Чтобы найти $x$, нужно 3 разделить на 0.01:

$x = \frac{3}{0.01} = 300$

Ответ: 300.

б) 10% которого равны 40

Пусть искомое число - это $x$. 10% в виде десятичной дроби - это $0.1$.Составим уравнение:

$x \times 0.1 = 40$

Чтобы найти $x$, нужно 40 разделить на 0.1:

$x = \frac{40}{0.1} = 400$

Ответ: 400.

в) 15% которого равны 30

Пусть искомое число - это $x$. 15% в виде десятичной дроби - это $0.15$.Составим уравнение:

$x \times 0.15 = 30$

Чтобы найти $x$, нужно 30 разделить на 0.15:

$x = \frac{30}{0.15} = \frac{3000}{15} = 200$

Ответ: 200.

г) 50% которого равны 250

Пусть искомое число - это $x$. 50% в виде десятичной дроби - это $0.5$.Составим уравнение:

$x \times 0.5 = 250$

Чтобы найти $x$, нужно 250 разделить на 0.5 (что равносильно умножению на 2):

$x = \frac{250}{0.5} = 250 \times 2 = 500$

Ответ: 500.