Страница 57 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.89. Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают ту же работу 9 человек, работающих так же успешно, как и первые?

Эта задача на обратную пропорциональность: чем больше людей выполняют работу, тем меньше времени им для этого потребуется. Мы можем решить ее несколькими способами.

Способ 1: Вычисление общего объема работы

Сначала найдем общий объем работы в "человеко-днях". Это единица, показывающая, сколько работы делает один человек за один день.

Объем работы = (количество человек) × (количество дней).
$6 \text{ человек} \times 18 \text{ дней} = 108 \text{ человеко-дней}$

Теперь, зная, что общий объем работы составляет 108 человеко-дней, мы можем рассчитать, сколько времени потребуется 9 человекам, чтобы выполнить эту же работу.

Время = (Объем работы) / (новое количество человек).
$108 \text{ человеко-дней} \div 9 \text{ человек} = 12 \text{ дней}$

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ – искомое количество дней. Составим соотношение:

6 человек — 18 дней
9 человек — $x$ дней

Так как зависимость обратно пропорциональная, то есть при увеличении одной величины (количество человек) другая величина (количество дней) уменьшается, пропорция будет выглядеть так:

$\frac{6}{9} = \frac{x}{18}$

Чтобы найти $x$, решим уравнение:

$9 \cdot x = 6 \cdot 18$
$9x = 108$
$x = \frac{108}{9}$
$x = 12$

Таким образом, 9 человек выполнят работу за 12 дней.

Ответ: 12 дней.

2.90. a) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько ещё маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 3 дня?

б) Двое рабочих могли выполнить задание за 10 дней. Сколько ещё рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 4 дня?

а)

Это задача на обратную пропорциональность: чем больше маляров, тем меньше времени потребуется для выполнения того же объема работы.

1. Сначала найдем общий объем работы. Он измеряется в "человеко-днях" (в данном случае, в "маляро-днях"). Это произведение количества работников на время работы.
$6 \text{ маляров} \times 5 \text{ дней} = 30 \text{ маляро-дней}$

2. Теперь нужно выяснить, сколько маляров потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы (30 маляро-дней), но за 3 дня. Пусть $x$ — это новое количество маляров.
$x \text{ маляров} \times 3 \text{ дня} = 30 \text{ маляро-дней}$
Чтобы найти $x$, разделим общий объем работы на новое количество дней:
$x = \frac{30}{3} = 10 \text{ маляров}$

3. Итак, для выполнения работы за 3 дня требуется 10 маляров. Изначально было 6 маляров. Чтобы узнать, сколько еще маляров надо пригласить, вычтем из необходимого количества маляров первоначальное:
$10 - 6 = 4 \text{ маляра}$

Ответ: 4 маляра.

б)

Эта задача также на обратную пропорциональность и решается аналогично предыдущей.

1. Найдем общий объем задания в "человеко-днях".
$2 \text{ рабочих} \times 10 \text{ дней} = 20 \text{ человеко-дней}$

2. Вычислим, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить этот объем работы (20 человеко-дней) за 4 дня. Пусть $y$ — это новое количество рабочих.
$y \text{ рабочих} \times 4 \text{ дня} = 20 \text{ человеко-дней}$
Найдем $y$:
$y = \frac{20}{4} = 5 \text{ рабочих}$

3. Для выполнения задания за 4 дня требуется 5 рабочих. Изначально было 2 рабочих. Найдем, сколько еще рабочих нужно пригласить:
$5 - 2 = 3 \text{ рабочих}$

Ответ: 3 рабочих.

2.91. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему двадцать человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

Это задача на обратную пропорциональность: чем больше работников, тем меньше времени требуется для выполнения того же объема работы. Решим ее по шагам.

1. Найдем общий объем работы, необходимый для постройки двора. Он измеряется в «человеко-днях» и равен произведению количества работников на количество дней.
$20 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} = 600 \text{ человеко-дней}$

Таким образом, для постройки двора требуется выполнить работу объемом 600 человеко-дней.

2. Теперь нужно выяснить, сколько человек (обозначим их количество как $x$) потребуется, чтобы выполнить тот же объем работы за 5 дней. Составим уравнение:
$x \text{ человек} \times 5 \text{ дней} = 600 \text{ человеко-дней}$

3. Найдем $x$, разделив общий объем работы на новое количество дней:
$x = \frac{600}{5} = 120 \text{ человек}$

Ответ: чтобы построить тот двор в 5 дней, ему надо иметь 120 человек.

2.92. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева.

а) Скорость парохода относится к скорости течения, как $36 : 5$. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

б) Катер проходит определённое расстояние в стоячей воде за 12 ч. То же расстояние он может пройти по течению за 10 ч. Против течения катер идёт со скоростью $24$ км/ч. Определите скорость катера по течению.

а)

Обозначим собственную скорость парохода как $v_п$, а скорость течения как $v_т$. Согласно условию, их скорости относятся как 36 к 5:
$\frac{v_п}{v_т} = \frac{36}{5}$

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда $v_п = 36x$, а $v_т = 5x$.

Скорость парохода по течению ($v_{по}$) равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_п + v_т = 36x + 5x = 41x$

Скорость парохода против течения ($v_{против}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_п - v_т = 36x - 5x = 31x$

Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Переведем это время в минуты:
$t_{по} = 5 \times 60 + 10 = 310$ минут.

Расстояние, которое прошел пароход, равно произведению скорости на время:
$S = v_{по} \times t_{по} = 41x \times 310$

Чтобы найти время, которое потребуется на обратный путь ($t_{против}$), нужно то же расстояние $S$ разделить на скорость против течения $v_{против}$:
$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{41x \times 310}{31x}$

Коэффициент $x$ сокращается:
$t_{против} = \frac{41 \times 310}{31} = 41 \times 10 = 410$ минут.

Переведем 410 минут в часы и минуты:
$410 \text{ мин} = 6 \times 60 + 50 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.

Ответ: 6 часов 50 минут.

б)

Обозначим собственную скорость катера как $v_к$, скорость течения как $v_т$, а расстояние как $S$.

Из условия задачи составим систему уравнений:
1. Расстояние в стоячей воде катер проходит за 12 часов: $S = v_к \times 12$
2. То же расстояние по течению катер проходит за 10 часов: $S = (v_к + v_т) \times 10$
3. Скорость катера против течения равна 24 км/ч: $v_к - v_т = 24$

Из первого уравнения выразим $v_к$: $v_к = \frac{S}{12}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$S = (\frac{S}{12} + v_т) \times 10$
$\frac{S}{10} = \frac{S}{12} + v_т$
Выразим $v_т$:
$v_т = \frac{S}{10} - \frac{S}{12} = \frac{6S - 5S}{60} = \frac{S}{60}$

Теперь подставим выражения для $v_к$ и $v_т$ в третье уравнение:
$\frac{S}{12} - \frac{S}{60} = 24$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5S - S}{60} = 24$
$\frac{4S}{60} = 24$
$\frac{S}{15} = 24$
$S = 24 \times 15 = 360$ км.

Теперь найдем собственную скорость катера и скорость течения:
$v_к = \frac{S}{12} = \frac{360}{12} = 30$ км/ч.
$v_т = \frac{S}{60} = \frac{360}{60} = 6$ км/ч.

Нам нужно определить скорость катера по течению. Она равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_к + v_т = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Проверить это можно, разделив расстояние на время движения по течению: $v_{по} = \frac{S}{10} = \frac{360}{10} = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.

Ищем информацию

2.93. Найдите в учебном пособии, справочной литературе или Интернете, как решали задачи на прямую и обратную пропорциональности во времена Л. Ф. Магницкого и в средневековой Европе. Придумайте задачу на прямую или обратную пропорциональность и решите её старинным способом.

Решение задач на пропорциональность во времена Л. Ф. Магницкого и в средневековой Европе

В средневековой Европе и во времена Л. Ф. Магницкого (начало XVIII века в России) задачи на прямую и обратную пропорциональность решали с помощью так называемого «тройного правила» (в Европе — Rule of Three). Этот метод позволял найти четвёртое неизвестное число по трём известным, связанным пропорциональной зависимостью.

Суть метода заключалась в определённой последовательности действий, которую нужно было запомнить. Правило формулировалось словесно, а не в виде формулы, как мы привыкли сегодня.

Запись условия выглядела примерно так:

Если $a$ даёт $b$, то сколько даст $c$?

$a \longrightarrow b$
$c \longrightarrow ?$

Для прямой пропорциональности («тройное правило прямое») действовали так: нужно было перемножить «средние» (или «внутренние») члены и разделить на «крайний» (или «первый»). То есть, второе число умножить на третье и разделить на первое. В современной записи это выглядит как нахождение $x$ из пропорции $a:c = b:x$, что равносильно формуле $x = \frac{c \cdot b}{a}$.

Для обратной пропорциональности («тройное правило обратное») действовали иначе: нужно было перемножить первое число на второе и разделить на третье. В современной записи это соответствует формуле $x = \frac{a \cdot b}{c}$.

Этот метод был ключевым в купеческой арифметике и подробно изложен в знаменитом учебнике Леонтия Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная» (1703 г.).

Ответ: Задачи на пропорциональность решали с помощью «тройного правила». Для прямой пропорциональности второе число умножали на третье и делили на первое. Для обратной пропорциональности первое число умножали на второе и делили на третье.

Пример задачи на прямую пропорциональность и её решение старинным способом

Задача: Некий купец купил 15 аршин сукна и заплатил за них 6 рублей. Колико должен он заплатить за 25 аршин такого же сукна?

Решение по тройному правилу:

Запишем условие, как это делали в старину:

15 аршин — 6 рублей
25 аршин — ? рублей

Рассуждаем: чем больше сукна, тем больше денег нужно заплатить, значит, правило «прямое».

Следуем правилу: надобно второе число (6) умножить на третье (25) и полученное произведение разделить на первое число (15).

1. Умножаем второе число на третье:
$25 \cdot 6 = 150$

2. Делим произведение на первое число:
$150 \div 15 = 10$

Таким образом, искомое число — 10. За 25 аршин сукна купец должен заплатить 10 рублей.

Ответ: 10 рублей.