Номер 2.92, страница 57 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. 2.5. Прямая и обратная пропорциональность - номер 2.92, страница 57.

Условие.

2.92. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева.

а) Скорость парохода относится к скорости течения, как $36 : 5$. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

б) Катер проходит определённое расстояние в стоячей воде за 12 ч. То же расстояние он может пройти по течению за 10 ч. Против течения катер идёт со скоростью $24$ км/ч. Определите скорость катера по течению.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Обозначим собственную скорость парохода как $v_п$, а скорость течения как $v_т$. Согласно условию, их скорости относятся как 36 к 5:
$\frac{v_п}{v_т} = \frac{36}{5}$

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда $v_п = 36x$, а $v_т = 5x$.

Скорость парохода по течению ($v_{по}$) равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_п + v_т = 36x + 5x = 41x$

Скорость парохода против течения ($v_{против}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_п - v_т = 36x - 5x = 31x$

Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Переведем это время в минуты:
$t_{по} = 5 \times 60 + 10 = 310$ минут.

Расстояние, которое прошел пароход, равно произведению скорости на время:
$S = v_{по} \times t_{по} = 41x \times 310$

Чтобы найти время, которое потребуется на обратный путь ($t_{против}$), нужно то же расстояние $S$ разделить на скорость против течения $v_{против}$:
$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{41x \times 310}{31x}$

Коэффициент $x$ сокращается:
$t_{против} = \frac{41 \times 310}{31} = 41 \times 10 = 410$ минут.

Переведем 410 минут в часы и минуты:
$410 \text{ мин} = 6 \times 60 + 50 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 50 \text{ мин}$.

Ответ: 6 часов 50 минут.

б)

Обозначим собственную скорость катера как $v_к$, скорость течения как $v_т$, а расстояние как $S$.

Из условия задачи составим систему уравнений:
1. Расстояние в стоячей воде катер проходит за 12 часов: $S = v_к \times 12$
2. То же расстояние по течению катер проходит за 10 часов: $S = (v_к + v_т) \times 10$
3. Скорость катера против течения равна 24 км/ч: $v_к - v_т = 24$

Из первого уравнения выразим $v_к$: $v_к = \frac{S}{12}$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$S = (\frac{S}{12} + v_т) \times 10$
$\frac{S}{10} = \frac{S}{12} + v_т$
Выразим $v_т$:
$v_т = \frac{S}{10} - \frac{S}{12} = \frac{6S - 5S}{60} = \frac{S}{60}$

Теперь подставим выражения для $v_к$ и $v_т$ в третье уравнение:
$\frac{S}{12} - \frac{S}{60} = 24$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{5S - S}{60} = 24$
$\frac{4S}{60} = 24$
$\frac{S}{15} = 24$
$S = 24 \times 15 = 360$ км.

Теперь найдем собственную скорость катера и скорость течения:
$v_к = \frac{S}{12} = \frac{360}{12} = 30$ км/ч.
$v_т = \frac{S}{60} = \frac{360}{60} = 6$ км/ч.

Нам нужно определить скорость катера по течению. Она равна сумме собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_к + v_т = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Проверить это можно, разделив расстояние на время движения по течению: $v_{по} = \frac{S}{10} = \frac{360}{10} = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.