Страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.70. Какова зависимость между:

a) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

а) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;
Эти две величины находятся в прямой пропорциональной зависимости. Чем больше одинаковых тракторов будет работать, тем большую площадь они смогут вспахать за один и тот же промежуток времени (один день).
Обозначим количество тракторов как $N$, а площадь, которую они вспашут, как $S$. Пусть производительность одного трактора (площадь, которую он вспахивает за день) равна $p$. Тогда зависимость можно выразить формулой: $S = N \cdot p$.
Поскольку $p$ — постоянная величина, то при увеличении $N$ в несколько раз, $S$ увеличится во столько же раз. Например, если 2 трактора вспахивают 10 га в день, то 4 таких же трактора вспашут $4 \cdot (10/2) = 20$ га в день.
Ответ: Прямая пропорциональность.

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;
Эти величины также находятся в прямой пропорциональной зависимости. Чем дольше будет работать один трактор, тем большую площадь он вспашет.
Обозначим число дней работы как $d$, а вспаханную площадь как $S$. Пусть производительность трактора равна $p$ (площадь в день). Тогда зависимость выражается формулой: $S = d \cdot p$.
Так как производительность $p$ трактора постоянна, то при увеличении времени работы $d$ в несколько раз, вспаханная площадь $S$ увеличится во столько же раз. Например, если за 3 дня трактор вспахал 15 га, то за 6 дней он вспашет $6 \cdot (15/3) = 30$ га.
Ответ: Прямая пропорциональность.

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
В этом случае зависимость является обратной пропорциональностью. Площадь поля — это постоянная величина (объем работы). Чем больше тракторов будет выполнять эту работу, тем меньше времени (дней) им на это потребуется.
Обозначим количество тракторов как $N$, а число дней как $d$. Пусть общая площадь поля равна $S_{total}$ (константа), а производительность одного трактора — $p$. Общий объем работы равен произведению общей производительности $(N \cdot p)$ на время $(d)$: $S_{total} = (N \cdot p) \cdot d$.
Отсюда можно выразить зависимость между $N$ и $d$: $N \cdot d = S_{total} / p$.
Поскольку $S_{total}$ и $p$ — постоянные величины, их частное тоже является константой. Таким образом, произведение количества тракторов на количество дней является постоянной величиной: $N \cdot d = const$. Это и есть определение обратной пропорциональности. Если увеличить количество тракторов в несколько раз, то время на вспашку того же поля уменьшится во столько же раз. Например, если 2 трактора вспахивают поле за 10 дней, то 4 трактора справятся за $10 / 2 = 5$ дней.
Ответ: Обратная пропорциональность.

2.71. Верно ли, что:

а) при постоянной скорости пешехода пройденное расстояние прямо пропорционально времени движения;

б) при постоянном расстоянии время движения обратно пропорционально скорости;

в) при постоянной производительности труда (объём работы, выполненной в единицу времени) объём работы прямо пропорционален времени работы;

г) при постоянном объёме работы время работы обратно пропорционально производительности труда?

а) Да, это утверждение верно. Связь между пройденным расстоянием ($S$), скоростью ($v$) и временем движения ($t$) выражается формулой $S = v \cdot t$. Если скорость пешехода постоянна (обозначим её как константу $k$, то есть $v = k$), то формула принимает вид $S = k \cdot t$. Это является определением прямой пропорциональности: одна величина ($S$) равна другой величине ($t$), умноженной на постоянный коэффициент ($k$). Это означает, что во сколько раз увеличится (или уменьшится) время движения, во столько же раз увеличится (или уменьшится) пройденное расстояние.
Ответ: верно.

б) Да, это утверждение верно. Используем ту же основную формулу: $S = v \cdot t$. Выразим из неё время движения: $t = \frac{S}{v}$. Если расстояние постоянно (обозначим его как константу $k$, то есть $S = k$), то формула принимает вид $t = \frac{k}{v}$. Это является определением обратной пропорциональности: одна величина ($t$) равна постоянному коэффициенту ($k$), делённому на другую величину ($v$). Это означает, что во сколько раз увеличится скорость, во столько же раз уменьшится время, необходимое для преодоления того же расстояния.
Ответ: верно.

в) Да, это утверждение верно. Обозначим объём работы как $A$, производительность труда (объём работы в единицу времени) как $P$ и время работы как $t$. По определению, производительность труда — это отношение объёма выполненной работы ко времени, за которое она была выполнена: $P = \frac{A}{t}$. Отсюда можно выразить объём работы: $A = P \cdot t$. Если производительность труда постоянна (обозначим её как константу $k$, то есть $P = k$), то формула принимает вид $A = k \cdot t$. Это определение прямой пропорциональности, где объём работы $A$ прямо пропорционален времени работы $t$ с коэффициентом пропорциональности $k=P$.
Ответ: верно.

г) Да, это утверждение верно. Воспользуемся формулой из предыдущего пункта: $A = P \cdot t$. Выразим из неё время работы: $t = \frac{A}{P}$. Если объём работы постоянен (обозначим его как константу $k$, то есть $A = k$), то формула принимает вид $t = \frac{k}{P}$. Это определение обратной пропорциональности: время работы $t$ обратно пропорционально производительности труда $P$. Это означает, что при увеличении производительности труда в несколько раз, время, необходимое для выполнения того же объёма работы, уменьшится во столько же раз.
Ответ: верно.

?2.72.

a) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью всей покупки?

б) Некто хочет проехать расстояние между двумя городами с постоянной скоростью. Какова зависимость между скоростью и временем движения?

а) Обозначим количество тетрадей как $n$, цену одной тетради как $p$ и общую стоимость покупки как $C$. Поскольку все тетради одинаковые, их цена $p$ является постоянной величиной (константой). Тогда общая стоимость покупки вычисляется по формуле: $C = p \cdot n$.
Эта зависимость является прямой пропорциональностью. Это означает, что во сколько раз увеличивается количество купленных тетрадей, во столько же раз увеличивается и общая стоимость покупки. Например, если купить в 2 раза больше тетрадей, стоимость покупки также увеличится в 2 раза.
Ответ: Прямая пропорциональность.

б) Обозначим расстояние между городами как $S$, скорость движения как $v$ и время в пути как $t$. В рамках данной задачи расстояние $S$ является постоянной величиной (константой).
Связь между этими величинами выражается формулой: $S = v \cdot t$. Чтобы найти зависимость между скоростью и временем, выразим одну величину через другую, например, время через скорость: $t = \frac{S}{v}$.
Эта зависимость является обратной пропорциональностью. Это означает, что во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время, необходимое для преодоления того же расстояния. Например, если ехать в 2 раза быстрее, то время в пути сократится в 2 раза.
Ответ: Обратная пропорциональность.

2.73. За 6 ч поезд прошёл 480 км. Сколько километров поезд прошёл за первые 2 ч, двигаясь с постоянной скоростью?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти скорость поезда, а затем рассчитать расстояние, которое он преодолел за 2 часа.

1. Нахождение скорости поезда

Скорость ($v$) равна отношению расстояния ($S$) ко времени ($t$), за которое это расстояние было пройдено. Формула выглядит так: $v = S / t$.

Согласно условию, поезд прошел расстояние $S = 480$ км за время $t = 6$ ч. Вычислим его скорость:

$v = 480 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 80 \text{ км/ч}$

Таким образом, постоянная скорость поезда составляет 80 километров в час.

2. Нахождение расстояния, пройденного за 2 часа

Теперь, зная скорость поезда, мы можем найти расстояние, которое он прошёл за 2 часа. Для этого используем формулу расстояния: $S = v \cdot t$.

Подставим известные нам значения: скорость $v = 80$ км/ч и время $t = 2$ ч.

$S = 80 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

Ответ: 160 км.

2.74. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песка. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на 12 кг ягод?

Эта задача на прямую пропорциональность: во сколько раз увеличивается количество ягод, во столько же раз должно увеличиться и количество сахарного песка. Решим задачу двумя способами.

Способ 1: Поэтапное вычисление

1. Сначала определим, во сколько раз увеличилось количество ягод. Для этого разделим новое количество ягод на первоначальное:

$12 \text{ кг} : 6 \text{ кг} = 2$

Следовательно, ягод стало в 2 раза больше.

2. Теперь, чтобы сохранить пропорцию, необходимо увеличить количество сахарного песка в то же количество раз. Умножим исходное количество сахара на 2:

$4 \text{ кг} \cdot 2 = 8 \text{ кг}$

Способ 2: С помощью пропорции

Пусть $x$ — это искомое количество килограммов сахара для 12 кг ягод. Составим пропорцию на основе данных из условия:

На 6 кг ягод — 4 кг сахара

На 12 кг ягод — $x$ кг сахара

Это соотношение можно записать в виде математической пропорции:

$\frac{6}{12} = \frac{4}{x}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6 \cdot x = 12 \cdot 4$

$6x = 48$

Теперь найдем $x$, разделив 48 на 6:

$x = \frac{48}{6}$

$x = 8$

Оба способа решения показывают, что на 12 кг ягод потребуется 8 кг сахара.

Ответ: на 12 кг ягод надо взять 8 кг сахарного песка.

2.75. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песка. Сколько килограммов ягод надо взять на 12 кг сахарного песка?

Для решения этой задачи необходимо сохранить заданное соотношение между количеством ягод и количеством сахара. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Поэтапное вычисление

1. Сначала определим, во сколько раз увеличилось количество сахара. Для этого новое количество сахара разделим на исходное:
$12 \text{ кг} \div 4 \text{ кг} = 3$
Следовательно, количество сахара увеличилось в 3 раза.

2. Чтобы пропорция сохранилась, количество ягод также необходимо увеличить в 3 раза:
$6 \text{ кг} \cdot 3 = 18 \text{ кг}$

Способ 2: С помощью пропорции

Пусть $x$ — искомое количество килограммов ягод. Составим пропорцию, исходя из условия задачи:
6 кг ягод соответствует 4 кг сахара.
$x$ кг ягод соответствует 12 кг сахара.

Запишем это в виде математического соотношения:
$ \frac{6}{4} = \frac{x}{12} $

Теперь найдем $x$, решив это уравнение:
$ x = \frac{6 \cdot 12}{4} $
$ x = \frac{72}{4} $
$ x = 18 $

Оба способа показывают, что на 12 кг сахарного песка необходимо взять 18 кг вишни.
Ответ: 18 кг.

2.76. а) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 300 г этого раствора?

б) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько соли содержится в 200 г этого раствора?

а)

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорции. Концентрация соли в растворе постоянна, поэтому отношение массы соли к массе раствора остается неизменным.

Дано:

• В 100 г раствора содержится 4 г соли.

Найти:

• Сколько соли ($x$) содержится в 300 г раствора.

Составим пропорцию:

$\frac{4 \text{ г соли}}{100 \text{ г раствора}} = \frac{x \text{ г соли}}{300 \text{ г раствора}}$

Чтобы найти $x$, решим уравнение:

$x = \frac{4 \cdot 300}{100}$

$x = \frac{1200}{100}$

$x = 12$ г

Также можно заметить, что 300 г раствора — это в 3 раза больше, чем 100 г. Следовательно, и соли в нем будет в 3 раза больше:

$4 \text{ г} \cdot 3 = 12 \text{ г}$

Ответ: 12 г.

б)

Воспользуемся тем же методом пропорции.

Дано:

• В 4000 г раствора содержится 80 г соли.

Найти:

• Сколько соли ($y$) содержится в 200 г раствора.

Составим пропорцию:

$\frac{80 \text{ г соли}}{4000 \text{ г раствора}} = \frac{y \text{ г соли}}{200 \text{ г раствора}}$

Решим уравнение, чтобы найти $y$:

$y = \frac{80 \cdot 200}{4000}$

$y = \frac{16000}{4000}$

$y = 4$ г

Другой способ рассуждения: масса нового раствора (200 г) в 20 раз меньше исходной (4000 г), так как $4000 / 200 = 20$. Значит, и масса соли в нем будет в 20 раз меньше:

$\frac{80 \text{ г}}{20} = 4 \text{ г}$

Ответ: 4 г.

2.77. Расстояние между двумя городами первый поезд прошёл со скоростью $80 \text{ км/ч}$ за $3 \text{ ч}$. За сколько часов второй поезд пройдёт то же расстояние со скоростью $60 \text{ км/ч}$?

Чтобы найти время, за которое второй поезд пройдёт расстояние, сначала нужно вычислить само это расстояние, используя данные о первом поезде.

1. Вычисление расстояния между городами.
Расстояние ($S$) находится по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время. Скорость первого поезда ($v_1$) составляет 80 км/ч, а время в пути ($t_1$) — 3 часа.

$S = 80 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$.

Таким образом, расстояние между городами равно 240 км.

2. Вычисление времени в пути для второго поезда.
Теперь, зная расстояние, найдём время для второго поезда по формуле $t = S / v$. Расстояние ($S$) — 240 км, а скорость второго поезда ($v_2$) — 60 км/ч.

$t_2 = \frac{240 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$.

Ответ: 4 часа.