Страница 51 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.50. а) $ \frac{1}{7} : \frac{3}{4} = \frac{1}{14} : \frac{3}{8}; $

б) $ \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5}; $

в) $ 1\frac{1}{2} : 5 = 3 : 10; $

г) $ 1\frac{4}{5} : 2 = 10 : 9? $

а) Чтобы проверить, является ли равенство $\frac{1}{7} : \frac{3}{4} = \frac{1}{14} : \frac{3}{8}$ верной пропорцией, можно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Произведение крайних членов: $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 8} = \frac{3}{56}$.

Произведение средних членов: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{14} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 14} = \frac{3}{56}$.

Так как $\frac{3}{56} = \frac{3}{56}$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: да, равенство верное.

б) Проверим верность пропорции $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5}$ по основному свойству пропорции.

Произведение крайних членов: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$.

Произведение средних членов: $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15}$.

Так как $\frac{4}{15} = \frac{4}{15}$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: да, равенство верное.

в) Проверим верность пропорции $1\frac{1}{2} : 5 = 3 : 10$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Пропорция примет вид: $\frac{3}{2} : 5 = 3 : 10$.

Проверим равенство произведений крайних и средних членов:

Произведение крайних членов: $\frac{3}{2} \cdot 10 = \frac{30}{2} = 15$.

Произведение средних членов: $5 \cdot 3 = 15$.

Так как $15 = 15$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: да, равенство верное.

г) Проверим, верна ли пропорция $1\frac{4}{5} : 2 = 10 : 9$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$.

Пропорция примет вид: $\frac{9}{5} : 2 = 10 : 9$.

Проверим равенство произведений крайних и средних членов:

Произведение крайних членов: $\frac{9}{5} \cdot 9 = \frac{81}{5} = 16,2$.

Произведение средних членов: $2 \cdot 10 = 20$.

Так как $16,2 \neq 20$, равенство не является верной пропорцией.

Ответ: нет, равенство неверное.

2.51. Замените пропорцией равенство:

а) $12 \cdot 2 = 6 \cdot 4;$

б) $15 \cdot 6 = 9 \cdot 10;$

в) $42 \cdot 4 = 84 \cdot 2;$

г) $24 \cdot 10 = 2 \cdot 120.$

Пропорция — это равенство двух отношений. Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции $a : b = c : d$ (которую также можно записать в виде дроби $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) верно равенство $a \cdot d = b \cdot c$.

Чтобы выполнить обратное действие, то есть заменить равенство произведений пропорцией, нужно воспользоваться этим свойством. Из равенства $a \cdot d = b \cdot c$ можно составить несколько верных пропорций. Например, разделив обе части равенства на произведение $b \cdot d$ (при условии, что $b \ne 0$ и $d \ne 0$), получим:

$\frac{a \cdot d}{b \cdot d} = \frac{b \cdot c}{b \cdot d}$, что после сокращения приводит к пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Аналогично, разделив обе части на $c \cdot d$, можно получить пропорцию $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.Применим это правило к каждому из данных равенств.

а)

Дано равенство: $12 \cdot 2 = 6 \cdot 4$.Проверим его истинность: $24 = 24$.Чтобы составить пропорцию, мы можем взять числа с одной стороны равенства ($12$ и $2$) как крайние члены пропорции, а числа с другой стороны ($6$ и $4$) — как средние.Например, $12 : 6 = 4 : 2$.Проверим это, вычислив отношения: $12 \div 6 = 2$ и $4 \div 2 = 2$. Равенство $2 = 2$ верно, значит, пропорция составлена правильно.Эту же пропорцию можно записать в виде дробей: $\frac{12}{6} = \frac{4}{2}$.

Ответ: $12:6 = 4:2$.

б)

Дано равенство: $15 \cdot 6 = 9 \cdot 10$.Проверим его истинность: $90 = 90$.Составим пропорцию. Например, возьмем $15$ и $6$ как крайние члены, а $9$ и $10$ — как средние:$15 : 9 = 10 : 6$.Проверим эту пропорцию. Для этого можно сократить дроби в равенстве $\frac{15}{9} = \frac{10}{6}$.$\frac{15}{9} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{3}$$\frac{10}{6} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{3}$Так как $\frac{5}{3} = \frac{5}{3}$, пропорция верна.

Ответ: $15:9 = 10:6$.

в)

Дано равенство: $42 \cdot 4 = 84 \cdot 2$.Проверим его истинность: $168 = 168$.Составим пропорцию. Возьмем один множитель из левой части и один из правой и составим первое отношение, а из оставшихся множителей — второе. Например:$42 : 84 = 2 : 4$.Проверим пропорцию, записав ее в виде дробей и сократив их: $\frac{42}{84} = \frac{2}{4}$.$\frac{42}{84} = \frac{1}{2}$$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ верно.

Ответ: $42:84 = 2:4$.

г)

Дано равенство: $24 \cdot 10 = 2 \cdot 120$.Проверим его истинность: $240 = 240$.Составим пропорцию по аналогии с предыдущими примерами. Например:$24 : 2 = 120 : 10$.Проверим эту пропорцию, вычислив значения отношений:$24 \div 2 = 12$$120 \div 10 = 12$Равенство $12 = 12$ верное, значит, пропорция составлена правильно.

Ответ: $24:2 = 120:10$.

2.52. Из данной пропорции получите новую, поменяв местами крайние члены (средние члены):

а) $$\\frac{25}{13} = \\frac{50}{26}$$

б) $$28 : 25 = 84 : 75$$

Основное свойство пропорции $a : b = c : d$ заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \times d = b \times c$. Из этого свойства следует, что если поменять местами крайние члены ($d : b = c : a$) или средние члены ($a : c = b : d$), то равенство сохранится и получится новая верная пропорция.

а)

Дана пропорция $\frac{25}{13} = \frac{50}{26}$. Эту пропорцию можно записать в виде $25 : 13 = 50 : 26$. Крайними членами являются $25$ и $26$, а средними — $13$ и $50$.

1. Поменяем местами крайние члены ($25$ и $26$):
Получим новую пропорцию: $26 : 13 = 50 : 25$.
Запишем ее в виде дробей: $\frac{26}{13} = \frac{50}{25}$.
Проверим равенство: $2 = 2$. Пропорция верна.

2. Поменяем местами средние члены ($13$ и $50$):
Получим новую пропорцию: $25 : 50 = 13 : 26$.
Запишем ее в виде дробей: $\frac{25}{50} = \frac{13}{26}$.
Проверим равенство: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Пропорция верна.

Ответ: $\frac{26}{13} = \frac{50}{25}$ или $\frac{25}{50} = \frac{13}{26}$.

б)

Дана пропорция $28 : 25 = 84 : 75$. Крайними членами являются $28$ и $75$, а средними — $25$ и $84$.

1. Поменяем местами крайние члены ($28$ и $75$):
Получим новую пропорцию: $75 : 25 = 84 : 28$.
Проверим равенство, вычислив значения отношений: $3 = 3$. Пропорция верна.

2. Поменяем местами средние члены ($25$ и $84$):
Получим новую пропорцию: $28 : 84 = 25 : 75$.
Проверим равенство, вычислив значения отношений: $\frac{28}{84} = \frac{1}{3}$ и $\frac{25}{75} = \frac{1}{3}$. Равенство $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ верно, значит, пропорция верна.

Ответ: $75 : 25 = 84 : 28$ или $28 : 84 = 25 : 75$.

Решите пропорцию (2.53–2.58):

2.53. a) $\frac{x}{2} = \frac{3}{7}$;

б) $\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$;

в) $\frac{x}{12} = \frac{7}{10}$;

г) $\frac{x}{16} = \frac{9}{32}$.

а) Дана пропорция $ \frac{x}{2} = \frac{3}{7} $. Чтобы найти неизвестный член пропорции $ x $, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном уравнении крайние члены — это $ x $ и $ 7 $, а средние — $ 2 $ и $ 3 $.

Запишем равенство произведений:

$ x \cdot 7 = 2 \cdot 3 $

$ 7x = 6 $

Теперь, чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 7:

$ x = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $.

б) Дана пропорция $ \frac{x}{3} = \frac{2}{5} $. Применим основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов ($ x $ и $ 5 $) равно произведению средних членов ($ 3 $ и $ 2 $):

$ x \cdot 5 = 3 \cdot 2 $

$ 5x = 6 $

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $ x $:

$ x = \frac{6}{5} $

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

в) Дана пропорция $ \frac{x}{12} = \frac{7}{10} $. Воспользуемся основным свойством пропорции.

Приравняем произведение крайних членов ($ x $ и $ 10 $) к произведению средних членов ($ 12 $ и $ 7 $):

$ x \cdot 10 = 12 \cdot 7 $

$ 10x = 84 $

Найдем $ x $, разделив обе части уравнения на 10:

$ x = \frac{84}{10} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ x = \frac{42}{5} $

Ответ: $ \frac{42}{5} $.

г) Дана пропорция $ \frac{x}{16} = \frac{9}{32} $. Решим ее, используя основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов ($ x $ и $ 32 $) равно произведению средних членов ($ 16 $ и $ 9 $):

$ x \cdot 32 = 16 \cdot 9 $

$ 32x = 144 $

Найдем $ x $, разделив обе части на 32:

$ x = \frac{144}{32} $

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 144 и 32 равен 16:

$ x = \frac{144 \div 16}{32 \div 16} = \frac{9}{2} $

Ответ: $ \frac{9}{2} $.

2.54. а) $ \frac{7}{8} = \frac{x}{6} $;

б) $ \frac{13}{15} = \frac{x}{10} $;

В) $ \frac{12}{21} = \frac{x}{14} $;

Г) $ \frac{48}{51} = \frac{x}{34} $.

а)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{7}{8} = \frac{x}{6}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, можно воспользоваться основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Запишем это свойство для нашего уравнения:

$7 \times 6 = 8 \times x$

Выполним умножение в левой части:

$42 = 8x$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{42}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$x = \frac{42 \div 2}{8 \div 2} = \frac{21}{4}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$x = 5.25$

Ответ: $5.25$

б)

Дано уравнение: $\frac{13}{15} = \frac{x}{10}$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$13 \times 10 = 15 \times x$

$130 = 15x$

Выразим $x$, разделив 130 на 15:

$x = \frac{130}{15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$x = \frac{130 \div 5}{15 \div 5} = \frac{26}{3}$

Ответ можно оставить в виде неправильной дроби или представить в виде смешанного числа $8\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$

в)

Дано уравнение: $\frac{12}{21} = \frac{x}{14}$.

Для упрощения вычислений, сначала сократим дробь в левой части уравнения. Числитель 12 и знаменатель 21 делятся на 3:

$\frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$

Теперь пропорция имеет вид: $\frac{4}{7} = \frac{x}{14}$.

Применим основное свойство пропорции:

$4 \times 14 = 7 \times x$

$56 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{56}{7}$

$x = 8$

Ответ: $8$

г)

Дано уравнение: $\frac{48}{51} = \frac{x}{34}$.

Сначала упростим дробь $\frac{48}{51}$. Сумма цифр числителя $4+8=12$, а знаменателя $5+1=6$. Оба числа делятся на 3, значит, и сами числа делятся на 3.

$\frac{48 \div 3}{51 \div 3} = \frac{16}{17}$

Пропорция принимает вид: $\frac{16}{17} = \frac{x}{34}$.

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$16 \times 34 = 17 \times x$

Выразим $x$:

$x = \frac{16 \times 34}{17}$

Можно заметить, что 34 делится на 17 ($34 = 2 \times 17$). Сократим дробь на 17:

$x = 16 \times \frac{34}{17} = 16 \times 2$

$x = 32$

Ответ: $32$

2.55. a) $ \frac{15}{x} = \frac{5}{8} $

б) $ \frac{24}{x} = \frac{8}{7} $

В) $ \frac{12}{x} = \frac{4}{5} $

Г) $ \frac{25}{x} = \frac{5}{7} $

а) Для решения данного уравнения, которое представляет собой пропорцию $ \frac{15}{x} = \frac{5}{8} $, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае это означает, что $ 15 \cdot 8 = x \cdot 5 $.

Выполним умножение в левой части уравнения:

$ 120 = 5x $

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{120}{5} $

$ x = 24 $

Ответ: 24

б) Решим пропорцию $ \frac{24}{x} = \frac{8}{7} $. Применим правило "крест-накрест":

$ 24 \cdot 7 = x \cdot 8 $

Вычислим произведение в левой части:

$ 168 = 8x $

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$ x = \frac{168}{8} $

$ x = 21 $

Ответ: 21

в) Решим уравнение $ \frac{12}{x} = \frac{4}{5} $. Используя основное свойство пропорции, получаем:

$ 12 \cdot 5 = x \cdot 4 $

Выполним умножение слева:

$ 60 = 4x $

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{60}{4} $

$ x = 15 $

Ответ: 15

г) Решим пропорцию $ \frac{25}{x} = \frac{5}{7} $. Применим правило "крест-накрест":

$ 25 \cdot 7 = x \cdot 5 $

Вычислим произведение в левой части:

$ 175 = 5x $

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$ x = \frac{175}{5} $

$ x = 35 $

Ответ: 35

2.56. a) $\frac{3}{5} = \frac{7}{x}$;

б) $\frac{8}{7} = \frac{15}{x}$;

в) $\frac{7}{1} = \frac{12}{x}$;

г) $\frac{8}{1} = \frac{3}{x}$.

а) Чтобы решить уравнение $\frac{3}{5} = \frac{7}{x}$, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов (или методом перекрестного умножения).
$3 \cdot x = 5 \cdot 7$
$3x = 35$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{35}{3}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$x = 11\frac{2}{3}$
Ответ: $11\frac{2}{3}$

б) Решим уравнение $\frac{8}{7} = \frac{15}{x}$, используя перекрестное умножение.
$8 \cdot x = 7 \cdot 15$
$8x = 105$
Найдем $x$, разделив обе части на 8:
$x = \frac{105}{8}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$x = 13\frac{1}{8}$
Ответ: $13\frac{1}{8}$

в) Дано уравнение $\frac{7}{1} = \frac{12}{x}$. Применим основное свойство пропорции.
$7 \cdot x = 1 \cdot 12$
$7x = 12$
Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$:
$x = \frac{12}{7}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$x = 1\frac{5}{7}$
Ответ: $1\frac{5}{7}$

г) Решим уравнение $\frac{8}{1} = \frac{3}{x}$.
Используем метод перекрестного умножения:
$8 \cdot x = 1 \cdot 3$
$8x = 3$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 8:
$x = \frac{3}{8}$
Ответ: $\frac{3}{8}$

2.57. a) $x : \frac{1}{2} = 3 : 5;$

б) $x : \frac{2}{3} = 3 : 4;$

в) $x : 5 = 7 : \frac{1}{2};$

г) $x : 6 = \frac{1}{3} : 8.$

а) Чтобы решить пропорцию $x : \frac{1}{2} = 3 : 5$, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$x \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 3$
$5x = \frac{3}{2}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{3}{2} \div 5 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$
Ответ: $\frac{3}{10}$.

б) Решим пропорцию $x : \frac{2}{3} = 3 : 4$.
Применим основное свойство пропорции:
$x \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 3$
$4x = 2$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Решим пропорцию $x : 5 = 7 : \frac{1}{2}$.
Применим основное свойство пропорции:
$x \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot 7$
$\frac{1}{2}x = 35$
Умножим обе части на 2:
$x = 35 \cdot 2 = 70$
Ответ: $70$.

г) Решим пропорцию $x : 6 = \frac{1}{3} : 8$.
Применим основное свойство пропорции:
$x \cdot 8 = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$8x = \frac{6}{3}$
$8x = 2$
Разделим обе части на 8:
$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2.58. а) $14 : 15 = 3 : x;$

б) $12 : 29 = \frac{1}{58} : x;$

в) $12 : 25 = \frac{7}{15} : x;$

г) $144 : 125 = 1\frac{1}{2} : x.$

а) Чтобы решить пропорцию $14 : 15 = 3 : x$, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Запишем это свойство в виде уравнения:

$14 \cdot x = 15 \cdot 3$

Вычислим произведение в правой части:

$14 \cdot x = 45$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение (45) на известный множитель (14):

$x = \frac{45}{14}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$x = 3\frac{3}{14}$

Ответ: $3\frac{3}{14}$

б) Решим пропорцию $12 : 29 = \frac{1}{58} : x$.

Применяя основное свойство пропорции, получаем уравнение:

$12 \cdot x = 29 \cdot \frac{1}{58}$

Упростим правую часть. Так как $58 = 29 \cdot 2$, можно сократить дробь на 29:

$12 \cdot x = \frac{29}{58} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $x$, разделив $\frac{1}{2}$ на 12:

$x = \frac{1}{2} : 12$

Деление на число равносильно умножению на обратное ему число:

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$

в) Решим пропорцию $12 : 25 = \frac{7}{15} : x$.

По основному свойству пропорции:

$12 \cdot x = 25 \cdot \frac{7}{15}$

Упростим правую часть. Числа 25 и 15 имеют общий делитель 5, на который можно сократить:

$12 \cdot x = \frac{25 \cdot 7}{15} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 7}{3} = \frac{35}{3}$

Теперь найдем $x$, разделив $\frac{35}{3}$ на 12:

$x = \frac{35}{3} : 12 = \frac{35}{3 \cdot 12} = \frac{35}{36}$

Ответ: $\frac{35}{36}$

г) Решим пропорцию $144 : 125 = 1\frac{1}{2} : x$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Пропорция принимает вид: $144 : 125 = \frac{3}{2} : x$.

Применим основное свойство пропорции:

$144 \cdot x = 125 \cdot \frac{3}{2}$

Вычислим правую часть:

$144 \cdot x = \frac{125 \cdot 3}{2} = \frac{375}{2}$

Найдем $x$, разделив $\frac{375}{2}$ на 144:

$x = \frac{375}{2} : 144 = \frac{375}{2 \cdot 144} = \frac{375}{288}$

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя ($3+7+5=15$) и знаменателя ($2+8+8=18$) делится на 3, значит, дробь можно сократить на 3:

$x = \frac{375 : 3}{288 : 3} = \frac{125}{96}$

Представим ответ в виде смешанного числа:

$x = 1\frac{29}{96}$

Ответ: $1\frac{29}{96}$

ДОКАЗЫВАЕМ

2.59. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $;

Б) $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $;

В) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $;

Г) $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.

а) Нам дано, что $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Используя основное свойство пропорции (перекрёстное умножение), мы можем записать это как $ ad = bc $.
Теперь рассмотрим равенство, которое необходимо доказать: $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $. Применив к нему перекрёстное умножение, получим $ d \cdot a = b \cdot c $, что эквивалентно $ ad = bc $.
Поскольку исходное и доказываемое равенства эквивалентны одному и тому же соотношению $ ad = bc $, утверждение верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $.

б) Исходя из условия $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, мы знаем, что $ ad = bc $.
Равенство, которое нужно доказать, это $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $. По свойству пропорции оно эквивалентно $ d \cdot a = c \cdot b $, или $ ad = bc $.
Это то же самое соотношение, которое следует из начального условия, поэтому утверждение доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $.

в) Нам дано $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, из чего следует, что $ ad = bc $.
Необходимо доказать, что $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $. Используем перекрёстное умножение:
$ (a+c)d = (b+d)c $
Раскроем скобки в обеих частях равенства:
$ ad + cd = bc + dc $
Поскольку $ cd = dc $, мы можем вычесть этот член из обеих частей, что даёт нам:
$ ad = bc $
Это в точности соответствует нашему исходному условию. Следовательно, равенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $.

г) Из условия $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ следует $ ad = bc $.
Докажем равенство $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $. Применим перекрёстное умножение:
$ a(b+d) = b(a+c) $
Раскроем скобки:
$ ab + ad = ba + bc $
Поскольку $ ab = ba $, вычитаем этот член из обеих частей:
$ ad = bc $
Мы получили исходное соотношение, что доказывает верность утверждения.
Альтернативное доказательство: из пункта в) мы уже доказали, что $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $. А так как по условию $ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} $, то по свойству транзитивности $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.

Решите пропорцию (2.60–2.61):

2.60. а) $\frac{2x}{3} = \frac{4}{9}$;

б) $\frac{3x}{5} = \frac{9}{10}$;

в) $\frac{8}{15} = \frac{6x}{9}$;

г) $\frac{12}{13} = \frac{18x}{39}$.

а) Дана пропорция $\frac{2x}{3} = \frac{4}{9}$.
Чтобы решить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$(2x) \cdot 9 = 3 \cdot 4$
$18x = 12$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 18:
$x = \frac{12}{18}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:
$x = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б) Дана пропорция $\frac{3x}{5} = \frac{9}{10}$.
Применим основное свойство пропорции:
$(3x) \cdot 10 = 5 \cdot 9$
$30x = 45$
Найдем $x$:
$x = \frac{45}{30}$
Сократим дробь на 15:
$x = \frac{45 \div 15}{30 \div 15} = \frac{3}{2}$
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

в) Дана пропорция $\frac{8}{15} = \frac{6x}{9}$.
Применим основное свойство пропорции:
$8 \cdot 9 = 15 \cdot (6x)$
$72 = 90x$
Найдем $x$:
$x = \frac{72}{90}$
Сократим дробь на 18:
$x = \frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \frac{4}{5}$
Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

г) Дана пропорция $\frac{12}{13} = \frac{18x}{39}$.
Применим основное свойство пропорции:
$12 \cdot 39 = 13 \cdot (18x)$
Выразим $x$ из этого уравнения:
$x = \frac{12 \cdot 39}{13 \cdot 18}$
Для упрощения вычислений сократим дробь. Заметим, что 39 делится на 13 ($39 \div 13 = 3$), а 12 и 18 делятся на 6 ($12 \div 6 = 2$, $18 \div 6 = 3$).
$x = \frac{(12 \div 6) \cdot (39 \div 13)}{(13 \div 13) \cdot (18 \div 6)} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 3}$
$x = \frac{6}{3} = 2$
Ответ: $x = 2$.

261. а) $\frac{1}{5} = 2 : 3x$;

б) $\frac{2}{7} = \frac{3}{4x}$;

в) $\frac{21}{25} = \frac{49}{50x}$;

г) $\frac{16}{19} = 32 : 38x$.

а) Исходное уравнение: $\frac{1}{5} = 2 : 3x$.

Запишем отношение в правой части в виде дроби: $\frac{1}{5} = \frac{2}{3x}$.

Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$1 \cdot 3x = 5 \cdot 2$

$3x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{10}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 3\frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \frac{10}{3}$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2}{7} = \frac{3}{4x}$.

Это пропорция. Применим основное свойство пропорции:

$2 \cdot 4x = 7 \cdot 3$

$8x = 21$

Разделим обе части на 8, чтобы найти $x$:

$x = \frac{21}{8}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 2\frac{5}{8}$.

Ответ: $x = \frac{21}{8}$.

в) Исходное уравнение: $\frac{21}{25} = \frac{49}{50x}$.

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$21 \cdot 50x = 25 \cdot 49$

Выразим $x$:

$x = \frac{25 \cdot 49}{21 \cdot 50}$

Сократим дробь перед вычислением. Сократим $25$ и $50$ на $25$. Сократим $49$ и $21$ на $7$:

$x = \frac{25 \cdot 49}{21 \cdot (2 \cdot 25)} = \frac{49}{21 \cdot 2} = \frac{7 \cdot 7}{(3 \cdot 7) \cdot 2} = \frac{7}{3 \cdot 2}$

$x = \frac{7}{6}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 1\frac{1}{6}$.

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

г) Исходное уравнение: $\frac{16}{19} = 32 : 38x$.

Представим правую часть в виде дроби:

$\frac{16}{19} = \frac{32}{38x}$

Применим основное свойство пропорции:

$16 \cdot 38x = 19 \cdot 32$

Выразим $x$:

$x = \frac{19 \cdot 32}{16 \cdot 38}$

Сократим дробь. Сократим $32$ и $16$ на $16$. Сократим $19$ и $38$ на $19$:

$x = \frac{19 \cdot (2 \cdot 16)}{16 \cdot (2 \cdot 19)}$

После сокращения всех общих множителей в числителе и знаменателе получаем:

$x = 1$

Ответ: $x=1$.