Номер 2.59, страница 51 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Отношения, пропорции, проценты. 2.4. Пропорции - номер 2.59, страница 51.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

2.59. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $;

Б) $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $;

В) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $;

Г) $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Нам дано, что $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Используя основное свойство пропорции (перекрёстное умножение), мы можем записать это как $ ad = bc $.
Теперь рассмотрим равенство, которое необходимо доказать: $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $. Применив к нему перекрёстное умножение, получим $ d \cdot a = b \cdot c $, что эквивалентно $ ad = bc $.
Поскольку исходное и доказываемое равенства эквивалентны одному и тому же соотношению $ ad = bc $, утверждение верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a} $.

б) Исходя из условия $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, мы знаем, что $ ad = bc $.
Равенство, которое нужно доказать, это $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $. По свойству пропорции оно эквивалентно $ d \cdot a = c \cdot b $, или $ ad = bc $.
Это то же самое соотношение, которое следует из начального условия, поэтому утверждение доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} $.

в) Нам дано $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, из чего следует, что $ ad = bc $.
Необходимо доказать, что $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $. Используем перекрёстное умножение:
$ (a+c)d = (b+d)c $
Раскроем скобки в обеих частях равенства:
$ ad + cd = bc + dc $
Поскольку $ cd = dc $, мы можем вычесть этот член из обеих частей, что даёт нам:
$ ad = bc $
Это в точности соответствует нашему исходному условию. Следовательно, равенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $.

г) Из условия $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ следует $ ad = bc $.
Докажем равенство $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $. Применим перекрёстное умножение:
$ a(b+d) = b(a+c) $
Раскроем скобки:
$ ab + ad = ba + bc $
Поскольку $ ab = ba $, вычитаем этот член из обеих частей:
$ ad = bc $
Мы получили исходное соотношение, что доказывает верность утверждения.
Альтернативное доказательство: из пункта в) мы уже доказали, что $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} $. А так как по условию $ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} $, то по свойству транзитивности $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d} $.