Страница 44 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.21. Что показывает численный масштаб:

а) $1:100$;

б) $1:1000$;

в) $1:20000$?

Численный масштаб показывает, во сколько раз расстояние на плане, карте или чертеже меньше соответствующего расстояния в действительности. Масштаб записывается в виде отношения, например, 1:М, где 1 — это одна единица измерения на карте (например, 1 см), а M — это количество таких же единиц в реальности.

Масштаб 1:100 означает, что 1 единица длины на плане соответствует 100 таким же единицам в реальности. То есть, изображение уменьшено в 100 раз. Если взять за единицу измерения сантиметр, то 1 см на плане будет соответствовать 100 см на местности.

Поскольку $100 \text{ см} = 1 \text{ м}$, то 1 см на плане равен 1 метру в действительности. Такой крупный масштаб обычно используется для чертежей зданий, планов квартир или небольших земельных участков.

Ответ: Масштаб 1:100 показывает, что 1 см на плане соответствует 100 см (или 1 м) в действительности.

Масштаб 1:1000 показывает, что 1 единица длины на плане соответствует 1000 таких же единиц на местности. Это значит, что 1 см на плане представляет 1000 см в реальности.

Переведем это расстояние в метры: $1000 \text{ см} = 10 \text{ м}$. Таким образом, 1 см на плане соответствует 10 метрам на местности. Этот масштаб часто применяется для топографических планов небольших районов, например, городских кварталов.

Ответ: Масштаб 1:1000 показывает, что 1 см на плане соответствует 1000 см (или 10 м) в действительности.

Масштаб 1:20 000 показывает, что 1 единица длины на карте соответствует 20 000 таких же единиц на местности. То есть, 1 см на карте равен 20 000 см в реальности.

Для удобства переведем сантиметры в более крупные единицы. В метрах: $20 000 \text{ см} = 200 \text{ м}$. В километрах: $200 \text{ м} = 0,2 \text{ км}$. Следовательно, 1 см на карте соответствует 200 метрам (или 0,2 км) на местности. Это типичный масштаб для топографических карт.

Ответ: Масштаб 1:20 000 показывает, что 1 см на карте соответствует 20 000 см (или 200 м, или 0,2 км) в действительности.

2.22. Определите численный масштаб, если известно, что 1 см на плане (географической карте) изображает отрезок длиной:

а) 10 см;

б) 50 см;

в) 6 дм;

г) 10 м;

д) 100 м;

е) 1 км;

ж) 6 км;

з) 10 км.

Численный масштаб показывает, во сколько раз расстояние на плане или карте меньше соответствующего расстояния на местности. Он выражается в виде дроби, где в числителе стоит единица, а в знаменателе — число, показывающее степень уменьшения. Для определения численного масштаба необходимо, чтобы обе величины (на карте и на местности) были выражены в одинаковых единицах измерения. По условию, расстояние на плане равно 1 см, поэтому все расстояния на местности нужно перевести в сантиметры.

а) Расстояние на местности составляет 10 см. Так как единицы измерения совпадают (1 см на плане и 10 см на местности), масштаб сразу определяется как отношение 1:10.
Ответ: 1 : 10

б) Расстояние на местности составляет 50 см. Единицы измерения совпадают, поэтому масштаб равен 1:50.
Ответ: 1 : 50

в) Расстояние на местности составляет 6 дм. Переведем дециметры в сантиметры, зная, что в 1 дм содержится 10 см:
$6 \text{ дм} = 6 \times 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
Таким образом, 1 см на плане соответствует 60 см на местности. Масштаб составляет 1:60.
Ответ: 1 : 60

г) Расстояние на местности составляет 10 м. Переведем метры в сантиметры, зная, что в 1 м содержится 100 см:
$10 \text{ м} = 10 \times 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Масштаб составляет 1:1 000.
Ответ: 1 : 1 000

д) Расстояние на местности составляет 100 м. Переведем метры в сантиметры:
$100 \text{ м} = 100 \times 100 \text{ см} = 10\,000 \text{ см}$.
Масштаб составляет 1:10 000.
Ответ: 1 : 10 000

е) Расстояние на местности составляет 1 км. Переведем километры в сантиметры, зная, что в 1 км содержится 1000 м, а в 1 м — 100 см:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\,000 \text{ см}$.
Масштаб составляет 1:100 000.
Ответ: 1 : 100 000

ж) Расстояние на местности составляет 6 км. Переведем километры в сантиметры:
$6 \text{ км} = 6 \times 100\,000 \text{ см} = 600\,000 \text{ см}$.
Масштаб составляет 1:600 000.
Ответ: 1 : 600 000

з) Расстояние на местности составляет 10 км. Переведем километры в сантиметры:
$10 \text{ км} = 10 \times 100\,000 \text{ см} = 1\,000\,000 \text{ см}$.
Масштаб составляет 1:1 000 000.
Ответ: 1 : 1 000 000

2.23. Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте, если численный масштаб карты равен:

а) $1:1\,000\,000$;

б) $1:200\,000$;

в) $\frac{1}{5\,000\,000}$.

Для решения задачи необходимо сначала перевести реальное расстояние между городами из километров в сантиметры, так как масштаб карты соотносит единицы измерения на карте с теми же единицами на местности.

В 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 100 сантиметров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\;000 \text{ см}$.

Следовательно, реальное расстояние в 200 км в сантиметрах будет:
$200 \text{ км} = 200 \times 100\;000 \text{ см} = 20\;000\;000 \text{ см}$.

Теперь, зная реальное расстояние в сантиметрах, мы можем найти расстояние на карте для каждого масштаба. Расстояние на карте вычисляется путем деления реального расстояния на знаменатель масштаба.

а)

Масштаб карты 1:1 000 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности.

Расстояние на карте = $ \frac{20\;000\;000 \text{ см}}{1\;000\;000} = 20 \text{ см} $.

Ответ: 20 см.

б)

Масштаб карты 1:200 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 200 000 см на местности.

Расстояние на карте = $ \frac{20\;000\;000 \text{ см}}{200\;000} = 100 \text{ см} $.

Ответ: 100 см.

в)

Масштаб карты $ \frac{1}{5\;000\;000} $, что эквивалентно записи 1:5 000 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности.

Расстояние на карте = $ \frac{20\;000\;000 \text{ см}}{5\;000\;000} = 4 \text{ см} $.

Ответ: 4 см.

2.24. Масштаб карты равен $\frac{1}{50000}$. Определите расстояние на местности, если на карте оно равно:

а) 1 см;

б) 5 см;

в) 22 см;

г) 37 мм;

д) $1\frac{1}{5}$ дм;

е) 146 мм.

Масштаб карты $\frac{1}{50000}$ (или $1:50000$) показывает, что 1 единица длины на карте соответствует $50000$ таким же единицам на местности. Для определения расстояния на местности, необходимо расстояние на карте умножить на $50000$.

а) Расстояние на карте равно $1$ см.
Чтобы найти реальное расстояние, умножим расстояние на карте на знаменатель масштаба:
$1 \text{ см} \times 50000 = 50000 \text{ см}$.
Переведем сантиметры в метры (в 1 м — 100 см) и километры (в 1 км — 1000 м):
$50000 \text{ см} = \frac{50000}{100} \text{ м} = 500 \text{ м}$.
$500 \text{ м} = \frac{500}{1000} \text{ км} = 0.5 \text{ км}$.
Ответ: 500 м или 0.5 км.

б) Расстояние на карте равно $5$ см.
Расстояние на местности:
$5 \text{ см} \times 50000 = 250000 \text{ см}$.
Переведем в километры:
$250000 \text{ см} = \frac{250000}{100} \text{ м} = 2500 \text{ м}$.
$2500 \text{ м} = \frac{2500}{1000} \text{ км} = 2.5 \text{ км}$.
Ответ: 2.5 км.

в) Расстояние на карте равно $22$ см.
Расстояние на местности:
$22 \text{ см} \times 50000 = 1100000 \text{ см}$.
Переведем в километры:
$1100000 \text{ см} = \frac{1100000}{100} \text{ м} = 11000 \text{ м}$.
$11000 \text{ м} = \frac{11000}{1000} \text{ км} = 11 \text{ км}$.
Ответ: 11 км.

г) Расстояние на карте равно $37$ мм.
Расстояние на местности:
$37 \text{ мм} \times 50000 = 1850000 \text{ мм}$.
Переведем миллиметры в метры (в 1 м — 1000 мм) и километры:
$1850000 \text{ мм} = \frac{1850000}{1000} \text{ м} = 1850 \text{ м}$.
$1850 \text{ м} = \frac{1850}{1000} \text{ км} = 1.85 \text{ км}$.
Ответ: 1.85 км.

д) Расстояние на карте равно $1\frac{1}{5}$ дм.
Сначала переведем дециметры в сантиметры (в 1 дм — 10 см):
$1\frac{1}{5} \text{ дм} = 1.2 \text{ дм} = 1.2 \times 10 \text{ см} = 12 \text{ см}$.
Расстояние на местности:
$12 \text{ см} \times 50000 = 600000 \text{ см}$.
Переведем в километры:
$600000 \text{ см} = \frac{600000}{100} \text{ м} = 6000 \text{ м}$.
$6000 \text{ м} = \frac{6000}{1000} \text{ км} = 6 \text{ км}$.
Ответ: 6 км.

е) Расстояние на карте равно $146$ мм.
Расстояние на местности:
$146 \text{ мм} \times 50000 = 7300000 \text{ мм}$.
Переведем в километры:
$7300000 \text{ мм} = \frac{7300000}{1000} \text{ м} = 7300 \text{ м}$.
$7300 \text{ м} = \frac{7300}{1000} \text{ км} = 7.3 \text{ км}$.
Ответ: 7.3 км.

2.25. План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный масштаб плана 1 : 200.

Масштаб плана 1:200 означает, что 1 единица длины на плане соответствует 200 таким же единицам в реальности. Чтобы определить действительные размеры комнаты, необходимо умножить длину и ширину, указанные на плане, на 200.

Определение длины комнаты
Длина комнаты на плане соответствует большей стороне прямоугольника, то есть 40 мм. Вычислим реальную длину:
$40 \text{ мм} \times 200 = 8000 \text{ мм}$
Так как размеры комнат принято измерять в метрах, переведем полученное значение в метры (1 м = 1000 мм):
$8000 \text{ мм} \div 1000 = 8 \text{ м}$
Ответ: 8 м.

Определение ширины комнаты
Ширина комнаты на плане соответствует меньшей стороне прямоугольника, то есть 31 мм. Вычислим реальную ширину:
$31 \text{ мм} \times 200 = 6200 \text{ мм}$
Переведем полученное значение в метры:
$6200 \text{ мм} \div 1000 = 6,2 \text{ м}$
Ответ: 6,2 м.

2.26. Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 340 м, а ширина 220 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1 : 500?

Масштаб плана 1:500 означает, что каждый сантиметр на плане соответствует 500 сантиметрам (или 5 метрам) в реальности. Чтобы найти размеры изображения огорода на плане, нужно его реальные размеры уменьшить в 500 раз.

Для удобства вычислений сначала переведем реальные размеры огорода из метров в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров.

Реальная длина огорода: $L_{реал} = 340 \text{ м} = 340 \times 100 \text{ см} = 34000 \text{ см}$.
Реальная ширина огорода: $W_{реал} = 220 \text{ м} = 220 \times 100 \text{ см} = 22000 \text{ см}$.

Теперь рассчитаем размеры на плане, разделив реальные размеры в сантиметрах на 500.

Длина на плане: $L_{план} = \frac{L_{реал}}{500} = \frac{34000}{500} = 68 \text{ см}$.

Ширина на плане: $W_{план} = \frac{W_{реал}}{500} = \frac{22000}{500} = 44 \text{ см}$.

Таким образом, изображение огорода на плане будет представлять собой прямоугольник с размерами 68 см на 44 см.

Ответ: размеры изображения огорода на плане будут 68 см и 44 см.

2.27. Прямоугольник со сторонами 12 см и 6 см изображает на плане поле, занятое под овёс. Определите масштаб плана, если большая сторона поля имеет длину 360 м. Определите меньшую сторону поля.

Определите масштаб плана

Масштаб плана — это отношение длины отрезка на плане к длине соответствующего отрезка на местности.
Большая сторона прямоугольника на плане равна 12 см, а соответствующая ей большая сторона поля в реальности — 360 м.
Для определения масштаба необходимо привести обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.
$360 \text{ м} = 360 \times 100 \text{ см} = 36000 \text{ см}$
Теперь найдем отношение длины на плане к длине на местности:
Масштаб = $\frac{\text{Длина на плане}}{\text{Длина на местности}} = \frac{12 \text{ см}}{36000 \text{ см}}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{36000} = \frac{1}{3000}$
Таким образом, масштаб плана записывается как 1:3000. Это означает, что 1 см на плане соответствует 3000 см (или 30 м) на местности.
Ответ: масштаб плана 1:3000.

Определите меньшую сторону поля

Меньшая сторона прямоугольника на плане равна 6 см. Зная масштаб плана (1:3000), мы можем определить реальную длину меньшей стороны поля.
Пусть $x$ — длина меньшей стороны поля. Составим пропорцию, используя масштаб:
$\frac{\text{Длина на плане}}{\text{Длина на местности}} = \frac{1}{3000}$
$\frac{6 \text{ см}}{x} = \frac{1}{3000}$
Отсюда находим $x$:
$x = 6 \text{ см} \times 3000 = 18000 \text{ см}$
Переведем полученное значение в метры для лучшего представления:
$18000 \text{ см} = \frac{18000}{100} \text{ м} = 180 \text{ м}$
Ответ: меньшая сторона поля равна 180 м.

2.28. Используя план местности (рис. 18), определите:

а) расстояние от $A$ до $B$;

б) расстояния от $A$ и от $B$ до моста через реку;

в) расстояние от $B$ до смешанного леса.

Для решения этой задачи необходимо использовать план местности (рис. 18), который не предоставлен. Поэтому решение будет содержать общий алгоритм действий и примеры расчетов. Для примера предположим, что численный масштаб плана составляет 1:10 000 (в 1 см на плане 100 м на местности).

а) расстояние от А до В

Чтобы определить расстояние от точки А до точки В, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти на плане точки А и В.
2. С помощью линейки измерить расстояние между этими точками в сантиметрах. Обозначим это расстояние как $d_{АВ}$.
3. Умножить полученное значение на величину масштаба, чтобы перевести расстояние на плане в реальное расстояние на местности. Формула для расчета: $L_{АВ} = d_{АВ} \times 10000$ (в сантиметрах) или $L_{АВ} = d_{АВ} \times 100$ (в метрах).
Пример: Допустим, измеренное на плане расстояние $d_{АВ} = 5.5$ см. Тогда реальное расстояние будет:
$L_{АВ} = 5.5 \text{ см} \times 100 \frac{\text{м}}{\text{см}} = 550 \text{ м}$.
Ответ: Для получения точного ответа необходимо измерить расстояние на плане (рис. 18) и умножить его на масштаб. В нашем примере ответ 550 м.

б) расстояния от А и от В до моста через реку

Алгоритм аналогичен предыдущему пункту, но измерения нужно провести для каждой точки до моста.
1. Найти на плане точки А, В и мост через реку.
2. Измерить линейкой расстояние от точки А до ближайшей точки моста. Обозначим это расстояние $d_{А-мост}$.
3. Рассчитать реальное расстояние от А до моста: $L_{А-мост} = d_{А-мост} \times 100$ (в метрах).
Пример для точки А: Если $d_{А-мост} = 3.2$ см, то $L_{А-мост} = 3.2 \times 100 = 320 \text{ м}$.
4. Аналогично измерить расстояние от точки В до ближайшей точки моста ($d_{В-мост}$).
5. Рассчитать реальное расстояние от В до моста: $L_{В-мост} = d_{В-мост} \times 100$ (в метрах).
Пример для точки В: Если $d_{В-мост} = 4.8$ см, то $L_{В-мост} = 4.8 \times 100 = 480 \text{ м}$.
Ответ: Расстояние от А до моста и от В до моста можно определить, измерив соответствующие отрезки на плане и применив масштаб. В нашем примере расстояния равны 320 м и 480 м соответственно.

в) расстояние от В до смешанного леса

Расстояние от точки до объекта (в данном случае, леса) — это кратчайшее расстояние от этой точки до границы объекта.
1. Найти на плане точку В и область, обозначающую смешанный лес.
2. Определить на границе леса точку, ближайшую к точке В. Расстояние от точки В до этой точки на границе будет перпендикуляром к касательной в этой точке границы.
3. Измерить линейкой это кратчайшее расстояние. Обозначим его $d_{В-лес}$.
4. Рассчитать реальное расстояние на местности: $L_{В-лес} = d_{В-лес} \times 100$ (в метрах).
Пример: Если измеренное кратчайшее расстояние $d_{В-лес} = 2.1$ см, то реальное расстояние будет:
$L_{В-лес} = 2.1 \times 100 = 210 \text{ м}$.
Ответ: Для получения ответа нужно измерить кратчайшее расстояние от точки В до границы смешанного леса на плане и умножить на масштаб. В нашем примере ответ 210 м.