Страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Сейчас папе 43 года, а маме 39 лет. Когда папе было 39 лет, Васе было 7 лет. Сколько лет назад Вася был моложе папы в 9 раз, а мамы в 8 раз?

Для решения задачи сначала определим текущий возраст Васи. Сейчас папе 43 года. Когда ему было 39 лет, прошло $43 - 39 = 4$ года. В тот момент Васе было 7 лет, значит, сейчас его возраст составляет $7 + 4 = 11$ лет.

Теперь нам нужно найти, сколько лет назад (обозначим это время как $x$) возраст папы был в 9 раз больше возраста Васи, а возраст мамы — в 8 раз больше. Запишем возраст каждого члена семьи $x$ лет назад:

• Возраст папы: $43 - x$
• Возраст мамы: $39 - x$
• Возраст Васи: $11 - x$

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1) $43 - x = 9 \cdot (11 - x)$

2) $39 - x = 8 \cdot (11 - x)$

Решим первое уравнение:

$43 - x = 99 - 9x$

$9x - x = 99 - 43$

$8x = 56$

$x = 56 / 8$

$x = 7$

Теперь решим второе уравнение, чтобы убедиться, что оно дает тот же результат:

$39 - x = 88 - 8x$

$8x - x = 88 - 39$

$7x = 49$

$x = 49 / 7$

$x = 7$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, это произошло 7 лет назад.

Проверим: 7 лет назад папе было $43 - 7 = 36$ лет, маме было $39 - 7 = 32$ года, а Васе было $11 - 7 = 4$ года. Соотношения верны: $36 = 9 \cdot 4$ и $32 = 8 \cdot 4$.

Ответ: 7 лет назад.

1.6. У Саши есть папа и дедушка. Папа в 6 раз старше Саши и в 2 раза моложе дедушки. Дедушка на 55 лет старше Саши. Сколько лет Саше?

Для решения задачи введем переменную. Пусть возраст Саши равен $x$ лет.

Исходя из условий задачи, выразим возраст папы и дедушки через $x$.

1. Папа в 6 раз старше Саши. Значит, возраст папы равен $6x$ лет.

2. Папа в 2 раза моложе дедушки. Это означает, что дедушка в 2 раза старше папы. Следовательно, возраст дедушки равен $2 \cdot (6x) = 12x$ лет.

3. Также в условии сказано, что дедушка на 55 лет старше Саши. Это можно записать как $x + 55$ лет.

Теперь у нас есть два выражения для возраста дедушки: $12x$ и $x + 55$. Поскольку они описывают возраст одного и того же человека, мы можем их приравнять и составить уравнение:

$12x = x + 55$

Решим это уравнение. Перенесем $x$ из правой части в левую, изменив знак:

$12x - x = 55$

$11x = 55$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 11:

$x = \frac{55}{11}$

$x = 5$

Таким образом, возраст Саши составляет 5 лет.

Проверка:

• Возраст Саши: 5 лет.
• Возраст папы: $6 \cdot 5 = 30$ лет (в 6 раз старше Саши).
• Возраст дедушки: $2 \cdot 30 = 60$ лет (в 2 раза старше папы).
• Разница в возрасте дедушки и Саши: $60 - 5 = 55$ лет (дедушка на 55 лет старше Саши).

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 5 лет.

1.7. На своём дне рождения Коля дал первому другу $\frac{1}{6}$ часть торта, второму $\frac{1}{5}$ остатка, третьему $\frac{1}{4}$ нового остатка, четвёртому $\frac{1}{3}$ следующего остатка, а последний остаток торта поделил поровну с пятым другом. Кому достался самый большой кусок торта?

Для решения задачи примем весь торт за единицу (1). Затем последовательно рассчитаем, какую часть от всего торта получил каждый участник.

Доля первого друга

Первый друг получил $\frac{1}{6}$ часть от всего торта. Осталось от торта: $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Доля второго друга

Второй друг получил $\frac{1}{5}$ от остатка, то есть $\frac{1}{5}$ от $\frac{5}{6}$. Его часть от всего торта составляет: $\frac{1}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. Новый остаток торта: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Доля третьего друга

Третий друг получил $\frac{1}{4}$ от нового остатка, то есть $\frac{1}{4}$ от $\frac{2}{3}$. Его часть от всего торта составляет: $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Следующий остаток торта: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Доля четвёртого друга

Четвёртый друг получил $\frac{1}{3}$ от следующего остатка, то есть $\frac{1}{3}$ от $\frac{1}{2}$. Его часть от всего торта составляет: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Последний остаток торта: $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Доля пятого друга (и Коли)

Последний остаток, равный $\frac{1}{3}$ торта, Коля разделил поровну с пятым другом. Это означает, что остаток был разделен на 2 равные части. Каждый из них (Коля и пятый друг) получил: $\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ от всего торта.

Сравнение

Сравним доли всех друзей:

• Первый друг: $\frac{1}{6}$
• Второй друг: $\frac{1}{6}$
• Третий друг: $\frac{1}{6}$
• Четвёртый друг: $\frac{1}{6}$
• Пятый друг: $\frac{1}{6}$

Все друзья получили куски одинакового размера. Таким образом, самого большого куска торта нет.

Ответ: Все получили одинаковые куски торта.

1.8. Три пирата делили мешок монет. Первый забрал $ \frac{3}{8} $ всех монет, второй $ \frac{3}{5} $ остатка, после чего третьему осталось на 10 монет меньше, чем получил второй. Сколько монет было в мешке?

Пусть $x$ — общее количество монет, которое было в мешке.

Первый пират забрал $\frac{3}{8}$ всех монет. Его доля составляет $\frac{3}{8}x$.
После этого в мешке осталось $x - \frac{3}{8}x = \frac{5}{8}x$ монет.

Второй пират забрал $\frac{3}{5}$ от остатка. Рассчитаем его долю:
$\frac{3}{5} \cdot (\frac{5}{8}x) = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 8}x = \frac{3}{8}x$.
Таким образом, второй пират тоже получил $\frac{3}{8}x$ монет.

Третьему пирату достались все оставшиеся монеты. Найдем, какая часть монет ему досталась:
$\frac{5}{8}x$ (остаток после первого) - $\frac{3}{8}x$ (доля второго) = $\frac{2}{8}x = \frac{1}{4}x$.

По условию, третьему пирату досталось на 10 монет меньше, чем второму. Составим на основе этого уравнение:
(доля третьего) = (доля второго) - 10
$\frac{1}{4}x = \frac{3}{8}x - 10$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}x = 10$
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{3}{8}x - \frac{2}{8}x = 10$
$\frac{1}{8}x = 10$
$x = 10 \cdot 8$
$x = 80$

Следовательно, изначально в мешке было 80 монет.

Ответ: 80 монет.

1.9. Найдите:
а) самое маленькое;
б) самое большое натуральное число, при делении которого на 123 частное и остаток получаются равными.

Обозначим искомое натуральное число как $N$. Согласно правилу деления с остатком, любое число $N$ можно представить в виде:

$N = d \cdot q + r$

где $d$ — делитель, $q$ — частное, а $r$ — остаток. При этом остаток всегда должен быть меньше делителя: $0 \le r < d$.

В нашей задаче делитель $d = 123$. По условию, частное равно остатку, то есть $q = r$.

Подставим эти условия в формулу:

$N = 123 \cdot q + q$

Упростим выражение:

$N = 124 \cdot q$

Условие $0 \le r < d$ теперь относится к частному $q$:

$0 \le q < 123$

Поскольку мы ищем натуральные числа $N$ (которые начинаются с 1), значение $q$ также должно быть натуральным числом (при $q=0$ получается $N=0$, что не является натуральным числом). Следовательно, возможные целочисленные значения для $q$ лежат в диапазоне от 1 до 122 включительно.

а) самое маленькое

Самое маленькое натуральное число $N$ получится при самом маленьком возможном натуральном значении $q$. Наименьшее возможное значение для $q$ — это 1.

Найдем $N_{min}$:

$N_{min} = 124 \cdot 1 = 124$

При делении 124 на 123 мы получаем частное 1 и остаток 1, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 124

б) самое большое

Самое большое натуральное число $N$ получится при самом большом возможном значении $q$. Так как $q$ должно быть целым числом и $q < 123$, наибольшее возможное значение для $q$ — это 122.

Найдем $N_{max}$:

$N_{max} = 124 \cdot 122 = 15128$

При делении 15128 на 123 мы получаем частное 122 и остаток 122 ($15128 = 123 \cdot 122 + 122$), что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 15128

1.10. Два пешехода вышли одновременно из двух сёл навстречу друг другу. Каждый из них дошёл до противоположного села, развернулся и пошёл обратно. Через сколько часов они встретились во второй раз, если скорость одного пешехода 4 км/ч, скорость другого 5 км/ч, а расстояние между сёлами 9 км?

Для решения этой задачи наиболее удобным является метод, основанный на рассмотрении суммарного расстояния, пройденного обоими пешеходами. Обозначим данные:

• Скорость первого пешехода $v_1 = 4 \text{ км/ч}$.
• Скорость второго пешехода $v_2 = 5 \text{ км/ч}$.
• Расстояние между сёлами $S = 9 \text{ км}$.

1. Найдем общую скорость пешеходов.
Поскольку пешеходы движутся, их общее расстояние, пройденное за единицу времени, равно сумме их скоростей (эту величину также называют скоростью сближения или удаления).
$v_{общ} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Определим суммарное расстояние до второй встречи.

• Для того чтобы пешеходы встретились в первый раз, им нужно вместе преодолеть расстояние, равное $S$.
• После первой встречи они продолжают движение, каждый доходит до противоположного села и поворачивает обратно. Чтобы они встретились во второй раз, им нужно, с момента первой встречи, суммарно пройти расстояние, равное удвоенному расстоянию между сёлами, то есть $2S$.

Таким образом, общее расстояние, которое они пройдут вдвоём с самого начала движения до момента второй встречи, составляет:
$S_{общ} = S + 2S = 3S$.

3. Вычислим общее расстояние и время.
Подставим значение расстояния между сёлами:
$S_{общ} = 3 \times 9 \text{ км} = 27 \text{ км}$.
Теперь найдём время, необходимое для преодоления этого общего расстояния с их общей скоростью:
$t = \frac{S_{общ}}{v_{общ}} = \frac{27 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$.

Ответ: 3 часа.

1.11. Из пункта $A$ одновременно отправились по реке плот и моторная лодка. Скорость течения 2 км/ч, скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч. Лодка первой приплыла в пункт $B$, развернулась и поплыла навстречу плоту. Через сколько часов после начала движения лодка и плот встретились, если расстояние $AB$ равно 24 км?

Для решения задачи определим скорости объектов и проанализируем их движение поэтапно.

Введем обозначения:

• $v_т = 2$ км/ч — скорость течения реки.
• $v_л = 10$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде).
• $S = 24$ км — расстояние между пунктами А и В.

1. Расчет скоростей движения лодки и плота

Скорость плота всегда равна скорости течения реки, так как он движется пассивно:

$v_п = v_т = 2$ км/ч.

Лодка движется из А в В по течению, поэтому ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч.} = v_л + v_т = 10 + 2 = 12$ км/ч.

На обратном пути из В в А лодка движется против течения, и ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч.} = v_л - v_т = 10 - 2 = 8$ км/ч.

2. Расчет времени движения лодки до пункта В

Найдем, сколько времени $t_1$ потребовалось лодке, чтобы доплыть из пункта А в пункт В:

$t_1 = \frac{S}{v_{по\;теч.}} = \frac{24}{12} = 2$ часа.

3. Определение положения плота в момент прибытия лодки в В

За те же 2 часа, что лодка плыла до пункта В, плот также двигался из пункта А. Расстояние $S_п$, которое он проплыл за это время, составляет:

$S_п = v_п \cdot t_1 = 2 \cdot 2 = 4$ км.

Таким образом, в момент, когда лодка достигла пункта В, плот находился на расстоянии 4 км от пункта А.

4. Расчет времени до встречи после разворота лодки

Когда лодка развернулась в пункте В, расстояние между ней и плотом было:

$S_{между} = S - S_п = 24 - 4 = 20$ км.

Теперь лодка и плот движутся навстречу друг другу. Лодка плывет со скоростью $v_{против\;теч.} = 8$ км/ч, а плот — со скоростью $v_п = 2$ км/ч. Их скорость сближения $v_{сбл.}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл.} = v_{против\;теч.} + v_п = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Время $t_2$, через которое они встретятся после разворота лодки, равно:

$t_2 = \frac{S_{между}}{v_{сбл.}} = \frac{20}{10} = 2$ часа.

5. Определение общего времени движения до встречи

Общее время $T$ с момента одновременного старта из пункта А до момента встречи равно сумме времени движения лодки до пункта В ($t_1$) и времени её движения обратно до встречи с плотом ($t_2$):

$T = t_1 + t_2 = 2 + 2 = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.