Номер 1.9, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Занимательные задачи. Глава 1. Повторение - номер 1.9, страница 37.

Условие.

1.9. Найдите:
а) самое маленькое;
б) самое большое натуральное число, при делении которого на 123 частное и остаток получаются равными.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим искомое натуральное число как $N$. Согласно правилу деления с остатком, любое число $N$ можно представить в виде:

$N = d \cdot q + r$

где $d$ — делитель, $q$ — частное, а $r$ — остаток. При этом остаток всегда должен быть меньше делителя: $0 \le r < d$.

В нашей задаче делитель $d = 123$. По условию, частное равно остатку, то есть $q = r$.

Подставим эти условия в формулу:

$N = 123 \cdot q + q$

Упростим выражение:

$N = 124 \cdot q$

Условие $0 \le r < d$ теперь относится к частному $q$:

$0 \le q < 123$

Поскольку мы ищем натуральные числа $N$ (которые начинаются с 1), значение $q$ также должно быть натуральным числом (при $q=0$ получается $N=0$, что не является натуральным числом). Следовательно, возможные целочисленные значения для $q$ лежат в диапазоне от 1 до 122 включительно.

а) самое маленькое

Самое маленькое натуральное число $N$ получится при самом маленьком возможном натуральном значении $q$. Наименьшее возможное значение для $q$ — это 1.

Найдем $N_{min}$:

$N_{min} = 124 \cdot 1 = 124$

При делении 124 на 123 мы получаем частное 1 и остаток 1, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 124

б) самое большое

Самое большое натуральное число $N$ получится при самом большом возможном значении $q$. Так как $q$ должно быть целым числом и $q < 123$, наибольшее возможное значение для $q$ — это 122.

Найдем $N_{max}$:

$N_{max} = 124 \cdot 122 = 15128$

При делении 15128 на 123 мы получаем частное 122 и остаток 122 ($15128 = 123 \cdot 122 + 122$), что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 15128