Номер 1.16, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Занимательные задачи. Глава 1. Повторение - номер 1.16, страница 38.

Условие.

1.16. После того как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем несколько обозначений, чтобы было проще рассуждать об объемах и уровнях. Пусть банка имеет постоянную площадь сечения, тогда объем содержимого прямо пропорционален его уровню (высоте).

Пусть:

• $V_{общ}$ — начальный общий объем компота и персиков.
• $V_{п}$ — начальный объем, занимаемый всеми персиками.
• $V_{к}$ — объем жидкости (сиропа) в компоте.
• $H_1$ — начальный уровень компота в банке.

По условию, когда Наташа съела половину персиков, уровень компота понизился на одну треть. Уровень жидкости в банке понижается ровно на столько, каков объем вынутых из нее тел. Это означает, что объем половины персиков равен одной трети от общего начального объема.

Математически это можно записать так:
Объем съеденных персиков = $\frac{1}{2} V_{п}$
Понижение объема = $\frac{1}{3} V_{общ}$

Следовательно, мы можем установить равенство:

$\frac{1}{2} V_{п} = \frac{1}{3} V_{общ}$

Из этого уравнения мы можем выразить общий объем всех персиков через общий объем содержимого банки:

$V_{п} = 2 \cdot \frac{1}{3} V_{общ} = \frac{2}{3} V_{общ}$

Это означает, что изначально персики занимали $\frac{2}{3}$ от всего объема в банке.

Теперь определим, какой был уровень компота после того, как съели половину персиков. Это "полученный уровень", о котором говорится в вопросе. Обозначим его $H_2$.

$H_2 = H_1 - \frac{1}{3} H_1 = \frac{2}{3} H_1$

Далее Наташа съедает половину оставшихся персиков. Изначально была половина персиков, то есть $\frac{1}{2} V_{п}$. Наташа съедает половину от этого количества:

Объем съеденных на втором этапе персиков = $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} V_{п}) = \frac{1}{4} V_{п}$

Теперь выразим этот объем через начальный общий объем $V_{общ}$, используя найденное ранее соотношение $V_{п} = \frac{2}{3} V_{общ}$:

Объем съеденных на втором этапе персиков = $\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} V_{общ}) = \frac{2}{12} V_{общ} = \frac{1}{6} V_{общ}$

Это означает, что уровень компота понизится на величину, эквивалентную $\frac{1}{6}$ от начального уровня $H_1$. Обозначим это понижение как $\Delta H$.

$\Delta H = \frac{1}{6} H_1$

В вопросе требуется найти, какую часть это понижение составляет от полученного уровня ($H_2$), а не от начального.

Найдем это отношение:

$\frac{\Delta H}{H_2} = \frac{\frac{1}{6} H_1}{\frac{2}{3} H_1}$

$H_1$ в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:

$\frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Таким образом, уровень компота понизится на одну четвертую от нового (полученного) уровня.

Ответ: уровень компота понизится на $\frac{1}{4}$ от полученного уровня.