Номер 1.18, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Занимательные задачи. Глава 1. Повторение - номер 1.18, страница 38.

Условие.

1.18. В соревнованиях по бегу с барьерами на 110 м на финише А опередил Б на 10 м, а Б опередил В на 11 м. На какое расстояние на финише А опередил В (скорость каждого постоянна)?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи воспользуемся понятием отношения скоростей. Поскольку скорости бегунов постоянны, отношение расстояний, пройденных ими за одинаковое время, равно отношению их скоростей.

Пусть $v_А$, $v_Б$ и $v_В$ — скорости бегунов А, Б и В соответственно.

1. Когда бегун А финиширует, он пробегает 110 м. По условию, в этот же момент он опережает бегуна Б на 10 м. Это значит, что за то же самое время бегун Б пробежал $110 - 10 = 100$ м. Следовательно, отношение их скоростей равно:

$\frac{v_А}{v_Б} = \frac{110}{100} = \frac{11}{10}$

2. Когда бегун Б финиширует, он пробегает 110 м. По условию, в этот момент он опережает бегуна В на 11 м. Это значит, что за то же самое время бегун В пробежал $110 - 11 = 99$ м. Отношение их скоростей равно:

$\frac{v_Б}{v_В} = \frac{110}{99} = \frac{10}{9}$

3. Теперь найдем, на каком расстоянии от старта находился бегун В в тот момент, когда бегун А финишировал. Для этого определим отношение скоростей $v_А$ и $v_В$, используя найденные выше соотношения:

$\frac{v_А}{v_В} = \frac{v_А}{v_Б} \cdot \frac{v_Б}{v_В} = \frac{11}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{11}{9}$

Это означает, что за одинаковое время бегун А пробегает в $\frac{11}{9}$ раза большее расстояние, чем бегун В. Когда А финишировал (пробежал 110 м), В за это же время пробежал расстояние $d_В$. Найдем это расстояние из пропорции:

$\frac{110}{d_В} = \frac{v_А}{v_В} = \frac{11}{9}$

Отсюда $d_В = 110 \cdot \frac{9}{11} = 10 \cdot 9 = 90$ м.

Таким образом, когда А пересек финишную черту, В пробежал 90 м. Расстояние, на которое А опередил В, равно разности полной дистанции и расстояния, которое пробежал В:

$110 \text{ м} - 90 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: 20 м.