Страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.12. Аня, Вера и Галя ели конфеты. Аня и Вера съели на 11 конфет больше Гали, а Аня и Галя — на 7 конфет больше Веры. Сколько конфет съела Аня?

Для решения задачи обозначим количество конфет, которое съела каждая девочка, переменными:

• Пусть $А$ — количество конфет, съеденных Аней.
• Пусть $В$ — количество конфет, съеденных Верой.
• Пусть $Г$ — количество конфет, съеденных Галей.

Согласно условию задачи, можно составить систему из двух уравнений:

1. Аня и Вера съели на 11 конфет больше Гали. Математически это выражается как:
$А + В = Г + 11$

2. Аня и Галя съели на 7 конфет больше Веры. Это можно записать как:
$А + Г = В + 7$

Преобразуем оба уравнения, перенеся все переменные в левую часть:

1. $А + В - Г = 11$

2. $А - В + Г = 7$

Теперь сложим левые и правые части этих двух уравнений:

$(А + В - Г) + (А - В + Г) = 11 + 7$

В левой части уравнения переменные $В$ и $Г$ взаимно уничтожаются, так как $В - В = 0$ и $-Г + Г = 0$. Упростим выражение:

$А + А = 18$

$2А = 18$

Чтобы найти значение $А$, разделим обе части уравнения на 2:

$А = \frac{18}{2}$

$А = 9$

Таким образом, Аня съела 9 конфет.

Ответ: 9.

1.13. Мальчик Пат и собачонка

Весят два пустых бочонка.

Собачонка без мальчишки

Весит две больших коврижки.

А с коврижкой поросёнок

Весит — видите — бочонок.

Сколько весит мальчик Пат

Чёрно-пегих поросят?

Для решения этой задачи введем переменные для обозначения веса каждого объекта из стихотворения:

$М$ – вес мальчика Пата,

$С$ – вес собачонки,

$Б$ – вес одного бочонка,

$К$ – вес одной коврижки,

$П$ – вес одного поросёнка.

На основе условий задачи составим систему уравнений:

1. "Мальчик Пат и собачонка Весят два пустых бочонка". Это можно записать как: $М + С = 2Б$.

2. "Собачонка без мальчишки Весит две больших коврижки". Это означает, что вес собачонки равен весу двух коврижек: $С = 2К$.

3. "А с коврижкой поросёнок Весит — видите — бочонок". Это можно записать как: $П + К = Б$.

Вопрос задачи: "Сколько весит мальчик Пат Чёрно-пегих поросят?". Нам нужно найти, скольким поросятам равен вес мальчика, то есть найти отношение $М/П$.

Решим полученную систему уравнений. Сначала подставим значение $С$ из второго уравнения в первое:

$М + (2К) = 2Б$

Теперь в это новое уравнение подставим значение $Б$ из третьего уравнения:

$М + 2К = 2(П + К)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$М + 2К = 2П + 2К$

Теперь вычтем $2К$ из обеих частей уравнения, чтобы найти зависимость между весом мальчика и весом поросёнка:

$М = 2П$

Из полученного равенства следует, что вес мальчика Пата равен весу двух поросят.

Ответ: Мальчик Пат весит столько же, сколько два поросёнка.

1.14. a) Летела стая гусей. На озеро села половина всей стаи и ещё полгуся, остальные 25 гусей полетели дальше. Сколько гусей было в стае?

б) Летела стая уток. На озеро села треть всей стаи и ещё треть утки, остальные 33 утки полетели дальше. Сколько уток было в стае?

в) Летела стая гусей. На первое озеро села четверть всей стаи и ещё четверть гуся, на второе озеро села треть остатка и ещё треть гуся, остальные 49 гусей полетели дальше. Сколько гусей было в стае первоначально?

а)

Пусть $x$ — общее количество гусей в стае. Согласно условию, на озеро села половина всей стаи и ещё полгуся, то есть $(\frac{x}{2} + 0.5)$ гусей. После этого осталось 25 гусей, которые полетели дальше.
Мы можем составить уравнение, приравняв общее количество гусей к сумме севших на озеро и полетевших дальше:
$x = (\frac{x}{2} + 0.5) + 25$
Теперь решим это уравнение:
$x = \frac{x}{2} + 25.5$
$x - \frac{x}{2} = 25.5$
$\frac{x}{2} = 25.5$
$x = 25.5 \times 2 = 51$
Проверим: Если в стае был 51 гусь, то на озеро села половина ($\frac{51}{2} = 25.5$) и еще полгуся ($0.5$), итого $25.5 + 0.5 = 26$ гусей. Осталось $51 - 26 = 25$ гусей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 51 гусь.

б)

Пусть $y$ — общее количество уток в стае. На озеро села треть всей стаи и ещё треть утки, то есть $(\frac{y}{3} + \frac{1}{3})$ уток. Остальные 33 утки полетели дальше.
Составим уравнение:
$y = (\frac{y}{3} + \frac{1}{3}) + 33$
Решим уравнение:
$y - \frac{y}{3} = 33 + \frac{1}{3}$
$\frac{2y}{3} = \frac{99}{3} + \frac{1}{3}$
$\frac{2y}{3} = \frac{100}{3}$
$2y = 100$
$y = 50$
Проверим: Если в стае было 50 уток, то на озеро села треть ($\frac{50}{3}$) и еще треть утки ($\frac{1}{3}$), итого $\frac{50}{3} + \frac{1}{3} = \frac{51}{3} = 17$ уток. Осталось $50 - 17 = 33$ утки, что соответствует условию задачи.

Ответ: 50 уток.

в)

Эту задачу удобнее решать с конца, по действиям.
1. Сначала найдем, сколько гусей было в стае перед тем, как часть из них села на второе озеро. Пусть это количество равно $R$. На второе озеро села треть остатка и ещё треть гуся $(\frac{R}{3} + \frac{1}{3})$, а 49 гусей полетели дальше.
Составим уравнение для этого этапа:
$R = (\frac{R}{3} + \frac{1}{3}) + 49$
$R - \frac{R}{3} = 49 + \frac{1}{3}$
$\frac{2R}{3} = \frac{147+1}{3} = \frac{148}{3}$
$2R = 148 \Rightarrow R = 74$.
Итак, после остановки на первом озере в стае осталось 74 гуся.
2. Теперь найдем первоначальное количество гусей в стае. Пусть их было $X$. На первое озеро села четверть стаи и ещё четверть гуся $(\frac{X}{4} + \frac{1}{4})$, а осталось 74 гуся.
Составим уравнение для первого этапа:
$X = (\frac{X}{4} + \frac{1}{4}) + 74$
$X - \frac{X}{4} = 74 + \frac{1}{4}$
$\frac{3X}{4} = \frac{296+1}{4} = \frac{297}{4}$
$3X = 297 \Rightarrow X = 99$.
Проверим: Изначально было 99 гусей. На первое озеро село $\frac{99}{4} + \frac{1}{4} = \frac{100}{4} = 25$ гусей. Осталось $99-25=74$ гуся. На второе озеро село $\frac{74}{3} + \frac{1}{3} = \frac{75}{3} = 25$ гусей. Осталось $74-25=49$ гусей. Условия задачи выполнены.

Ответ: 99 гусей.

1.15. По тропинке вдоль кустов

Шло одиннадцать хвостов.

Сосчитать я также смог,

Что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда-то

Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: алгебраический (с помощью системы уравнений) или логический (методом подбора или предположения).

Способ 1: Решение через систему уравнений

Обозначим количество петухов за $x$, а количество поросят за $y$.

Из условия задачи мы знаем, что всего было 11 хвостов. Так как у каждого животного по одному хвосту, то общее количество животных равно 11. Составим первое уравнение:
$x + y = 11$

Также мы знаем, что всего было 30 ног. У петуха 2 ноги, а у поросенка — 4. Составим второе уравнение, которое отражает общее количество ног:
$2x + 4y = 30$

Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 11 \\ 2x + 4y = 30 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 11 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$2(11 - y) + 4y = 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$22 - 2y + 4y = 30$
$2y = 30 - 22$
$2y = 8$
$y = 4$

Таким образом, было 4 поросенка. Теперь найдем количество петухов ($x$), подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x = 11 - 4$
$x = 7$

Проверим: 7 петухов и 4 поросенка. Всего $7+4=11$ хвостов. Ног у них будет $7 \times 2 + 4 \times 4 = 14 + 16 = 30$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 7 петухов.

Способ 2: Логический метод (метод предположения)

Всего на тропинке было 11 животных (по количеству хвостов).

Давайте предположим, что все 11 животных были петухами. У каждого петуха по 2 ноги. В этом случае общее количество ног было бы:
$11 \times 2 = 22$ ноги.

Но по условию задачи ног было 30. Найдем разницу между фактическим количеством ног и нашим предположением:
$30 - 22 = 8$ ног.

Эта "лишняя" разница в 8 ног возникла из-за того, что часть животных — это поросята. Каждый поросенок имеет на 2 ноги больше, чем петух ($4 - 2 = 2$).

Чтобы узнать, сколько было поросят, нужно общую разницу в ногах разделить на разницу в ногах между одним поросенком и одним петухом:
$8 \div 2 = 4$ поросенка.

Итак, мы выяснили, что было 4 поросенка. Теперь можем найти количество петухов, вычтя количество поросят из общего числа животных:
$11 - 4 = 7$ петухов.

Ответ: 7 петухов.

1.16. После того как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

Для решения этой задачи введем несколько обозначений, чтобы было проще рассуждать об объемах и уровнях. Пусть банка имеет постоянную площадь сечения, тогда объем содержимого прямо пропорционален его уровню (высоте).

Пусть:

• $V_{общ}$ — начальный общий объем компота и персиков.
• $V_{п}$ — начальный объем, занимаемый всеми персиками.
• $V_{к}$ — объем жидкости (сиропа) в компоте.
• $H_1$ — начальный уровень компота в банке.

По условию, когда Наташа съела половину персиков, уровень компота понизился на одну треть. Уровень жидкости в банке понижается ровно на столько, каков объем вынутых из нее тел. Это означает, что объем половины персиков равен одной трети от общего начального объема.

Математически это можно записать так:
Объем съеденных персиков = $\frac{1}{2} V_{п}$
Понижение объема = $\frac{1}{3} V_{общ}$

Следовательно, мы можем установить равенство:

$\frac{1}{2} V_{п} = \frac{1}{3} V_{общ}$

Из этого уравнения мы можем выразить общий объем всех персиков через общий объем содержимого банки:

$V_{п} = 2 \cdot \frac{1}{3} V_{общ} = \frac{2}{3} V_{общ}$

Это означает, что изначально персики занимали $\frac{2}{3}$ от всего объема в банке.

Теперь определим, какой был уровень компота после того, как съели половину персиков. Это "полученный уровень", о котором говорится в вопросе. Обозначим его $H_2$.

$H_2 = H_1 - \frac{1}{3} H_1 = \frac{2}{3} H_1$

Далее Наташа съедает половину оставшихся персиков. Изначально была половина персиков, то есть $\frac{1}{2} V_{п}$. Наташа съедает половину от этого количества:

Объем съеденных на втором этапе персиков = $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} V_{п}) = \frac{1}{4} V_{п}$

Теперь выразим этот объем через начальный общий объем $V_{общ}$, используя найденное ранее соотношение $V_{п} = \frac{2}{3} V_{общ}$:

Объем съеденных на втором этапе персиков = $\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} V_{общ}) = \frac{2}{12} V_{общ} = \frac{1}{6} V_{общ}$

Это означает, что уровень компота понизится на величину, эквивалентную $\frac{1}{6}$ от начального уровня $H_1$. Обозначим это понижение как $\Delta H$.

$\Delta H = \frac{1}{6} H_1$

В вопросе требуется найти, какую часть это понижение составляет от полученного уровня ($H_2$), а не от начального.

Найдем это отношение:

$\frac{\Delta H}{H_2} = \frac{\frac{1}{6} H_1}{\frac{2}{3} H_1}$

$H_1$ в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:

$\frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Таким образом, уровень компота понизится на одну четвертую от нового (полученного) уровня.

Ответ: уровень компота понизится на $\frac{1}{4}$ от полученного уровня.

1.17. Купец купил в Твери несколько мешков соли и продал их в Москве с прибылью в 100 р. На все вырученные деньги он снова купил в Твери соль (по тверской цене) и продал в Москве (по московской цене). На этот раз прибыль составила 120 р. Сколько денег он потратил на первую покупку?

Для решения этой задачи введем переменные и составим пропорцию.

Пусть $X$ — это сумма денег (в рублях), которую купец потратил на первую покупку соли в Твери.

В результате первой сделки он получил прибыль 100 рублей. Это означает, что он продал соль за $X + 100$ рублей.

На вторую закупку он потратил все вырученные деньги, то есть $X + 100$ рублей. На этот раз прибыль составила 120 рублей.

Ключевым моментом является то, что цены на покупку и продажу соли (тверская и московская) оставались неизменными. Это значит, что процентная наценка (или отношение прибыли к затратам) в обеих сделках была одинаковой.

Отношение прибыли к затратам для первой сделки: $\frac{Прибыль_1}{Затраты_1} = \frac{100}{X}$

Отношение прибыли к затратам для второй сделки: $\frac{Прибыль_2}{Затраты_2} = \frac{120}{X+100}$

Поскольку эти отношения равны, мы можем составить уравнение:

$\frac{100}{X} = \frac{120}{X+100}$

Теперь решим это уравнение. Можно использовать правило пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$100 \cdot (X + 100) = 120 \cdot X$

Раскроем скобки:

$100X + 10000 = 120X$

Перенесем слагаемые с $X$ в одну сторону:

$120X - 100X = 10000$

$20X = 10000$

Найдем $X$:

$X = \frac{10000}{20} = 500$

Таким образом, на первую покупку купец потратил 500 рублей.

Проверим: рентабельность первой сделки $\frac{100}{500} = 0.2$ (или 20%).
Затраты на вторую сделку: $500 + 100 = 600$ рублей.
Прибыль от второй сделки при рентабельности 20%: $600 \cdot 0.2 = 120$ рублей, что соответствует условию задачи.

Ответ: 500 рублей.

1.18. В соревнованиях по бегу с барьерами на 110 м на финише А опередил Б на 10 м, а Б опередил В на 11 м. На какое расстояние на финише А опередил В (скорость каждого постоянна)?

Для решения задачи воспользуемся понятием отношения скоростей. Поскольку скорости бегунов постоянны, отношение расстояний, пройденных ими за одинаковое время, равно отношению их скоростей.

Пусть $v_А$, $v_Б$ и $v_В$ — скорости бегунов А, Б и В соответственно.

1. Когда бегун А финиширует, он пробегает 110 м. По условию, в этот же момент он опережает бегуна Б на 10 м. Это значит, что за то же самое время бегун Б пробежал $110 - 10 = 100$ м. Следовательно, отношение их скоростей равно:

$\frac{v_А}{v_Б} = \frac{110}{100} = \frac{11}{10}$

2. Когда бегун Б финиширует, он пробегает 110 м. По условию, в этот момент он опережает бегуна В на 11 м. Это значит, что за то же самое время бегун В пробежал $110 - 11 = 99$ м. Отношение их скоростей равно:

$\frac{v_Б}{v_В} = \frac{110}{99} = \frac{10}{9}$

3. Теперь найдем, на каком расстоянии от старта находился бегун В в тот момент, когда бегун А финишировал. Для этого определим отношение скоростей $v_А$ и $v_В$, используя найденные выше соотношения:

$\frac{v_А}{v_В} = \frac{v_А}{v_Б} \cdot \frac{v_Б}{v_В} = \frac{11}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{11}{9}$

Это означает, что за одинаковое время бегун А пробегает в $\frac{11}{9}$ раза большее расстояние, чем бегун В. Когда А финишировал (пробежал 110 м), В за это же время пробежал расстояние $d_В$. Найдем это расстояние из пропорции:

$\frac{110}{d_В} = \frac{v_А}{v_В} = \frac{11}{9}$

Отсюда $d_В = 110 \cdot \frac{9}{11} = 10 \cdot 9 = 90$ м.

Таким образом, когда А пересек финишную черту, В пробежал 90 м. Расстояние, на которое А опередил В, равно разности полной дистанции и расстояния, которое пробежал В:

$110 \text{ м} - 90 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: 20 м.