Страница 45 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

ель
бер.

Б

бер.

А

Масштаб 1:10 000

Рис. 18

Сотъ

Ивановка

В

Быково

пар.

Андога

А

Волково

Михалино

Масштаб 1:100 000

Рис. 19

2.29. За сколько часов туристы преодолеют расстояние от А до В (рис. 19), если будут двигаться со скоростью:

а) 5 км/ч;

б) 4 км/ч?

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: измерить расстояние на карте, перевести его в реальное расстояние на местности с помощью масштаба, а затем рассчитать время в пути для каждой скорости.

1. Измерение расстояния на карте.

С помощью линейки измеряем расстояние между точками А и В на карте (рис. 19). Это расстояние составляет приблизительно 4 см.

2. Расчет реального расстояния.

Масштаб карты 1:100 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности. Переведем масштаб в более удобные единицы:

В 1 километре 100 000 сантиметров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 100 000 \text{ см}$).

Следовательно, масштаб 1:100 000 означает, что 1 см на карте равен 1 км на местности.

Теперь можно рассчитать реальное расстояние $S$ между точками А и В:

$S = 4 \text{ см} \times 1 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 4 \text{ км}$.

3. Расчет времени в пути.

Время движения $t$ находится по формуле $t = S / v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

а)

Рассчитаем время для скорости $v = 5$ км/ч.

$t = \frac{4 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 0.8 \text{ ч}$.

Чтобы выразить время в минутах, умножим полученное значение на 60:

$0.8 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 48 \text{ минут}$.

Ответ: 0.8 часа или 48 минут.

б)

Рассчитаем время для скорости $v = 4$ км/ч.

$t = \frac{4 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$.

Ответ: 1 час.

2.30. Начертите план класса в масштабе 1 : 100.

Для того чтобы начертить план класса в масштабе 1:100, необходимо выполнить несколько шагов. Масштаб 1:100 означает, что 1 сантиметр на плане соответствует 100 сантиметрам (то есть 1 метру) в реальной жизни. Это значит, что все реальные размеры нужно уменьшить в 100 раз.

Поскольку размеры реального класса не указаны в задаче, мы возьмем для примера стандартный школьный класс и покажем на его примере весь процесс.

1. Измерение реальных размеров класса.

   С помощью рулетки необходимо измерить длину и ширину комнаты, а также размеры и расположение окон, дверей, доски и другой крупной мебели.

   Предположим, наши измерения дали следующие результаты:

   • Длина класса: 8 метров
   • Ширина класса: 6 метров
   • Ширина двери: 90 сантиметров
   • Ширина окна: 2 метра (200 сантиметров)
2. Пересчет размеров для плана.

   Теперь нужно перевести реальные размеры в размеры для чертежа, используя масштаб 1:100. Для этого каждое значение нужно разделить на 100.

   Длина на плане = $8 \text{ м} \div 100 = 800 \text{ см} \div 100 = 8 \text{ см}$

   Ширина на плане = $6 \text{ м} \div 100 = 600 \text{ см} \div 100 = 6 \text{ см}$

   Ширина двери на плане = $90 \text{ см} \div 100 = 0.9 \text{ см}$

   Ширина окна на плане = $200 \text{ см} \div 100 = 2 \text{ см}$

3. Построение чертежа.

   Вооружившись линейкой и карандашом, можно приступать к чертежу на листе бумаги (удобнее всего использовать миллиметровую или бумагу в клетку).

   1. Начертите прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Это будут внешние контуры стен класса.
   2. Измерьте, на каком расстоянии от угла находится дверь в реальном классе, разделите это расстояние на 100 и отметьте на плане. В этом месте начертите условное обозначение двери шириной 0.9 см.
   3. Аналогично поступите с окнами: измерьте их расположение, пересчитайте в масштабе и нанесите на план условными обозначениями (обычно в виде двух параллельных линий в стене) длиной 2 см.
   4. Таким же образом можно добавить на план доску, стол учителя и ряды парт, предварительно измерив их и пересчитав размеры.
   5. Обязательно подпишите на чертеже его масштаб: 1:100.

Ответ: Чтобы начертить план класса в масштабе 1:100, нужно измерить все реальные размеры (длину, ширину, расположение окон и дверей) в сантиметрах, разделить каждое полученное число на 100 и начертить на бумаге объект с полученными размерами. Например, класс размером 8 на 6 метров на плане будет выглядеть как прямоугольник со сторонами 8 см на 6 см.

2.31. а) Начертите план своей комнаты в масштабе $1 : 50$.

б) Начертите план школьного здания в масштабе $1 : 250$.

а)

Чтобы начертить план своей комнаты в масштабе $1:50$, нужно последовательно выполнить несколько действий. Масштаб $1:50$ означает, что каждый сантиметр на вашем чертеже будет соответствовать 50 сантиметрам в реальной жизни. То есть, все реальные размеры нужно уменьшить в 50 раз.

Шаг 1: Измерение комнаты. С помощью рулетки измерьте длину и ширину комнаты. Для примера, предположим, что длина вашей комнаты составляет 4 метра, а ширина – 3 метра.

Шаг 2: Расчет размеров для плана. Сначала переведем реальные размеры в сантиметры: $4 \text{ м} = 400 \text{ см}$, $3 \text{ м} = 300 \text{ см}$. Теперь разделим эти значения на 50 (значение масштаба):

Длина на плане: $400 \text{ см} \div 50 = 8 \text{ см}$

Ширина на плане: $300 \text{ см} \div 50 = 6 \text{ см}$

Шаг 3: Построение чертежа. На листе бумаги с помощью линейки начертите прямоугольник с полученными размерами: 8 см в длину и 6 см в ширину. Таким же образом можно измерить, рассчитать и нанести на план расположение дверей, окон и мебели. Например, дверь шириной 80 см на плане будет иметь ширину $80 \text{ см} \div 50 = 1.6 \text{ см}$.

Ответ: Для выполнения задания необходимо измерить реальные размеры комнаты, разделить их на 50 и начертить план по полученным размерам. Например, комната размером 4м x 3м на плане в масштабе 1:50 будет иметь размеры 8см x 6см.

б)

Процесс создания плана школьного здания в масштабе $1:250$ аналогичен, но масштаб другой. Масштаб $1:250$ показывает, что 1 см на плане равен 250 см (или 2.5 м) в действительности.

Шаг 1: Измерение здания. Определите внешние размеры здания (длину и ширину). Это можно сделать, например, с помощью длинной рулетки или по плану здания. Предположим, что здание школы имеет прямоугольную форму размером 60 метров на 25 метров.

Шаг 2: Расчет размеров для плана. Переведем метры в сантиметры: $60 \text{ м} = 6000 \text{ см}$, $25 \text{ м} = 2500 \text{ см}$. Теперь рассчитаем размеры для чертежа, разделив реальные размеры на 250:

Длина на плане: $6000 \text{ см} \div 250 = 24 \text{ см}$

Ширина на плане: $2500 \text{ см} \div 250 = 10 \text{ см}$

Шаг 3: Построение чертежа. Начертите прямоугольник размером 24 см на 10 см. Это будет контур здания. Для более детального плана необходимо измерить и начертить в том же масштабе все внутренние помещения: классы, коридоры, спортзал и т.д.

Ответ: Для создания плана школьного здания нужно измерить его реальные габариты, разделить их на 250 и начертить план в соответствии с полученными расчетами. Например, здание размером 60м x 25м на плане в масштабе 1:250 будет иметь размеры 24см x 10см.

2.32. Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб $1 : 50$? Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб 1 : 50?

Для начала переведем реальные размеры здания в сантиметры, чтобы работать в одних единицах измерения.
Длина здания: $L_{реальная} = 50 \text{ м} = 50 \times 100 \text{ см} = 5000 \text{ см}$.
Ширина здания: $W_{реальная} = 20 \text{ м} = 20 \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}$.

Масштаб 1 : 50 означает, что каждый сантиметр на плане соответствует 50 сантиметрам в реальности. Чтобы найти размеры здания на плане, необходимо его реальные размеры разделить на 50.
Длина на плане: $L_{план} = \frac{5000 \text{ см}}{50} = 100 \text{ см}$.
Ширина на плане: $W_{план} = \frac{2000 \text{ см}}{50} = 40 \text{ см}$.

Полученные размеры плана составляют 100 см на 40 см (или 1 метр на 40 см). Стандартная страница школьной тетради имеет размеры примерно 20,5 см на 16,5 см. Поскольку вычисленные размеры плана значительно превышают размеры тетрадной страницы, начертить его невозможно.

Ответ: Нет, нельзя, так как размеры плана (100 см × 40 см) будут намного больше размеров страницы тетради.

Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

Чтобы план поместился на странице, его размеры должны быть меньше размеров страницы. Примем размеры листа тетради с учетом полей примерно 20 см в длину и 16 см в ширину. План здания нужно расположить так, чтобы его большая сторона (50 м) соответствовала большей стороне листа (20 см), а меньшая сторона (20 м) — меньшей стороне листа (16 см).

Пусть искомый масштаб равен 1 : M. Тогда размеры на плане вычисляются делением реальных размеров на M. Составим неравенства:
1. Для длины: $\frac{L_{реальная}}{M} \le L_{страницы}$
$\frac{5000 \text{ см}}{M} \le 20 \text{ см}$
$M \ge \frac{5000}{20} \implies M \ge 250$
2. Для ширины: $\frac{W_{реальная}}{M} \le W_{страницы}$
$\frac{2000 \text{ см}}{M} \le 16 \text{ см}$
$M \ge \frac{2000}{16} \implies M \ge 125$

Чтобы план поместился на странице, должны выполняться оба условия. Следовательно, нужно выбрать масштабный коэффициент M, который удовлетворяет самому строгому ограничению, то есть $M \ge 250$.
Это означает, что нужно использовать масштаб 1 : 250 или любой более мелкий (с большим числом в знаменателе), например, 1 : 300, 1 : 400 или 1 : 500.

Ответ: Следует использовать масштаб 1 : 250 или любой более мелкий масштаб (например, 1 : 300, 1 : 400, 1 : 500).

2.33 На рисунке 20 изображён комар в масштабе 4 : 1.

Определите истинную длину крыла комара.

Для решения этой задачи нужно сначала измерить длину крыла комара, изображенного на рисунке, а затем, используя масштаб, вычислить его реальную длину.

1. Анализ масштаба. Масштаб $4:1$ означает, что изображение на рисунке в 4 раза больше, чем реальный объект. То есть, каждый сантиметр на рисунке соответствует $1/4$ сантиметра в действительности.

2. Измерение длины на рисунке. Поскольку сам рисунок не предоставлен, мы не можем выполнить точное измерение. Предположим, что при измерении линейкой длина крыла на рисунке составила $L_{рисунок} = 2.8$ см (или $28$ мм).

3. Расчет истинной длины. Чтобы найти истинную длину крыла ($L_{истинная}$), нужно разделить длину, измеренную на рисунке, на коэффициент увеличения, то есть на 4.

Используем формулу:

$L_{истинная} = L_{рисунок} \div 4$

Подставляем наше гипотетическое значение:

$L_{истинная} = 2.8 \text{ см} \div 4 = 0.7 \text{ см}$

Переведем результат в миллиметры для большей наглядности:

$0.7 \text{ см} = 7 \text{ мм}$

Чтобы получить точный ответ, вам необходимо самостоятельно измерить длину крыла на вашем рисунке и разделить полученное значение на 4.

Ответ: 7 мм (при условии, что измеренная на рисунке длина крыла составляет 2.8 см).

2.34. Определите, увеличен или уменьшен предмет, если он изображён в масштабе:

а) $1:100$;

б) $10:1$;

в) $1:20$;

г) $4:1$.

Масштаб — это отношение размера объекта на изображении к его реальному размеру. Масштаб записывается в виде $a : b$.

• Если первое число $a$ меньше второго $b$ ($a < b$), это означает, что изображение меньше реального объекта, то есть предмет уменьшен.
• Если первое число $a$ больше второго $b$ ($a > b$), это означает, что изображение больше реального объекта, то есть предмет увеличен.

а) В масштабе $1:100$ первое число (1) меньше второго (100). Это означает, что 1 единица на изображении соответствует 100 единицам в реальности, следовательно, предмет уменьшен.
Ответ: уменьшен.

б) В масштабе $10:1$ первое число (10) больше второго (1). Это означает, что 10 единиц на изображении соответствуют 1 единице в реальности, следовательно, предмет увеличен.
Ответ: увеличен.

в) В масштабе $1:20$ первое число (1) меньше второго (20). Это означает, что 1 единица на изображении соответствует 20 единицам в реальности, следовательно, предмет уменьшен.
Ответ: уменьшен.

г) В масштабе $4:1$ первое число (4) больше второго (1). Это означает, что 4 единицы на изображении соответствуют 1 единице в реальности, следовательно, предмет увеличен.
Ответ: увеличен.

РИС. 20

ПРИДУМЫВАЕМ ЗАДАЧУ

2.35. На материале других школьных предметов придумайте две задачи с использованием масштаба и решите их.

Задача 1 (География)

Расстояние между городами Минск и Киев на карте с масштабом 1:8 500 000 равно 5 см. Найдите реальное расстояние между этими городами в километрах.

Решение:
Масштаб карты 1:8 500 000 означает, что 1 см на карте соответствует 8 500 000 см в действительности.

1. Сначала переведем сантиметры масштаба в километры. Мы знаем, что в 1 километре 100 000 сантиметров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100\,000 \text{ см}$).
Теперь мы можем найти, скольким километрам на местности соответствует 1 см на карте:
$8\,500\,000 \text{ см} / 100\,000 \text{ см/км} = 85 \text{ км}$.

2. Далее найдем реальное расстояние между Минском и Киевом. Для этого необходимо умножить расстояние на карте (5 см) на количество километров в одном сантиметре карты, которое мы вычислили на предыдущем шаге:
$5 \text{ см} \times 85 \text{ км/см} = 425 \text{ км}$.

Ответ: реальное расстояние между Минском и Киевом составляет 425 км.

Задача 2 (Биология)

В учебнике биологии изображение инфузории-туфельки имеет длину 4,5 см. Известно, что для рисунка был использован микроскоп, дающий увеличение в 150 раз (масштаб 150:1). Какова реальная длина инфузории-туфельки в миллиметрах?

Решение:
Масштаб 150:1 (увеличение) означает, что размер объекта на изображении в 150 раз больше его реального размера. Чтобы найти реальный размер, необходимо размер на изображении разделить на коэффициент увеличения.

1. Найдем реальную длину инфузории в сантиметрах, разделив ее длину на изображении на масштаб увеличения:
$4,5 \text{ см} / 150 = 0,03 \text{ см}$.

2. Теперь переведем полученное значение в миллиметры. Мы знаем, что в 1 сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
$0,03 \text{ см} \times 10 \text{ мм/см} = 0,3 \text{ мм}$.

Ответ: реальная длина инфузории-туфельки составляет 0,3 мм.