Страница 50 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.45. Что называют пропорцией? Приведите пример, назовите крайние и средние члены пропорции. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Если отношение числа $a$ к числу $b$ равно отношению числа $c$ к числу $d$, то равенство $a : b = c : d$ или, в виде дробей, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является пропорцией. Это равенство читается: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$». Числа $a, b, c, d$ называют членами пропорции; все они должны быть отличны от нуля.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений.

Рассмотрим пример пропорции: $20 : 5 = 12 : 3$. Это верное равенство, так как значение каждого отношения равно 4 ($20 \div 5 = 4$ и $12 \div 3 = 4$).

В пропорции $a : b = c : d$ члены $a$ и $d$ (первый и четвертый) называются крайними членами, а члены $b$ и $c$ (второй и третий) — средними членами.

В нашем примере ($20 : 5 = 12 : 3$) крайними членами являются числа 20 и 3, а средними членами — числа 5 и 12.

Ответ: Пример пропорции: $20 : 5 = 12 : 3$. Крайние члены: 20 и 3. Средние члены: 5 и 12.

Основное свойство пропорции гласит: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Для пропорции $a : b = c : d$ это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$.

Проверим это свойство на нашем примере $20 : 5 = 12 : 3$:

Произведение крайних членов: $20 \cdot 3 = 60$.

Произведение средних членов: $5 \cdot 12 = 60$.

Поскольку $60 = 60$, равенство верно, что и подтверждает основное свойство пропорции. Это свойство позволяет проверять, является ли равенство двух отношений пропорцией, а также находить неизвестный член пропорции.

Ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

2.46. Запишите в виде пропорции:

а) 2 относится к 3, как 10 относится к 15;

б) $\frac{1}{3}$ относится к 6, как 1 относится к 18;

в) 3 во столько же раз больше 2, во сколько раз 6 больше 4;

г) 7 больше $3\frac{1}{2}$ во столько же раз, во сколько раз 9 больше $\frac{9}{2}$.

а) Выражение "2 относится к 3, как 10 относится к 15" означает, что отношение числа 2 к числу 3 равно отношению числа 10 к числу 15. Запись этого утверждения в виде пропорции выглядит следующим образом:
$2 : 3 = 10 : 15$
Эту пропорцию также можно записать в виде равенства дробей: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.
Для проверки верности пропорции можно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$2 \cdot 15 = 30$
$3 \cdot 10 = 30$
Поскольку $30 = 30$, пропорция верна.
Ответ: $2 : 3 = 10 : 15$.

б) Выражение "$\frac{1}{3}$ относится к 6, как 1 относится к 18" означает, что отношение дроби $\frac{1}{3}$ к числу 6 равно отношению числа 1 к числу 18. Запишем это в виде пропорции:
$\frac{1}{3} : 6 = 1 : 18$
Проверим верность этой пропорции по основному свойству:
Произведение крайних членов: $\frac{1}{3} \cdot 18 = \frac{18}{3} = 6$.
Произведение средних членов: $6 \cdot 1 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, пропорция верна.
Ответ: $\frac{1}{3} : 6 = 1 : 18$.

в) Фраза "3 во столько же раз больше 2, во сколько раз 6 больше 4" означает, что отношение, показывающее во сколько раз 3 больше 2 (то есть $3:2$), равно отношению, показывающему во сколько раз 6 больше 4 (то есть $6:4$). Это равенство отношений и есть пропорция:
$3 : 2 = 6 : 4$
Проверим верность пропорции:
$3 \cdot 4 = 12$
$2 \cdot 6 = 12$
Поскольку $12 = 12$, пропорция верна.
Ответ: $3 : 2 = 6 : 4$.

г) Фраза "7 больше $3\frac{1}{2}$ во столько же раз, во сколько раз 9 больше $\frac{9}{2}$" означает, что отношение 7 к $3\frac{1}{2}$ равно отношению 9 к $\frac{9}{2}$. Запишем это в виде пропорции:
$7 : 3\frac{1}{2} = 9 : \frac{9}{2}$
Для проверки преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.
Пропорция примет вид: $7 : \frac{7}{2} = 9 : \frac{9}{2}$.
Проверим верность пропорции по основному свойству:
Произведение крайних членов: $7 \cdot \frac{9}{2} = \frac{63}{2}$.
Произведение средних членов: $\frac{7}{2} \cdot 9 = \frac{63}{2}$.
Поскольку произведения равны, пропорция верна.
Ответ: $7 : 3\frac{1}{2} = 9 : \frac{9}{2}$.

2.47. Можно ли составить пропорцию из отношений:

а) $6:3$ и $24:12$;

б) $1:5$ и $17:85$;

в) $2:5$ и $10:4$;

г) $20:8$ и $35:14$;

д) $120:50$ и $25:60$;

е) $120:50$ и $60:25$;

ж) $48:36$ и $4:3$;

з) $48:36$ и $20:15$?

Верно ли равенство (2.48–2.50):

Пропорция – это равенство двух отношений. Чтобы определить, можно ли составить пропорцию из предложенных отношений, необходимо проверить, равны ли они. Если отношения равны, то пропорцию составить можно, в противном случае – нельзя.

а) 6 : 3 и 24 : 12

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $6 : 3 = \frac{6}{3} = 2$.

Значение второго отношения: $24 : 12 = \frac{24}{12} = 2$.

Поскольку $2 = 2$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

б) 1 : 5 и 17 : 85

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $1 : 5 = \frac{1}{5}$.

Значение второго отношения: $17 : 85 = \frac{17}{85}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 17: $\frac{17 \div 17}{85 \div 17} = \frac{1}{5}$.

Поскольку $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

в) 2 : 5 и 10 : 4

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $2 : 5 = \frac{2}{5} = 0,4$.

Значение второго отношения: $10 : 4 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Поскольку $0,4 \neq 2,5$, отношения не равны, следовательно, из них нельзя составить пропорцию.

Ответ: нет.

г) 20 : 8 и 35 : 14

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $20 : 8 = \frac{20}{8}$. Сократим дробь на 4: $\frac{20 \div 4}{8 \div 4} = \frac{5}{2}$.

Значение второго отношения: $35 : 14 = \frac{35}{14}$. Сократим дробь на 7: $\frac{35 \div 7}{14 \div 7} = \frac{5}{2}$.

Поскольку $\frac{5}{2} = \frac{5}{2}$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

д) 120 : 50 и 25 : 60

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $120 : 50 = \frac{120}{50} = \frac{12}{5}$.

Значение второго отношения: $25 : 60 = \frac{25}{60}$. Сократим дробь на 5: $\frac{25 \div 5}{60 \div 5} = \frac{5}{12}$.

Поскольку $\frac{12}{5} \neq \frac{5}{12}$, отношения не равны, следовательно, из них нельзя составить пропорцию.

Ответ: нет.

е) 120 : 50 и 60 : 25

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $120 : 50 = \frac{120}{50} = \frac{12}{5}$.

Значение второго отношения: $60 : 25 = \frac{60}{25}$. Сократим дробь на 5: $\frac{60 \div 5}{25 \div 5} = \frac{12}{5}$.

Поскольку $\frac{12}{5} = \frac{12}{5}$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

ж) 48 : 36 и 4 : 3

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $48 : 36 = \frac{48}{36}$. Сократим дробь на 12: $\frac{48 \div 12}{36 \div 12} = \frac{4}{3}$.

Значение второго отношения: $4 : 3 = \frac{4}{3}$.

Поскольку $\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

з) 48 : 36 и 20 : 15

Проверим, равны ли значения данных отношений.

Значение первого отношения: $48 : 36 = \frac{48}{36}$. Сократим дробь на 12: $\frac{48 \div 12}{36 \div 12} = \frac{4}{3}$.

Значение второго отношения: $20 : 15 = \frac{20}{15}$. Сократим дробь на 5: $\frac{20 \div 5}{15 \div 5} = \frac{4}{3}$.

Поскольку $\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$, отношения равны, следовательно, из них можно составить пропорцию.

Ответ: да.

2.48. a) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$;

б) $7 : 5 = \frac{77}{55}$;

B) $\frac{12}{18} = 14 : 21?$

а) Чтобы проверить, верно ли равенство $ \frac{3}{4} = \frac{15}{20} $, можно использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение) или сократить одну из дробей.
1. Перекрестное умножение: Произведение крайних членов пропорции должно быть равно произведению средних членов. Проверим, выполняется ли равенство $ 3 \times 20 = 4 \times 15 $.
$ 3 \times 20 = 60 $
$ 4 \times 15 = 60 $
Поскольку $ 60 = 60 $, равенство является верным.
2. Сокращение дроби: Сократим дробь $ \frac{15}{20} $. Наибольший общий делитель для 15 и 20 - это 5.
$ \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} $
Так как мы получили $ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $, равенство верно.
Ответ: да, равенство верное.

б) Чтобы проверить, верно ли равенство $ 7 : 5 = \frac{77}{55} $, представим обе части в виде дробей. Отношение $ 7 : 5 $ — это дробь $ \frac{7}{5} $. Таким образом, нам нужно проверить, верно ли $ \frac{7}{5} = \frac{77}{55} $.
Сократим дробь $ \frac{77}{55} $. Наибольший общий делитель для 77 и 55 - это 11.
$ \frac{77 \div 11}{55 \div 11} = \frac{7}{5} $
Поскольку обе части равенства равны $ \frac{7}{5} $, исходное равенство верно.
Можно также проверить с помощью перекрестного умножения: $ 7 \times 55 = 385 $ и $ 5 \times 77 = 385 $. Результаты равны, значит, равенство верное.
Ответ: да, равенство верное.

в) Чтобы ответить на вопрос, верно ли равенство $ \frac{12}{18} = 14 : 21 $, приведем обе части к простейшему виду.
Отношение $ 14 : 21 $ можно записать в виде дроби $ \frac{14}{21} $. Итак, вопрос в том, верно ли $ \frac{12}{18} = \frac{14}{21} $.
Сократим первую дробь, $ \frac{12}{18} $. Наибольший общий делитель для 12 и 18 - это 6.
$ \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} $
Теперь сократим вторую дробь, $ \frac{14}{21} $. Наибольший общий делитель для 14 и 21 - это 7.
$ \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3} $
Поскольку обе дроби сокращаются до $ \frac{2}{3} $, равенство является верным.
Ответ: да, равенство верное.

2.49. а) $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = 10 : 12;$

Б) $\frac{3}{7} : \frac{4}{9} = 27 : 28;$

В) $\frac{4}{11} : \frac{5}{6} = 48 : 110;$

Г) $\frac{1}{2} : \frac{2}{3} = 4 : 3?$`

Для проверки верности равенств необходимо вычислить отношение в левой части и сравнить его с отношением в правой части. Отношение двух чисел $a:b$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь: $ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $.

Проверим равенство $ \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = 10 : 12 $.

1. Вычислим левую часть:

$ \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} $

2. Правая часть равна $ 10 : 12 $, что можно записать как дробь $ \frac{10}{12} $.

3. Сравниваем результаты: $ \frac{10}{12} = \frac{10}{12} $.

Равенство верно.

Ответ: равенство верное.

Проверим равенство $ \frac{3}{7} : \frac{4}{9} = 27 : 28 $.

1. Вычислим левую часть:

$ \frac{3}{7} : \frac{4}{9} = \frac{3}{7} \times \frac{9}{4} = \frac{3 \times 9}{7 \times 4} = \frac{27}{28} $

2. Правая часть равна $ 27 : 28 $, что можно записать как дробь $ \frac{27}{28} $.

3. Сравниваем результаты: $ \frac{27}{28} = \frac{27}{28} $.

Равенство верно.

Ответ: равенство верное.

Проверим равенство $ \frac{4}{11} : \frac{5}{6} = 48 : 110 $.

1. Вычислим левую часть:

$ \frac{4}{11} : \frac{5}{6} = \frac{4}{11} \times \frac{6}{5} = \frac{4 \times 6}{11 \times 5} = \frac{24}{55} $

2. Преобразуем правую часть. Запишем отношение в виде дроби и сократим ее:

$ 48 : 110 = \frac{48}{110} = \frac{48 \div 2}{110 \div 2} = \frac{24}{55} $

3. Сравниваем результаты: $ \frac{24}{55} = \frac{24}{55} $.

Равенство верно.

Ответ: равенство верное.

Проверим равенство $ \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = 4 : 3 $.

1. Вычислим левую часть:

$ \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} $

2. Правая часть равна $ 4 : 3 $, что можно записать как дробь $ \frac{4}{3} $.

3. Сравниваем результаты: $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{4}{3} $.

Поскольку $ \frac{3}{4} \neq \frac{4}{3} $, равенство неверно.

Ответ: равенство неверное.