Номер 2.70, страница 55 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.5. Прямая и обратная пропорциональность. Глава 2. Отношения, пропорции, проценты - номер 2.70, страница 55.

Условие.

2.70. Какова зависимость между:

a) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;
Эти две величины находятся в прямой пропорциональной зависимости. Чем больше одинаковых тракторов будет работать, тем большую площадь они смогут вспахать за один и тот же промежуток времени (один день).
Обозначим количество тракторов как $N$, а площадь, которую они вспашут, как $S$. Пусть производительность одного трактора (площадь, которую он вспахивает за день) равна $p$. Тогда зависимость можно выразить формулой: $S = N \cdot p$.
Поскольку $p$ — постоянная величина, то при увеличении $N$ в несколько раз, $S$ увеличится во столько же раз. Например, если 2 трактора вспахивают 10 га в день, то 4 таких же трактора вспашут $4 \cdot (10/2) = 20$ га в день.
Ответ: Прямая пропорциональность.

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;
Эти величины также находятся в прямой пропорциональной зависимости. Чем дольше будет работать один трактор, тем большую площадь он вспашет.
Обозначим число дней работы как $d$, а вспаханную площадь как $S$. Пусть производительность трактора равна $p$ (площадь в день). Тогда зависимость выражается формулой: $S = d \cdot p$.
Так как производительность $p$ трактора постоянна, то при увеличении времени работы $d$ в несколько раз, вспаханная площадь $S$ увеличится во столько же раз. Например, если за 3 дня трактор вспахал 15 га, то за 6 дней он вспашет $6 \cdot (15/3) = 30$ га.
Ответ: Прямая пропорциональность.

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?
В этом случае зависимость является обратной пропорциональностью. Площадь поля — это постоянная величина (объем работы). Чем больше тракторов будет выполнять эту работу, тем меньше времени (дней) им на это потребуется.
Обозначим количество тракторов как $N$, а число дней как $d$. Пусть общая площадь поля равна $S_{total}$ (константа), а производительность одного трактора — $p$. Общий объем работы равен произведению общей производительности $(N \cdot p)$ на время $(d)$: $S_{total} = (N \cdot p) \cdot d$.
Отсюда можно выразить зависимость между $N$ и $d$: $N \cdot d = S_{total} / p$.
Поскольку $S_{total}$ и $p$ — постоянные величины, их частное тоже является константой. Таким образом, произведение количества тракторов на количество дней является постоянной величиной: $N \cdot d = const$. Это и есть определение обратной пропорциональности. Если увеличить количество тракторов в несколько раз, то время на вспашку того же поля уменьшится во столько же раз. Например, если 2 трактора вспахивают поле за 10 дней, то 4 трактора справятся за $10 / 2 = 5$ дней.
Ответ: Обратная пропорциональность.