Страница 60 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.94. Что называют процентом?

Процентом (от латинского выражения per centum, что означает «на сотню») называют одну сотую часть ($ \frac{1}{100} $) любой величины, принимаемой за целое. Проценты обозначаются знаком «%». Использование процентов позволяет легко сравнивать части целого между собой, даже если сами целые имеют разные величины.

Например, если мы говорим, что 50% учеников класса — девочки, это значит, что половина ($ \frac{50}{100} = \frac{1}{2} $) всех учеников — девочки.

Чтобы выразить число в процентах, его нужно умножить на 100. Чтобы перевести проценты в число (десятичную дробь), нужно разделить количество процентов на 100.

• Перевод дроби в проценты: $0.25 = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$
• Перевод процентов в дробь: $40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Для нахождения процента от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту. Например, найдем 15% от 300:
$300 \cdot \frac{15}{100} = 300 \cdot 0.15 = 45$

Ответ: Процентом называют одну сотую долю числа или величины.

2.95. Как найти несколько процентов числа?

Чтобы найти несколько процентов от числа, существует несколько способов. Рассмотрим самые распространенные из них.

Способ 1: Через десятичную дробь

Этот способ основан на том, что процент — это сотая часть числа ($1\% = \frac{1}{100} = 0.01$).

1. Сначала нужно представить проценты в виде десятичной дроби. Для этого число процентов делят на 100. Например, $p\%$ это $\frac{p}{100}$.
2. Затем нужно умножить исходное число на полученную десятичную дробь.

Пример: Найти 30% от числа 200.

1. Переведем 30% в десятичную дробь: $30 \div 100 = 0.3$.

2. Умножим число 200 на эту дробь: $200 \cdot 0.3 = 60$.

Значит, 30% от 200 равно 60.

Ответ: Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделить на 100) и умножить исходное число на полученную дробь.

Способ 2: Через нахождение 1%

Этот метод очень похож на предыдущий, но расчеты выполняются пошагово.

1. Найти, чему равен один процент (1%) от заданного числа. Для этого нужно разделить число на 100.
2. Умножить полученное значение на искомое количество процентов.

Пример: Найти 15% от числа 400.

1. Найдем 1% от 400: $400 \div 100 = 4$.

2. Теперь умножим значение одного процента на 15: $4 \cdot 15 = 60$.

Значит, 15% от 400 равно 60.

Ответ: Чтобы найти несколько процентов от числа, можно разделить это число на 100 (чтобы найти 1%) и затем умножить результат на искомое количество процентов.

Способ 3: Метод пропорции

Этот метод универсален и помогает решать многие задачи с процентами. Исходное число всегда принимается за 100%.

1. Составить пропорцию, где исходное число соответствует 100%, а искомое число ($x$) — заданному проценту.
2. Решить пропорцию и найти $x$.

Пример: Найти 25% от числа 160.

1. Составим пропорцию:
число 160 — это 100%
число $x$ — это 25%

2. Запишем это в виде математической пропорции: $\frac{160}{100} = \frac{x}{25}$.

3. Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, нужно перемножить известные члены по диагонали и разделить на оставшийся член: $x = \frac{160 \cdot 25}{100}$.

4. Выполним вычисления: $x = \frac{4000}{100} = 40$.

Значит, 25% от 160 равно 40.

Ответ: Чтобы найти процент от числа методом пропорции, нужно исходное число умножить на искомое количество процентов и результат разделить на 100.

2.96 Запишите проценты в виде дроби: $\frac{1}{100}$, $\frac{5}{100}$, $\frac{70}{100}$, $\frac{100}{100}$, $\frac{120}{100}$, $\frac{150}{100}$, $\frac{200}{100}$, $\frac{1020}{100}$.

Чтобы записать проценты в виде дроби, нужно убрать знак процента (%) и разделить число на 100. Полученную дробь следует сократить, если это возможно.

1 %
Для 1% получаем дробь:
$1 \% = \frac{1}{100}$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{1}{100}$

5 %
$5 \% = \frac{5}{100}$
Сократим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:
$\frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20}$
Ответ: $\frac{1}{20}$

70 %
$70 \% = \frac{70}{100}$
Сократим дробь на 10:
$\frac{70 \div 10}{100 \div 10} = \frac{7}{10}$
Ответ: $\frac{7}{10}$

100 %
$100 \% = \frac{100}{100} = 1$
Ответ: $1$

120 %
$120 \% = \frac{120}{100}$
Сократим дробь на 20:
$\frac{120 \div 20}{100 \div 20} = \frac{6}{5}$
Ответ: $\frac{6}{5}$

150 %
$150 \% = \frac{150}{100}$
Сократим дробь на 50:
$\frac{150 \div 50}{100 \div 50} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$

200 %
$200 \% = \frac{200}{100} = 2$
Ответ: $2$

1020 %
$1020 \% = \frac{1020}{100}$
Сократим дробь на 20:
$\frac{1020 \div 20}{100 \div 20} = \frac{51}{5}$
Ответ: $\frac{51}{5}$

2.97. Прочитайте предложение, запишите число процентов в виде дроби, прочитайте полученное предложение:

а) Число 25 составляет 25 % от 100.

б) Число 20 составляет 50 % от 40.

в) Число 500 увеличили на 10 % и получили 550.

а)

Исходное предложение: "Число 25 составляет 25 % от 100."

Чтобы записать проценты в виде дроби, необходимо число процентов разделить на 100. Для 25 % получаем:

$25\% = \frac{25}{100}$

Эту дробь можно сократить на 25:

$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим полученную дробь в исходное предложение:

"Число 25 составляет $\frac{1}{4}$ от 100."

Это предложение читается так: "Число двадцать пять составляет одну четвертую от ста."

Ответ: Число 25 составляет $\frac{1}{4}$ от 100.

б)

Исходное предложение: "Число 20 составляет 50 % от 40."

Запишем 50 % в виде дроби, разделив 50 на 100:

$50\% = \frac{50}{100}$

Сократим полученную дробь на 50:

$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

Подставим дробь в предложение:

"Число 20 составляет $\frac{1}{2}$ от 40."

Это предложение читается так: "Число двадцать составляет одну вторую от сорока."

Ответ: Число 20 составляет $\frac{1}{2}$ от 40.

в)

Исходное предложение: "Число 500 увеличили на 10 % и получили 550."

Запишем 10 % в виде дроби:

$10\% = \frac{10}{100}$

Сократим дробь на 10:

$\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

Подставим дробь в исходное предложение:

"Число 500 увеличили на $\frac{1}{10}$ и получили 550."

Это предложение читается так: "Число пятьсот увеличили на одну десятую и получили пятьсот пятьдесят."

Ответ: Число 500 увеличили на $\frac{1}{10}$ и получили 550.

2.98. Запишите дроби в виде процентов:

а) $\frac{1}{100}$, $\frac{3}{100}$, $\frac{5}{100}$, $\frac{10}{100}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{20}$;

б) $\frac{1}{50}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $2$, $1\frac{15}{100}$.

Чтобы записать дробь в виде процентов, необходимо умножить эту дробь на 100%. Один процент — это одна сотая часть числа ($1\% = \frac{1}{100}$).

а)

$ \frac{1}{100} = \frac{1}{100} \cdot 100\% = 1\% $
$ \frac{3}{100} = \frac{3}{100} \cdot 100\% = 3\% $
$ \frac{5}{100} = \frac{5}{100} \cdot 100\% = 5\% $
$ \frac{10}{100} = \frac{10}{100} \cdot 100\% = 10\% $
$ \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \cdot 100\% = \frac{100}{10}\% = 10\% $
$ \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \cdot 100\% = \frac{100}{20}\% = 5\% $
Ответ: 1%, 3%, 5%, 10%, 10%, 5%.

б)

$ \frac{1}{50} = \frac{1}{50} \cdot 100\% = \frac{100}{50}\% = 2\% $
$ \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \cdot 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\% $
$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 100\% = \frac{100}{2}\% = 50\% $
$ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\% $
$ 2 = 2 \cdot 100\% = 200\% $
$ 1\frac{15}{100} = \frac{1 \cdot 100 + 15}{100} = \frac{115}{100} = \frac{115}{100} \cdot 100\% = 115\% $
Ответ: 2%, 20%, 50%, 25%, 200%, 115%.

? 2.99. В начале XX века в России из каждых 100 человек, занятых в хозяйстве, 9 человек работали в промышленности, 75 работали в сельском хозяйстве, 9 человек работали в торговле. Выразите в процентах долю работников, занятых в промышленности, сельском хозяйстве и в торговле, от общего числа занятых в хозяйстве.

Для решения задачи необходимо найти, какую часть (долю) составляют работники каждой отрасли от общего числа занятых в хозяйстве, и выразить эту долю в процентах. Общее число занятых в хозяйстве, согласно условию, — 100 человек. Эту величину мы принимаем за 100%.

Общая формула для расчета процентной доли:

$ \text{Доля} (\%) = \frac{\text{Количество работников в отрасли}}{\text{Общее количество работников}} \times 100\% $

2.100. Найдите 1 % от:

a) 1 метра;

б) 1 центнера;

в) 1 килограмма.

Чтобы найти один процент (1%) от какой-либо величины, необходимо эту величину разделить на 100, так как 1% — это одна сотая часть ($1/100$) от целого.

а) 1 метра
Для удобства вычислений переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Теперь найдем 1% от 100 сантиметров, разделив это значение на 100.
$100 \text{ см} \div 100 = 1 \text{ см}$
Ответ: 1 см.

б) 1 центнера
Переведем центнеры в килограммы. В одном центнере 100 килограммов.
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$
Теперь найдем 1% от 100 килограммов, разделив это значение на 100.
$100 \text{ кг} \div 100 = 1 \text{ кг}$
Ответ: 1 кг.

в) 1 килограмма
Переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Теперь найдем 1% от 1000 граммов, разделив это значение на 100.
$1000 \text{ г} \div 100 = 10 \text{ г}$
Ответ: 10 г.

2.101. Найдите $5\%$, $17\%$, $23\%$ от:

а) 1 метра;

б) 1 центнера;

в) 1 килограмма.

Чтобы найти процент от некоторой величины, нужно эту величину умножить на дробь, соответствующую проценту. Для этого сначала переведем проценты в десятичные дроби:

5% = $5 / 100 = 0,05$

17% = $17 / 100 = 0,17$

23% = $23 / 100 = 0,23$

а) 1 метра

Для удобства вычислений переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

Найдем 5% от 1 метра:
$100 \text{ см} \cdot 0,05 = 5 \text{ см}$

Найдем 17% от 1 метра:
$100 \text{ см} \cdot 0,17 = 17 \text{ см}$

Найдем 23% от 1 метра:
$100 \text{ см} \cdot 0,23 = 23 \text{ см}$

Ответ: 5 см, 17 см, 23 см.

б) 1 центнера

Переведем центнеры в килограммы. В одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

Найдем 5% от 1 центнера:
$100 \text{ кг} \cdot 0,05 = 5 \text{ кг}$

Найдем 17% от 1 центнера:
$100 \text{ кг} \cdot 0,17 = 17 \text{ кг}$

Найдем 23% от 1 центнера:
$100 \text{ кг} \cdot 0,23 = 23 \text{ кг}$

Ответ: 5 кг, 17 кг, 23 кг.

в) 1 килограмма

Переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

Найдем 5% от 1 килограмма:
$1000 \text{ г} \cdot 0,05 = 50 \text{ г}$

Найдем 17% от 1 килограмма:
$1000 \text{ г} \cdot 0,17 = 170 \text{ г}$

Найдем 23% от 1 килограмма:
$1000 \text{ г} \cdot 0,23 = 230 \text{ г}$

Ответ: 50 г, 170 г, 230 г.

2.102. Найдите:

а) $1\%$ от 100;
б) $1\%$ от 300;
в) $5\%$ от 40;
г) $7\%$ от 200;
д) $20\%$ от 15;
е) $25\%$ от 48;
ж) $100\%$ от 49;
з) $120\%$ от 250;
и) $200\%$ от 300.

Чтобы найти процент от числа, необходимо это число умножить на дробь, соответствующую данному проценту (то есть на количество процентов, деленное на 100).

а) 1% от 100. Умножаем 100 на $\frac{1}{100}$:
$100 \cdot \frac{1}{100} = 1$.
Ответ: 1

б) 1% от 300. Умножаем 300 на $\frac{1}{100}$:
$300 \cdot \frac{1}{100} = 3$.
Ответ: 3

в) 5% от 40. Умножаем 40 на $\frac{5}{100}$:
$40 \cdot \frac{5}{100} = \frac{200}{100} = 2$.
Ответ: 2

г) 7% от 200. Умножаем 200 на $\frac{7}{100}$:
$200 \cdot \frac{7}{100} = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14

д) 20% от 15. Умножаем 15 на $\frac{20}{100}$:
$15 \cdot \frac{20}{100} = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3$.
Ответ: 3

е) 25% от 48. Умножаем 48 на $\frac{25}{100}$:
$48 \cdot \frac{25}{100} = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$.
Ответ: 12

ж) 100% от 49. Умножаем 49 на $\frac{100}{100}$:
$49 \cdot \frac{100}{100} = 49 \cdot 1 = 49$.
Ответ: 49

з) 120% от 250. Умножаем 250 на $\frac{120}{100}$:
$250 \cdot \frac{120}{100} = 250 \cdot 1,2 = 300$.
Ответ: 300

и) 200% от 300. Умножаем 300 на $\frac{200}{100}$:
$300 \cdot \frac{200}{100} = 300 \cdot 2 = 600$.
Ответ: 600

2.103 Служащий вложил 5000 р. в акции своего предприятия и получил 20 % дохода. Сколько рублей дохода он получил?

Чтобы найти сумму дохода, которую получил служащий, нужно рассчитать 20% от вложенной им суммы в 5000 рублей.

Для этого можно сначала перевести проценты в десятичную дробь, разделив их на 100:

$20\% = \frac{20}{100} = 0.2$

Затем умножим вложенную сумму на полученную десятичную дробь, чтобы найти величину дохода:

$5000 \cdot 0.2 = 1000$ (рублей)

Таким образом, доход служащего составил 1000 рублей.

Ответ: 1000 рублей.

2.104. Какую часть числа составляют его:

а) $1\%$;

б) $5\%$;

в) $10\%$;

г) $20\%$;

д) $25\%$;

е) $50\%$;

ж) $75\%$;

з) $100\%$?

а) Чтобы найти, какую часть числа составляет 1%, нужно представить проценты в виде дроби. По определению, процент — это сотая часть числа ($1\% = \frac{1}{100}$). Следовательно, 1% — это одна сотая часть числа.
$1\% = \frac{1}{100}$.
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{1}{100}$.

б) Чтобы найти, какую часть числа составляют 5%, нужно представить проценты в виде дроби. Для этого разделим число процентов на 100:
$5\% = \frac{5}{100}$.
Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя (5) и знаменателя (100) — это 5.
$\frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$.

в) Чтобы найти, какую часть числа составляют 10%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$10\% = \frac{10}{100}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:
$\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

г) Чтобы найти, какую часть числа составляют 20%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$20\% = \frac{20}{100}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 20:
$\frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

д) Чтобы найти, какую часть числа составляют 25%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$25\% = \frac{25}{100}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:
$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

е) Чтобы найти, какую часть числа составляют 50%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$50\% = \frac{50}{100}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 50:
$\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

ж) Чтобы найти, какую часть числа составляют 75%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$75\% = \frac{75}{100}$.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 75 и 100 — это 25.
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

з) Чтобы найти, какую часть числа составляют 100%, нужно представить проценты в виде дроби, разделив число процентов на 100:
$100\% = \frac{100}{100}$.
Любое число, деленное само на себя, равно 1.
$\frac{100}{100} = 1$.
Таким образом, 100% — это всё число целиком.
Ответ: $1$.

2.105. Вычислите:

а) $50\%$ от $400$;

б) $10\%$ от $20$;

в) $25\%$ от $16$;

г) $75\%$ от $8$.

а) Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на процент, выраженный в виде дроби. 50% — это дробь $\frac{50}{100}$ или, после сокращения, $\frac{1}{2}$. В виде десятичной дроби это 0,5.

Умножим число 400 на 0,5:

$400 \cdot 0,5 = 200$

Ответ: 200

б) Представим 10% в виде десятичной дроби: 10% = $\frac{10}{100} = 0,1$.

Теперь умножим число 20 на эту дробь:

$20 \cdot 0,1 = 2$

Ответ: 2

в) Представим 25% в виде обыкновенной дроби: 25% = $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Теперь умножим число 16 на эту дробь:

$16 \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Ответ: 4

г) Представим 75% в виде обыкновенной дроби: 75% = $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Теперь умножим число 8 на эту дробь:

$8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Ответ: 6

2.106. Из сахарной свёклы получают сахар, масса которого составляет 18 % массы свёклы. Сколько сахара получится при переработке:

а) 40 т свёклы;

б) 30 т свёклы;

в) 500 т свёклы?

По условию задачи, масса получаемого сахара составляет 18% от массы перерабатываемой сахарной свёклы. Чтобы найти, сколько сахара получится в каждом случае, необходимо найти 18% от указанной массы свёклы.

Для этого сначала переведём проценты в десятичную дробь:

$18\% = \frac{18}{100} = 0,18$

Теперь мы можем вычислить массу сахара для каждого случая, умножив массу свёклы на эту дробь.

а) Сколько сахара получится при переработке 40 т свёклы?

Умножим массу свёклы на 0,18:

$40 \text{ т} \times 0,18 = 7,2 \text{ т}$

Ответ: 7,2 т сахара.

б) Сколько сахара получится при переработке 30 т свёклы?

Умножим массу свёклы на 0,18:

$30 \text{ т} \times 0,18 = 5,4 \text{ т}$

Ответ: 5,4 т сахара.

в) Сколько сахара получится при переработке 500 т свёклы?

Умножим массу свёклы на 0,18:

$500 \text{ т} \times 0,18 = 90 \text{ т}$

Ответ: 90 т сахара.