Страница 64 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.124. Масса сушёных груш составляет $20\%$ массы свежих. Сколько килограммов сушёных груш получится из 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?

Сколько килограммов сушёных груш получится из 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих?

По условию, масса сушёных груш составляет 20% от массы свежих. Чтобы найти 20% от числа, необходимо это число умножить на соответствующую десятичную дробь.

Переведём проценты в десятичную дробь:
$20\% = \frac{20}{100} = 0,2$.

Теперь рассчитаем массу сушёных груш для каждого случая:

1. Из 100 кг свежих груш получится:
$100 \text{ кг} \cdot 0,2 = 20 \text{ кг}$.

2. Из 350 кг свежих груш получится:
$350 \text{ кг} \cdot 0,2 = 70 \text{ кг}$.

3. Из 25 кг свежих груш получится:
$25 \text{ кг} \cdot 0,2 = 5 \text{ кг}$.

Ответ: 20 кг, 70 кг и 5 кг.

Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?

Примем массу свежих груш за 100%. Масса сушёных груш, согласно условию, составляет 20% от массы свежих. Потеря массы при сушке — это разница между массой свежих груш и массой сушёных груш.

Чтобы найти потерю в процентах, вычтем из 100% процент, который остаётся после сушки:
$100\% - 20\% = 80\%$.

Таким образом, при сушке теряется 80% массы свежих груш.

Ответ: 80%.

2.125. Виноград при сушке теряет 70 % своей массы. Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 100 кг; 250 кг; 80 кг свежего винограда?

По условию задачи, виноград при сушке теряет 70% своей массы. Это означает, что масса получившегося изюма (сушёного винограда) составляет оставшуюся часть от первоначальной массы свежего винограда.

Сначала вычислим, какой процент массы остаётся после сушки:
$100\% - 70\% = 30\%$

Таким образом, масса изюма составляет 30% от массы свежего винограда. Чтобы найти массу изюма, нужно массу свежего винограда умножить на 30%, то есть на 0,3.

100 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 100 кг свежего винограда:
$100 \text{ кг} \times 0,3 = 30 \text{ кг}$
Ответ: 30 кг.

250 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 250 кг свежего винограда:
$250 \text{ кг} \times 0,3 = 75 \text{ кг}$
Ответ: 75 кг.

80 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 80 кг свежего винограда:
$80 \text{ кг} \times 0,3 = 24 \text{ кг}$
Ответ: 24 кг.

2.126. Припой содержит 40 % олова, 2 % сурьмы, остальную часть составляет свинец. Сколько граммов олова, свинца и сурьмы в 300 г припоя?

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти массу каждого компонента в 300 граммах припоя. Сначала определим процентное содержание свинца.

Общая масса сплава принимается за 100%. Известно, что припой содержит 40% олова и 2% сурьмы. Тогда процентное содержание свинца составляет:
$100\% - 40\% - 2\% = 58\%$

Теперь, зная процентное содержание всех компонентов, можно рассчитать их массу в 300 г припоя.

Олово
Масса олова составляет 40% от общей массы припоя.
$300 \text{ г} \cdot \frac{40}{100} = 300 \cdot 0,4 = 120 \text{ г}$
Ответ: масса олова в припое составляет 120 г.

Сурьма
Масса сурьмы составляет 2% от общей массы припоя.
$300 \text{ г} \cdot \frac{2}{100} = 300 \cdot 0,02 = 6 \text{ г}$
Ответ: масса сурьмы в припое составляет 6 г.

Свинец
Масса свинца составляет 58% от общей массы припоя.
$300 \text{ г} \cdot \frac{58}{100} = 300 \cdot 0,58 = 174 \text{ г}$
Ответ: масса свинца в припое составляет 174 г.

2.127. Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60 % сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену?

По условию задачи, 24 обточенные детали составляют 60% от всей сменной нормы. Нам необходимо найти общее количество деталей, которое соответствует 100% нормы.

Пусть $x$ – это общее количество деталей, которое токарь должен обточить за смену (сменная норма).

Мы можем найти значение 1% от нормы. Если 60% – это 24 детали, то 1% будет в 60 раз меньше:

$1\% = \frac{24 \text{ детали}}{60} = 0.4$ детали.

Теперь, зная сколько деталей составляет 1%, мы можем найти, сколько деталей составляют 100% (вся сменная норма), умножив значение 1% на 100:

$x = 100\% = 0.4 \cdot 100 = 40$ деталей.

Другой способ — составить пропорцию:

24 детали — это 60%
$x$ деталей — это 100%

Отсюда: $\frac{24}{x} = \frac{60}{100}$.
Выразим $x$: $x = \frac{24 \cdot 100}{60} = \frac{2400}{60} = 40$ деталей.

Таким образом, токарь должен обточить за смену 40 деталей.

Ответ: 40 деталей.

2.128. а) Туристы прошли $75 \%$ маршрута, и им осталось пройти ещё $5 \text{ км}$. Какова длина всего маршрута?

б) Туристы прошли $5 \%$ маршрута, и им осталось пройти ещё $19 \text{ км}$. Какова длина всего маршрута?

а)

Примем всю длину маршрута за 100%. Туристы прошли 75% маршрута.
Найдем, какая часть маршрута в процентах им осталась:
$100\% - 75\% = 25\%$
Из условия известно, что оставшийся путь равен 5 км. Следовательно, 25% от всего маршрута составляют 5 км.
Пусть $x$ – это длина всего маршрута в километрах. Составим пропорцию, чтобы найти целое (100%) по его части (25%):
5 км — 25%
$x$ км — 100%
Выразим $x$ из пропорции:
$x = \frac{5 \cdot 100}{25} = 5 \cdot 4 = 20$ км.
Таким образом, длина всего маршрута составляет 20 км.
Ответ: 20 км.

б)

Примем всю длину маршрута за 100%. Туристы прошли 5% маршрута.
Найдем, какая часть маршрута в процентах им осталась:
$100\% - 5\% = 95\%$
Из условия известно, что оставшийся путь равен 19 км. Следовательно, 95% от всего маршрута составляют 19 км.
Пусть $y$ – это длина всего маршрута в километрах. Составим пропорцию:
19 км — 95%
$y$ км — 100%
Выразим $y$ из пропорции:
$y = \frac{19 \cdot 100}{95}$
Сократим дробь, зная, что $95 = 5 \cdot 19$:
$y = \frac{19 \cdot 100}{19 \cdot 5} = \frac{100}{5} = 20$ км.
Таким образом, длина всего маршрута составляет 20 км.
Ответ: 20 км.

2.129. Что больше:

а) $\frac{30}{100} \times 40$ или $\frac{40}{100} \times 30$;

б) $\frac{80}{100} \times 60$ или $\frac{60}{100} \times 70$?

а)

Чтобы сравнить два значения, нужно их вычислить. Для нахождения процента от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь (разделить на 100) и умножить на это число.

Вычислим 30% от 40:

$30\% \text{ от } 40 = \frac{30}{100} \cdot 40 = 0,3 \cdot 40 = 12$

Вычислим 40% от 30:

$40\% \text{ от } 30 = \frac{40}{100} \cdot 30 = 0,4 \cdot 30 = 12$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $12 = 12$.

Это пример общего правила: $a\%$ от числа $b$ всегда равны $b\%$ от числа $a$, так как $\frac{a}{100} \cdot b = \frac{b}{100} \cdot a$ в силу переместительного свойства умножения.

Ответ: эти величины равны.

б)

Аналогично предыдущему пункту, вычислим оба значения.

Вычислим 80% от 60:

$80\% \text{ от } 60 = \frac{80}{100} \cdot 60 = 0,8 \cdot 60 = 48$

Вычислим 60% от 70:

$60\% \text{ от } 70 = \frac{60}{100} \cdot 70 = 0,6 \cdot 70 = 42$

Сравним полученные результаты: $48 > 42$.

Следовательно, 80% от 60 больше, чем 60% от 70.

Ответ: 80% от 60 больше.

?2.130. Определите без вычислений, что больше:

a) 12 % от 34 или 13 % от 34;

б) 12 % от 49 или 12 % от 50.

а) В этом сравнении базовое число одинаково в обоих случаях — 34. Сравниваются разные процентные доли от этого числа. Процент выражает часть от целого, поэтому чем больше процент, тем больше и сама часть. Так как $13\% > 12\%$, то и 13% от 34 будет больше, чем 12% от 34.
Ответ: 13% от 34 больше, чем 12% от 34.

б) В этом сравнении берется одинаковый процент — 12%, но от разных чисел: 49 и 50. Если брать одинаковую долю (процент) от разных чисел, то большее значение получится от большего числа. Поскольку $50 > 49$, то и 12% от 50 будет больше, чем 12% от 49.
Ответ: 12% от 50 больше, чем 12% от 49.

2.131. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена?

Чтобы найти, на сколько рублей повысилась цена, необходимо вычислить 20% от первоначальной стоимости товара, которая составляет 500 рублей.

Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Через десятичную дробь

Сначала переведем проценты в десятичную дробь. Для этого нужно разделить количество процентов на 100:

$20\% = \frac{20}{100} = 0.2$

Теперь умножим первоначальную стоимость товара на полученную десятичную дробь, чтобы найти сумму повышения:

$500 \cdot 0.2 = 100$ рублей.

Способ 2: Через пропорцию

Примем первоначальную стоимость (500 рублей) за 100%. Сумма, на которую повысилась цена, обозначим как $x$ рублей, что составляет 20% от начальной стоимости. Составим пропорцию:

$500 \text{ рублей} — 100\%$

$x \text{ рублей} — 20\%$

Из этой пропорции можно составить уравнение:

$\frac{500}{100} = \frac{x}{20}$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{500 \cdot 20}{100} = \frac{10000}{100} = 100$ рублей.

Оба способа показывают, что цена товара повысилась на 100 рублей.

Ответ: 100 рублей.

2.132. У Алёши 80 марок, у Бори на 20 % больше, чем у Алёши. У Вовы на 25 % меньше, чем у Алёши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

Для решения этой задачи необходимо поочередно рассчитать количество марок у Бори и у Вовы, используя за основу количество марок у Алёши (80 штук).

Количество марок у Бори

У Бори на 20% марок больше, чем у Алёши. Сначала найдём, сколько марок составляют эти 20%. Для этого умножим количество марок Алёши на 20% (или 0,2).

$80 \cdot \frac{20}{100} = 80 \cdot 0.2 = 16$ марок.

Теперь, чтобы найти общее количество марок у Бори, прибавим полученное значение к количеству марок Алёши:

$80 + 16 = 96$ марок.

Ответ: у Бори 96 марок.

Количество марок у Вовы

У Вовы на 25% марок меньше, чем у Алёши. Сначала найдём, сколько марок составляют 25% от 80.

$80 \cdot \frac{25}{100} = 80 \cdot 0.25 = 20$ марок.

Теперь, чтобы найти общее количество марок у Вовы, вычтем полученное значение из количества марок Алёши:

$80 - 20 = 60$ марок.

Ответ: у Вовы 60 марок.

2.133. Увеличьте число:

а) 60 на 10 %;

б) 80 на 25 %;

в) 40 на 50 %;

г) 425 на 4 %.

Чтобы увеличить число на определенный процент, нужно сначала найти значение этого процента от исходного числа, а затем прибавить полученный результат к исходному числу.

а) Увеличим число 60 на 10%.

Сначала найдем 10% от 60. Для этого представим проценты в виде десятичной дроби и умножим на число:

$10\% = \frac{10}{100} = 0.1$

$60 \times 0.1 = 6$

Теперь прибавим полученное значение к исходному числу:

$60 + 6 = 66$

Ответ: 66

б) Увеличим число 80 на 25%.

Сначала найдем 25% от 80. 25% – это одна четвертая часть числа.

$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

$80 \times \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$

Теперь прибавим найденное значение к 80:

$80 + 20 = 100$

Ответ: 100

в) Увеличим число 40 на 50%.

Сначала найдем 50% от 40. 50% – это половина числа.

$50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

$40 \times \frac{1}{2} = 20$

Теперь прибавим полученное значение к исходному числу:

$40 + 20 = 60$

Ответ: 60

г) Увеличим число 425 на 4%.

Сначала найдем 4% от 425.

$4\% = \frac{4}{100} = 0.04$

$425 \times 0.04 = 17$

Теперь прибавим найденное значение к 425:

$425 + 17 = 442$

Ответ: 442

2.134. Уменьшите число:

а) 60 на $10\%$;

б) 80 на $25\%$;

в) 90 на $50\%$;

г) 125 на $20\%$.

а) Чтобы уменьшить число 60 на 10%, нужно сначала найти, сколько составляет 10% от 60, а затем вычесть полученное значение из 60.

1. Найдем 10% от 60. Для этого представим проценты в виде десятичной дроби и умножим на число:

$10\% = \frac{10}{100} = 0.1$

$60 \cdot 0.1 = 6$

2. Теперь уменьшим число 60 на найденное значение:

$60 - 6 = 54$

Можно решить и другим способом. Если число уменьшается на 10%, то от него остается $100\% - 10\% = 90\%$. Найдем 90% от 60:

$60 \cdot \frac{90}{100} = 60 \cdot 0.9 = 54$

Ответ: 54

б) Чтобы уменьшить число 80 на 25%, найдем 25% от 80 и вычтем результат.

1. Найдем 25% от 80. Заметим, что 25% это одна четвертая часть числа.

$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$

$80 \cdot 0.25 = 20$

2. Уменьшим 80 на 20:

$80 - 20 = 60$

Альтернативный способ: после уменьшения на 25% останется $100\% - 25\% = 75\%$ от исходного числа. Найдем 75% от 80:

$80 \cdot \frac{75}{100} = 80 \cdot 0.75 = 60$

Ответ: 60

в) Чтобы уменьшить число 90 на 50%, нужно найти его половину, так как 50% - это половина.

1. Найдем 50% от 90.

$50\% = \frac{50}{100} = 0.5$

$90 \cdot 0.5 = 45$

2. Уменьшим 90 на 45:

$90 - 45 = 45$

Так как мы уменьшаем число на 50%, то и остается от него 50%, что мы и нашли в первом действии.

Ответ: 45

г) Чтобы уменьшить число 125 на 20%, найдем 20% от 125 и вычтем полученное значение.

1. Найдем 20% от 125. 20% - это одна пятая часть числа.

$20\% = \frac{20}{100} = 0.2$

$125 \cdot 0.2 = 25$

2. Уменьшим 125 на 25:

$125 - 25 = 100$

Альтернативный способ: после уменьшения на 20% останется $100\% - 20\% = 80\%$ от исходного числа. Найдем 80% от 125:

$125 \cdot \frac{80}{100} = 125 \cdot 0.8 = 100$

Ответ: 100

2.135. a) Увеличьте число 80 на 20%; 30%; 65%; 80%.

б) Уменьшите число 60 на 15%; 20%; 25%; 75%.

а) Чтобы увеличить число на определенный процент, нужно исходное число умножить на коэффициент, равный $1$ плюс процент, выраженный десятичной дробью.

• Увеличим число 80 на 20%.

  Коэффициент увеличения: $1 + \frac{20}{100} = 1 + 0.2 = 1.2$.

  Новое число: $80 \cdot 1.2 = 96$.

• Увеличим число 80 на 30%.

  Коэффициент увеличения: $1 + \frac{30}{100} = 1 + 0.3 = 1.3$.

  Новое число: $80 \cdot 1.3 = 104$.

• Увеличим число 80 на 65%.

  Коэффициент увеличения: $1 + \frac{65}{100} = 1 + 0.65 = 1.65$.

  Новое число: $80 \cdot 1.65 = 132$.

• Увеличим число 80 на 80%.

  Коэффициент увеличения: $1 + \frac{80}{100} = 1 + 0.8 = 1.8$.

  Новое число: $80 \cdot 1.8 = 144$.

Ответ: 96; 104; 132; 144.

б) Чтобы уменьшить число на определенный процент, нужно исходное число умножить на коэффициент, равный $1$ минус процент, выраженный десятичной дробью.

• Уменьшим число 60 на 15%.

  Коэффициент уменьшения: $1 - \frac{15}{100} = 1 - 0.15 = 0.85$.

  Новое число: $60 \cdot 0.85 = 51$.

• Уменьшим число 60 на 20%.

  Коэффициент уменьшения: $1 - \frac{20}{100} = 1 - 0.2 = 0.8$.

  Новое число: $60 \cdot 0.8 = 48$.

• Уменьшим число 60 на 25%.

  Коэффициент уменьшения: $1 - \frac{25}{100} = 1 - 0.25 = 0.75$.

  Новое число: $60 \cdot 0.75 = 45$.

• Уменьшим число 60 на 75%.

  Коэффициент уменьшения: $1 - \frac{75}{100} = 1 - 0.75 = 0.25$.

  Новое число: $60 \cdot 0.25 = 15$.

Ответ: 51; 48; 45; 15.