Страница 69 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.147. Сколько двузначных чисел можно записать с использованием цифр 9, 8, 7:

а) без повторения цифр;

б) с повторением цифр?

Для составления двузначных чисел из предложенных цифр {9, 8, 7} необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из двух позиций в числе (десятки и единицы) в зависимости от условия.

а) без повторения цифр

Двузначное число состоит из двух цифр. Нам нужно выбрать и расставить две разные цифры из трех данных.
На место десятков можно поставить любую из трех цифр (9, 8 или 7). Таким образом, есть 3 варианта.
После того как мы выбрали цифру для десятков, на место единиц можно поставить любую из двух оставшихся цифр (так как цифры не должны повторяться). Таким образом, есть 2 варианта.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$3 \times 2 = 6$.
Это задача на размещения без повторений, и ее можно решить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=3$ (количество доступных цифр) и $k=2$ (количество позиций в числе):
$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.
Возможные числа: 98, 97, 89, 87, 79, 78.
Ответ: 6

б) с повторением цифр

В этом случае цифры в двузначном числе могут быть одинаковыми.
На место десятков можно поставить любую из трех цифр (9, 8 или 7). Есть 3 варианта.
Поскольку повторение разрешено, на место единиц также можно поставить любую из трех цифр. Есть 3 варианта.
Общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:
$3 \times 3 = 9$.
Это задача на размещения с повторениями, и ее можно решить по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=3$ и $k=2$:
$\bar{A}_3^2 = 3^2 = 9$.
Возможные числа: 99, 98, 97, 89, 88, 87, 79, 78, 77.
Ответ: 9

2.148. Сколько двузначных чисел можно записать с использованием цифр 0, 2, 4, 6:

а) без повторения цифр;

б) с повторением цифр?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторное правило умножения. Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. Нам даны цифры 0, 2, 4, 6.

а) без повторения цифр;
1. На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из данных цифр, кроме 0, так как число не может начинаться с нуля. Значит, у нас есть 3 варианта: 2, 4 или 6.
2. На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из оставшихся цифр. Так как одна цифра уже использована для десятков, а цифры не должны повторяться, у нас остаётся 3 варианта. Например, если первой цифрой была 2, то для второй остаются 0, 4, 6. Если первой была 4, то остаются 0, 2, 6. В любом случае, для второй цифры есть 3 варианта.
3. Чтобы найти общее количество двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9

б) с повторением цифр?
1. На место первой цифры (десятки) по-прежнему можно поставить любую цифру, кроме 0. У нас 3 варианта: 2, 4 или 6.
2. На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из четырёх данных цифр (0, 2, 4, 6), так как повторение разрешено. Значит, для второй цифры у нас есть 4 варианта.
3. Чтобы найти общее количество двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $3 \times 4 = 12$.
Ответ: 12

2.149. Четыре подружки купили 4 билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

Эта задача решается с помощью понятия перестановок из комбинаторики. Нам нужно найти количество способов, которыми можно расположить 4 человека на 4 местах. Порядок, в котором подруги сядут, важен, поэтому мы имеем дело именно с перестановками.

Рассмотрим процесс рассаживания поочередно:
1. На первое место может сесть любая из четырех подруг. Таким образом, есть 4 варианта выбора.
2. После того как одна подруга заняла свое место, на второе место может сесть любая из оставшихся трех. Следовательно, есть 3 варианта.
3. На третье место могут претендовать две оставшиеся подруги, то есть есть 2 варианта.
4. На последнее, четвертое, место сядет последняя оставшаяся подруга, что дает нам только 1 вариант.

Чтобы найти общее число различных способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого места (согласно правилу умножения в комбинаторике):
$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Это вычисление соответствует нахождению факториала числа 4. Число всех возможных перестановок из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле:
$P_n = n!$
Для нашего случая, где $n=4$:
$P_4 = 4! = 24$

Таким образом, существует 24 различных способа, которыми подруги могут занять свои места.

Ответ: 24.

2.150. Сколько двухзначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 без повторения?

Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — нахождения числа размещений без повторений. Общее количество доступных цифр $n=5$ (цифры 1, 2, 3, 4, 5). Формула для числа размещений $k$ элементов из $n$ имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Также можно использовать правило произведения.

двузначных:
Для составления двузначного числа ($k=2$) нужно выбрать первую и вторую цифры. На место первой цифры можно поставить любую из 5 данных цифр. Так как цифры не должны повторяться, на место второй цифры можно поставить любую из оставшихся 4 цифр. По правилу произведения, общее число способов равно:
$5 \times 4 = 20$
Используя формулу размещений:
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$.
Ответ: 20

трёхзначных:
Для составления трёхзначного числа ($k=3$) на первое место можно выбрать одну из 5 цифр, на второе — одну из 4 оставшихся, а на третье — одну из 3 оставшихся. Общее число способов:
$5 \times 4 \times 3 = 60$
Используя формулу размещений:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.
Ответ: 60

четырёхзначных:
Для составления четырёхзначного числа ($k=4$) рассуждаем аналогично. Количество вариантов для каждой позиции: 5, 4, 3 и 2. Общее число способов:
$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$
Используя формулу размещений:
$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 120$.
Ответ: 120

2.151. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 с повторением?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. У нас есть множество из 5 цифр: {1, 2, 3, 4, 5}. Так как по условию цифры в числах могут повторяться, для каждой позиции в числе мы можем выбрать любую из 5 доступных цифр.

двузначных

Двузначное число состоит из двух позиций (разрядов): десятков и единиц. На первую позицию (десятки) можно выбрать любую из 5 цифр. На вторую позицию (единицы) также можно выбрать любую из 5 цифр. Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$5 \times 5 = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

трёхзначных

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. На каждую из этих трёх позиций можно поставить любую из 5 доступных цифр. Общее количество возможных трёхзначных чисел равно:
$5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.

Ответ: 125

четырёхзначных

Четырёхзначное число состоит из четырёх позиций. По аналогии с предыдущими случаями, на каждую из четырёх позиций можно выбрать любую из 5 цифр. Общее количество возможных четырёхзначных чисел равно:
$5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

Ответ: 625

2.152. а) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?

б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54312?

в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счёту в этом списке будет число 54231?

а)

Все четырехзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, представляют собой перестановки этих четырех цифр. Числа занумерованы в порядке возрастания, что соответствует лексикографическому порядку. Чтобы найти номер числа 4312, нужно посчитать, сколько чисел в этом списке меньше него.

1. Сначала посчитаем количество чисел, которые начинаются с цифры, меньшей 4. Это цифры 1, 2, 3.
- Чисел, начинающихся с 1: оставшиеся 3 цифры (2, 3, 4) можно расположить на трех последних позициях $3!$ способами. $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- Чисел, начинающихся с 2: аналогично, $3! = 6$.
- Чисел, начинающихся с 3: аналогично, $3! = 6$.
Всего чисел, меньших 4000, равно $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$.

2. Теперь рассмотрим числа, начинающиеся с 4. Нам нужно найти место числа 4312. Посчитаем, сколько чисел, начинающихся с 4, меньше чем 4312.
- Числа, начинающиеся с 41: оставшиеся 2 цифры (2, 3) можно расположить $2! = 2$ способами.
- Числа, начинающиеся с 42: оставшиеся 2 цифры (1, 3) можно расположить $2! = 2$ способами.
Всего таких чисел $2 + 2 = 4$.

3. Следующими в списке идут числа, начинающиеся с 43. Оставшиеся цифры — 1 и 2. В порядке возрастания сначала идет число с меньшей следующей цифрой, то есть 4312, а за ним 4321. Наше число 4312 — первое в этой группе.

Общее количество чисел, которые меньше 4312, равно сумме чисел из пунктов 1 и 2: $18 + 4 = 22$.
Поскольку перед числом 4312 находится 22 числа, само оно будет иметь номер $22 + 1 = 23$.

Ответ: 23.

б)

Аналогично пункту а), найдем номер пятизначного числа 54312, составленного из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Для этого посчитаем количество чисел, которые меньше 54312.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5 (т.е. 1, 2, 3, 4).
Для каждой из этих 4-х цифр оставшиеся 4 цифры можно переставить $4! = 24$ способами.
Количество таких чисел: $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$.

2. Числа, начинающиеся с 5, но с второй цифрой, меньшей 4 (т.е. 1, 2, 3).
Для каждой из этих 3-х цифр (1, 2, 3) оставшиеся 3 цифры можно переставить $3! = 6$ способами.
Количество таких чисел: $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$.

3. Числа, начинающиеся с 54, но с третьей цифрой, меньшей 3 (т.е. 1, 2).
Для каждой из этих 2-х цифр (1, 2) оставшиеся 2 цифры можно переставить $2! = 2$ способами.
Количество таких чисел: $2 \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

4. Следующими идут числа, начинающиеся с 543. Оставшиеся цифры — 1 и 2. В порядке возрастания они образуют числа 54312 и 54321. Искомое число 54312 является первым в этой паре.

Общее количество чисел, меньших 54312, равно: $96 + 18 + 4 = 118$.
Значит, число 54312 имеет номер $118 + 1 = 119$.

Ответ: 119.

в)

Эта задача содержит два вопроса.

1. Сколько чисел в этом списке?
Список состоит из всех возможных пятизначных чисел, которые можно составить из пяти различных цифр (1, 2, 3, 4, 5) без повторения. Это количество перестановок из 5 элементов.
Общее количество чисел равно $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

2. Каким по счёту в этом списке будет число 54231?
Чтобы найти порядковый номер числа 54231, посчитаем, сколько чисел меньше него.
- Числа, у которых первая цифра меньше 5 (1, 2, 3, 4): $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 5, у которых вторая цифра меньше 4 (1, 2, 3): $3 \times 3! = 3 \times 6 = 18$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 54, у которых третья цифра меньше 2 (только 1): $1 \times 2! = 1 \times 2 = 2$ числа.
- Числа, начинающиеся с 542. Оставшиеся цифры — 1 и 3. В порядке возрастания они образуют числа 54213 и 54231. Перед числом 54231 стоит только одно число: 54213.

Суммарное количество чисел, меньших 54231, равно: $96 + 18 + 2 + 1 = 117$.
Следовательно, число 54231 находится на $117 + 1 = 118$-м месте в списке.

Ответ: всего в списке 120 чисел; число 54231 будет 118-м по счёту.

2.153. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:

а) четырёх детей;

б) трёх детей;

в) двух детей?

Поскольку стулья являются различными физическими объектами, каждое место за столом уникально. Поэтому, несмотря на то что стол круглый, мы решаем задачу о размещениях (permutations), так как важен не только порядок детей относительно друг друга, но и то, на каком конкретно стуле сидит каждый ребёнок.

Нужно рассадить 4 детей на 4 стула. Так как все дети и все стулья различны, количество способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов.Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев.Второго — на любой из 3 оставшихся.Третьего — на любой из 2 оставшихся.Четвёртого — на последний свободный стул.Общее число способов равно произведению этих вариантов. Это вычисляется по формуле числа перестановок $P_n = n!$.Для $n=4$:$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24.

Нужно рассадить 3 детей на 4 стула. Это задача нахождения числа размещений из 4 элементов (стульев) по 3 (детям). Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.В нашем случае $n=4$ и $k=3$:$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.Также можно рассуждать по шагам:Для первого ребёнка есть 4 варианта выбора стула.Для второго ребёнка остаётся 3 варианта.Для третьего ребёнка остаётся 2 варианта.Общее число способов: $4 \times 3 \times 2 = 24$.

Ответ: 24.

Нужно рассадить 2 детей на 4 стула. Это также задача на размещения, где $n=4$ (стулья) и $k=2$ (дети).Используем ту же формулу для числа размещений $A_n^k$:$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.По шагам:Первый ребёнок может выбрать любой из 4 стульев.Второй ребёнок может выбрать любой из оставшихся 3 стульев.Общее число способов: $4 \times 3 = 12$.

Ответ: 12.

2.154. Мальчика и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи по комбинаторике необходимо найти количество способов рассадить одного мальчика (М) и двух девочек (Д1, Д2) за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не сидели на соседних местах. Четвертый стул останется пустым (П).

Рассмотрим два метода решения.

Способ 1: Метод исключения

Суть метода в том, чтобы найти общее количество возможных рассадок и вычесть из него количество «неправильных» рассадок (тех, где девочки сидят вместе).

1. Общее число рассадок.
Мы имеем 4 различных объекта для рассадки (Мальчик, Девочка 1, Девочка 2, Пустое место). Число способов рассадить $n$ различных объектов за круглым столом равно $(n-1)!$.
В данном случае $n=4$, поэтому общее число способов рассадки составляет:
$N_{общ} = (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Число рассадок, где девочки сидят вместе.
Чтобы посчитать это, представим двух девочек как единую группу [Д1, Д2]. Теперь нам нужно рассадить за круглым столом 3 объекта: Мальчика, Пустое место и группу девочек.
Число способов для 3 объектов: $(3-1)! = 2! = 2$.
Внутри группы девочки могут поменяться местами (Д1, Д2 или Д2, Д1), что даёт $2! = 2$ варианта.
Общее число «неправильных» рассадок — это произведение этих значений:
$N_{небл} = (3-1)! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

3. Число искомых рассадок.
Вычитаем из общего числа рассадок число «неправильных»:
$N = N_{общ} - N_{небл} = 6 - 4 = 2$.

Способ 2: Прямой подсчёт

1. Фиксируем место для одного человека.
Поскольку стол круглый, для учёта вращательной симметрии, посадим первую девочку (Д1) на любое место. Это можно сделать одним способом.

2. Рассаживаем вторую девочку.
Осталось 3 свободных стула. Два из них являются соседними для Д1, а один находится напротив. По условию, вторая девочка (Д2) не может сидеть рядом с Д1, поэтому для неё остаётся только одно возможное место — на стуле напротив.

3. Рассаживаем мальчика.
После того как девочки заняли два противоположных места, осталось два свободных стула, также расположенных друг напротив друга. Мальчика можно посадить на любой из этих двух стульев, что даёт 2 варианта.

4. Оставшееся место.
Последний оставшийся стул будет пустым (1 вариант).

Итоговое количество способов равно произведению вариантов на каждом шаге: $1 \times 1 \times 2 \times 1 = 2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2

2.155. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи воспользуемся методом исключения. Сначала найдем общее количество способов рассадить 4 человек за круглым столом, а затем вычтем из него количество способов, при которых две девочки сидят рядом.

1. Общее количество способов рассадки.
Количество способов рассадить $n$ различных объектов по кругу вычисляется по формуле $(n-1)!$. В нашем случае $n=4$ (два мальчика и две девочки).Общее число способов рассадки равно:$N_{общ} = (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Количество способов, когда девочки сидят рядом.
Чтобы найти это количество, мы можем мысленно объединить двух девочек в один объект. Тогда нам нужно будет рассадить за столом уже не 4 человека, а 3 "объекта": двух мальчиков и одну "пару девочек".Число способов рассадить 3 объекта по кругу равно:$N_{блоки} = (3-1)! = 2! = 2$.Однако внутри "пары девочек" они могут меняться местами (девочка 1 слева, девочка 2 справа, и наоборот). Количество таких перестановок равно $2! = 2$.Следовательно, общее количество способов рассадить детей так, чтобы девочки оказались рядом, равно произведению этих двух значений:$N_{вместе} = N_{блоки} \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

3. Количество способов, когда девочки не сидят рядом.
Чтобы найти искомое количество способов, вычтем из общего числа рассадок число рассадок, где девочки сидят вместе:$N_{искомое} = N_{общ} - N_{вместе} = 6 - 4 = 2$.

Есть и другой способ решения. Сначала рассадим мальчиков. За круглым столом это можно сделать $(2-1)! = 1$ способом. Между двумя мальчиками образуется два свободных места. Чтобы девочки не сидели рядом, их нужно посадить на эти два места. Первую девочку можно посадить на любое из 2 мест, а вторую — на 1 оставшееся. Количество способов рассадить девочек равно $2 \times 1 = 2$.Итоговое количество способов: $1 \times 2 = 2$.

Ответ: 2

2.156. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 3 очка, на втором — 6 очков. Сколькими различными способами может выпасть сумма в 9 очков? Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Сколькими различными способами может выпасть сумма в 9 очков?

Пусть $x$ — количество очков, выпавшее на первом кубике, а $y$ — количество очков на втором. Каждый кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6, поэтому $1 \le x \le 6$ и $1 \le y \le 6$. Нам нужно найти количество пар $(x, y)$, для которых выполняется условие $x + y = 9$.

Перечислим все возможные комбинации, учитывая, что на кубике не может выпасть больше 6 очков.

Если на первом кубике выпало 3 очка, то на втором должно выпасть $9 - 3 = 6$ очков. Это возможная комбинация (3, 6).
Если на первом кубике выпало 4 очка, то на втором должно выпасть $9 - 4 = 5$ очков. Это возможная комбинация (4, 5).
Если на первом кубике выпало 5 очков, то на втором должно выпасть $9 - 5 = 4$ очка. Это возможная комбинация (5, 4).
Если на первом кубике выпало 6 очков, то на втором должно выпасть $9 - 6 = 3$ очка. Это возможная комбинация (6, 3).

Если на первом кубике выпадет 1 или 2, то на втором должно было бы выпасть 8 или 7 соответственно, что невозможно.

Таким образом, существует 4 различных способа получить в сумме 9 очков.

Ответ: 4.

Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Данный вопрос относится к общему числу всех возможных исходов при броске двух кубиков.

На первом кубике может выпасть одно из шести значений (от 1 до 6), то есть для него существует 6 возможных исходов.

Аналогично, на втором кубике также может выпасть одно из шести значений (от 1 до 6), что также дает 6 возможных исходов.

Так как результаты бросков каждого кубика не зависят друг от друга, общее количество различных комбинаций очков находится по правилу умножения: нужно перемножить количество исходов для каждого кубика.

Общее число способов равно: $6 \times 6 = 36$.

Ответ: 36.