Страница 75 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.176. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл первый, если выпадут орёл и решка, то выиграл второй. Справедлива ли эта игра?

Для того чтобы определить, справедлива ли игра, необходимо найти и сравнить вероятности выигрыша для каждого игрока. Игра считается справедливой, если эти вероятности равны.

При броске двух монет возможны четыре равновероятных элементарных исхода (О – орёл, Р – решка):

• Орёл, Орёл (ОО)
• Орёл, Решка (ОР)
• Решка, Орёл (РО)
• Решка, Решка (РР)

Общее число исходов $n=4$.

1. Найдём вероятность выигрыша первого игрока.

Первый игрок выигрывает, если выпадают два орла. Этому событию благоприятствует только один исход: (ОО).
Количество благоприятных исходов $m_1 = 1$.
Вероятность выигрыша первого игрока $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{1}{4}$

2. Найдём вероятность выигрыша второго игрока.

Второй игрок выигрывает, если выпадают орёл и решка. Этому событию благоприятствуют два исхода: (ОР) и (РО).
Количество благоприятных исходов $m_2 = 2$.
Вероятность выигрыша второго игрока $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. Сравним вероятности.

Сравним полученные вероятности выигрыша: $P_1 = \frac{1}{4}$ и $P_2 = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{2}$, шансы игроков на победу не равны. Вероятность выигрыша второго игрока в два раза выше, чем у первого.

Ответ: Нет, игра не является справедливой, поскольку вероятность выигрыша второго игрока ($\frac{1}{2}$) больше, чем вероятность выигрыша первого игрока ($\frac{1}{4}$).

2.177. Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 11 — выиграл первый, если сумма очков 12 — выиграл второй. Справедлива ли эта игра?

Чтобы определить, является ли игра справедливой, нужно сравнить вероятности выигрыша для каждого игрока. Игра считается справедливой, если эти вероятности равны.

При броске двух стандартных игральных кубиков с шестью гранями (от 1 до 6) общее число всех возможных равновероятных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Найдем вероятность выигрыша для первого игрока. Он выигрывает, если сумма выпавших очков равна 11. Это возможно при следующих комбинациях на первом и втором кубике соответственно: (5; 6) и (6; 5). Таким образом, число благоприятных исходов для первого игрока равно 2. Вероятность его победы ($P_1$) составляет:

$P_1 = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Теперь найдем вероятность выигрыша для второго игрока. Он выигрывает, если сумма очков равна 12. Такой исход возможен только в одном случае: когда на обоих кубиках выпало по 6 очков, то есть комбинация (6; 6). Число благоприятных исходов для второго игрока равно 1. Вероятность его победы ($P_2$) составляет:

$P_2 = \frac{1}{36}$

Сравнивая вероятности, мы видим, что $P_1 \ne P_2$. Так как $\frac{2}{36} > \frac{1}{36}$, шансы игроков на победу не равны. У первого игрока вероятность выигрыша в два раза выше, чем у второго. Следовательно, игра не является справедливой.

Ответ: Нет, игра не является справедливой, так как вероятность выигрыша первого игрока ($\frac{2}{36}$) в два раза выше вероятности выигрыша второго игрока ($\frac{1}{36}$).

Придумываем задачу

2.178. Придумайте справедливую и несправедливую игру:

а) с двумя игральными кубиками;

б) с двумя монетами.

Игра называется справедливой, если у всех игроков равные шансы на победу. В противном случае игра является несправедливой.

а) с двумя игральными кубиками

При броске двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.

Справедливая игра:
Два игрока бросают два кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма выпавших очков является чётным числом. Игрок 2 выигрывает, если сумма выпавших очков является нечётным числом.
Проверим, равны ли шансы игроков.
Количество исходов, при которых сумма чётная (выигрыш Игрока 1):(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6). Всего 18 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Количество исходов, при которых сумма нечётная (выигрыш Игрока 2):(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5). Всего 18 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Так как вероятности выигрыша игроков равны, игра является справедливой.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают два кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма очков больше 8. Игрок 2 выигрывает, если сумма очков не превышает 8.
Найдём количество исходов для каждого игрока.
Исходы для Игрока 1 (сумма > 8):
Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4 исхода
Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3 исхода
Сумма 11: (5,6), (6,5) - 2 исхода
Сумма 12: (6,6) - 1 исход
Всего для Игрока 1: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ исходов. Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{10}{36}$.
Количество исходов для Игрока 2 (сумма ≤ 8) можно найти, вычтя исходы Игрока 1 из общего числа исходов: $36 - 10 = 26$ исходов. Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{26}{36}$.
Так как $\frac{10}{36} \neq \frac{26}{36}$, шансы игроков не равны. Эта игра является несправедливой.

Ответ: Примеры справедливой и несправедливой игр с двумя кубиками приведены выше. Справедливая игра: один игрок выигрывает при чётной сумме, другой — при нечётной. Несправедливая игра: один игрок выигрывает, если сумма больше 8, а другой — если сумма не больше 8.

б) с двумя монетами

При броске двух монет возможны 4 равновероятных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).

Справедливая игра:
Два игрока бросают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпали одинаковые стороны (ОО или РР). Игрок 2 выигрывает, если выпали разные стороны (ОР или РО).
Количество исходов для Игрока 1: 2 (ОО, РР). Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Количество исходов для Игрока 2: 2 (ОР, РО). Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Вероятности выигрыша равны, следовательно, игра справедливая.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла (ОО). Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях (ОР, РО, РР).
Количество исходов для Игрока 1: 1 (ОО). Вероятность выигрыша: $P(A) = \frac{1}{4}$.
Количество исходов для Игрока 2: 3 (ОР, РО, РР). Вероятность выигрыша: $P(B) = \frac{3}{4}$.
Так как $\frac{1}{4} \neq \frac{3}{4}$, игра является несправедливой.

Ответ: Примеры справедливой и несправедливой игр с двумя монетами приведены выше. Справедливая игра: один игрок выигрывает, если стороны одинаковые, другой — если разные. Несправедливая игра: один игрок выигрывает, если выпало два орла, а другой — в остальных случаях.

2.179. Витя задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Коля пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Коля угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

а) Вероятность события определяется по формуле классической вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $n$ - общее число равновозможных исходов. В данном случае благоприятный исход один - Коля угадал загаданное число, поэтому $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 2. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ и $k=2$. $n = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 4 \cdot 5 = 20$. Таким образом, существует 20 различных двузначных чисел, которые можно составить из данных цифр. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{20}$

б) Аналогично пункту а), число благоприятных исходов $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 3. В данном случае $n=5$ и $k=3$. $n = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. Таким образом, существует 60 различных трёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{60}$

в) Число благоприятных исходов $m=1$. Общее число исходов $n$ - это количество всех возможных четырёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Это число равно числу размещений из 5 элементов по 4. В данном случае $n=5$ и $k=4$. $n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Таким образом, существует 120 различных четырёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна: $P = \frac{1}{120}$.
Ответ: $\frac{1}{120}$

2.180. Коля задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения. Витя пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Витя угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

Вероятность события определяется по формуле классической вероятности $P = m/n$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

В данной задаче Витя пытается угадать число с первого раза, поэтому число благоприятных исходов $m=1$ во всех случаях, так как загадано только одно число.

Общее число исходов $n$ — это количество всех возможных чисел, которые можно составить из заданных 9 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) без повторения. Это число является числом размещений без повторений, которое вычисляется по формуле $A_n^k = n! / (n-k)!$, где $n$ — общее количество доступных элементов (у нас $n=9$ цифр), а $k$ — количество элементов в выборке (количество цифр в числе).

а) двузначное;
Необходимо найти общее количество двузначных чисел ($k=2$), которые можно составить из 9 различных цифр ($n=9$).
Число таких чисел равно числу размещений из 9 по 2:
$n = A_9^2 = 9 \cdot 8 = 72$.
Таким образом, существует 72 различных двузначных числа, которые мог задумать Коля.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P = 1/72$.
Ответ: $1/72$.

б) трёхзначное;
Необходимо найти общее количество трёхзначных чисел ($k=3$), которые можно составить из 9 различных цифр ($n=9$).
Число таких чисел равно числу размещений из 9 по 3:
$n = A_9^3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Таким образом, существует 504 различных трёхзначных числа.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P = 1/504$.
Ответ: $1/504$.

в) четырёхзначное?
Необходимо найти общее количество четырёхзначных чисел ($k=4$), которые можно составить из 9 различных цифр ($n=9$).
Число таких чисел равно числу размещений из 9 по 4:
$n = A_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Таким образом, существует 3024 различных четырёхзначных числа.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P = 1/3024$.
Ответ: $1/3024$.

Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно.

Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

Это классическая задача комбинаторики, известная как "задача о беспорядках" или "задача о шляпах". Нам нужно найти количество способов раздать шляпы так, чтобы ни один из трех господ не получил свою собственную.

Обозначим господ как Г1, Г2, Г3, а их шляпы как Ш1, Ш2, Ш3 соответственно.

Сначала найдем общее количество способов, которыми можно раздать три шляпы трем господам. Это число всех возможных перестановок из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Теперь перечислим все 6 возможных вариантов распределения шляп и проверим, какие из них удовлетворяют условию (никто не получает свою шляпу). В скобках указано, какую шляпу получил каждый господин (Г1, Г2, Г3):

1. (Ш1, Ш2, Ш3) — все получили свои шляпы. Этот вариант не подходит.
2. (Ш1, Ш3, Ш2) — Г1 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.
3. (Ш2, Ш1, Ш3) — Г3 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.
4. (Ш2, Ш3, Ш1) — Г1 получил Ш2, Г2 получил Ш3, а Г3 получил Ш1. Никто не получил свою шляпу. Этот вариант подходит.
5. (Ш3, Ш1, Ш2) — Г1 получил Ш3, Г2 получил Ш1, а Г3 получил Ш2. Никто не получил свою шляпу. Этот вариант подходит.
6. (Ш3, Ш2, Ш1) — Г2 получил свою шляпу. Этот вариант не подходит.

Таким образом, из 6 возможных способов раздачи шляп только 2 удовлетворяют условию задачи.

Более формально, число таких вариантов называется субфакториалом числа $n$ (в данном случае $n=3$) и обозначается как $!n$ или $D_n$. Формула для вычисления:
$D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

Для $n=3$:
$D_3 = 3! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} \right) = 6 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) = 6 \left( \frac{3-1}{6} \right) = 2$

Ответ: 2.