Страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.191. В первом стакане налито молока столько, сколько чёрного кофе во втором. Из первого стакана во второй налили 4 ложки молока, потом из второго в первый налили 3 ложки полученной смеси, затем из первого стакана во второй добавили ещё 1 ложку, а из второго в первый — 2 ложки. После каждого переливания смеси тщательно перемешивали. Чего стало больше — молока в кофе или кофе в молоке? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи не нужно отслеживать точный состав смеси после каждого шага. Можно применить более общее рассуждение, основанное на сохранении объемов.

Пусть начальный объем молока в первом стакане и начальный объем кофе во втором стакане одинаковы и равны $V$.

Проанализируем все переливания:

• Из первого стакана во второй перелили: $4$ ложки $+ 1$ ложка $= 5$ ложек.
• Из второго стакана в первый перелили: $3$ ложки $+ 2$ ложки $= 5$ ложек.

Поскольку объем жидкости, перелитой из каждого стакана, равен объему жидкости, влитой обратно, конечный объем жидкости в каждом стакане остался таким же, как и вначале, то есть равен $V$.

Теперь рассмотрим состав жидкостей в стаканах в конце всех манипуляций. Пусть $V_{м1}$ — это конечный объем молока в первом стакане, а $V_{к1}$ — конечный объем кофе в первом стакане. Общий объем жидкости в первом стакане равен $V$, следовательно:

$V_{м1} + V_{к1} = V$

Изначально общее количество молока в системе было $V$. В конце оно распределено между двумя стаканами. Если в первом стакане осталось $V_{м1}$ молока, то во второй стакан попало некоторое количество молока, обозначим его $V_{м2}$. Общее количество молока не изменилось, поэтому:

$V_{м1} + V_{м2} = V$

Теперь у нас есть два равенства, правые части которых равны $V$:

$V_{м1} + V_{к1} = V$

$V_{м1} + V_{м2} = V$

Приравнивая левые части этих уравнений, получаем:

$V_{м1} + V_{к1} = V_{м1} + V_{м2}$

Вычтем из обеих частей $V_{м1}$:

$V_{к1} = V_{м2}$

Величина $V_{к1}$ — это объем кофе, оказавшийся в первом стакане (то есть «кофе в молоке»). Величина $V_{м2}$ — это объем молока, оказавшийся во втором стакане (то есть «молока в кофе»). Таким образом, мы доказали, что количество молока в кофе в точности равно количеству кофе в молоке.

Ответ: Количество молока в кофе равно количеству кофе в молоке.

2.192. От пола комнаты вертикально вверх по стене поползли две мухи. Поднявшись до потолка, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое быстрее первой, но зато спускалась вдвое медленнее. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Для того чтобы определить, какая из мух вернется к полу раньше, необходимо рассчитать и сравнить общее время, которое каждая из них затратит на путь от пола до потолка и обратно.

Введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние от пола до потолка (высота стены).
$v$ – скорость первой мухи.

Расчет для первой мухи
Первая муха ползет и вверх, и вниз с одинаковой постоянной скоростью $v$.
Время, затраченное на подъем: $t_{1, вверх} = \frac{S}{v}$.
Время, затраченное на спуск: $t_{1, вниз} = \frac{S}{v}$.
Общее время в пути для первой мухи ($T_1$) будет равно сумме времени подъема и спуска: $$T_1 = t_{1, вверх} + t_{1, вниз} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$$

Расчет для второй мухи
Вторая муха поднималась вдвое быстрее первой, значит, ее скорость при подъеме была $v_{2, вверх} = 2v$.
Время, затраченное на подъем: $t_{2, вверх} = \frac{S}{2v}$.
Спускалась вторая муха вдвое медленнее первой, следовательно, ее скорость при спуске была $v_{2, вниз} = \frac{v}{2}$.
Время, затраченное на спуск: $t_{2, вниз} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.
Общее время в пути для второй мухи ($T_2$) также является суммой времени подъема и спуска: $$T_2 = t_{2, вверх} + t_{2, вниз} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{5S}{2v} = 2.5 \frac{S}{v}$$

Сравнение результатов
Теперь сравним полученные значения общего времени для обеих мух:
Время первой мухи: $T_1 = 2 \frac{S}{v}$
Время второй мухи: $T_2 = 2.5 \frac{S}{v}$
Поскольку $2 < 2.5$, то $T_1 < T_2$. Это означает, что первая муха затратит на весь путь меньше времени, чем вторая. Хотя вторая муха и выигрывает время на подъеме, она проигрывает значительно больше времени на медленном спуске.

Ответ: первая муха приползет обратно раньше.

2.193. В цехе работают новые и старые токарные станки. Известно, что каждый токарь за одно и то же время вытачивает в 2 раза больше деталей, чем каждый ученик токаря. Ещё известно, что за 2 ч 4 токаря на новых станках и 12 учеников токаря на старых станках вытачивают столько же деталей, сколько за 3 ч вытачивают 5 токарей на старых станках и 4 ученика токаря на новых станках. Определите, во сколько раз производительность каждого нового станка больше производительности каждого старого станка.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $P_У$ — производительность ученика токаря (деталей в час, на условном станке с коэффициентом 1).
• $P_Т$ — производительность токаря (деталей в час, на условном станке с коэффициентом 1).
• $K_Н$ — коэффициент производительности нового станка.
• $K_С$ — коэффициент производительности старого станка.

Таким образом, фактическая производительность рабочего на станке равна произведению его личной производительности на коэффициент производительности станка. Например, производительность токаря на новом станке равна $P_Т \cdot K_Н$.

1. Учет производительности токаря и ученика

Из условия известно, что каждый токарь за одно и то же время вытачивает в 2 раза больше деталей, чем каждый ученик токаря. Это означает, что производительность токаря в 2 раза выше производительности ученика:

$P_Т = 2 \cdot P_У$

2. Составление уравнения на основе работы

Теперь составим уравнение, исходя из того, что количество деталей, изготовленных в двух разных ситуациях, одинаково. Общее количество деталей равно сумме произведений количества рабочих, их производительности, коэффициента станка и времени работы.

Ситуация 1: 4 токаря на новых станках и 12 учеников на старых станках работают 2 часа.

Количество деталей: $2 \cdot (4 \cdot P_Т \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С)$

Ситуация 2: 5 токарей на старых станках и 4 ученика на новых станках работают 3 часа.

Количество деталей: $3 \cdot (5 \cdot P_Т \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

Приравниваем количество деталей, полученных в обеих ситуациях:

$2 \cdot (4 \cdot P_Т \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С) = 3 \cdot (5 \cdot P_Т \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

3. Решение уравнения

Подставим в полученное уравнение соотношение $P_Т = 2 \cdot P_У$, чтобы выразить всё через производительность ученика $P_У$:

$2 \cdot (4 \cdot (2 P_У) \cdot K_Н + 12 \cdot P_У \cdot K_С) = 3 \cdot (5 \cdot (2 P_У) \cdot K_С + 4 \cdot P_У \cdot K_Н)$

Упростим выражения в скобках:

$2 \cdot (8 P_У K_Н + 12 P_У K_С) = 3 \cdot (10 P_У K_С + 4 P_У K_Н)$

Так как $P_У$ (производительность ученика) не равна нулю, мы можем сократить на $P_У$ обе части уравнения:

$2 \cdot (8 K_Н + 12 K_С) = 3 \cdot (10 K_С + 4 K_Н)$

Раскроем скобки:

$16 K_Н + 24 K_С = 30 K_С + 12 K_Н$

Теперь сгруппируем слагаемые с $K_Н$ в левой части, а с $K_С$ — в правой:

$16 K_Н - 12 K_Н = 30 K_С - 24 K_С$

$4 K_Н = 6 K_С$

Нам нужно найти, во сколько раз производительность нового станка больше производительности старого, то есть найти отношение $\frac{K_Н}{K_С}$:

$\frac{K_Н}{K_С} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, производительность каждого нового станка в 1,5 раза больше производительности каждого старого станка.

Ответ: в 1,5 раза.

2.194. Пруд зарастает лилиями — за неделю площадь, занятая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

По условию задачи, площадь, занятая лилиями, удваивается каждую неделю. Это означает, что если двигаться во времени назад, то каждую предыдущую неделю площадь, покрытая лилиями, была в два раза меньше.

Известно, что пруд полностью покрылся лилиями за 8 недель. Обозначим полную площадь пруда как $S$. Значит, в конце 8-й недели площадь, покрытая лилиями, была равна $S$.

Вопрос заключается в том, когда пруд был покрыт наполовину, то есть когда площадь лилий составляла $\frac{S}{2}$.

Поскольку каждую неделю площадь удваивается, то за одну неделю до полного покрытия (то есть в конце 7-й недели) площадь лилий была ровно в два раза меньше, чем в конце 8-й недели.

Площадь на 7-й неделе = (Площадь на 8-й неделе) / 2 = $\frac{S}{2}$.

Следовательно, пруд был покрыт лилиями наполовину ровно за одну неделю до того, как покрылся полностью, то есть за $8 - 1 = 7$ недель.

Ответ: 7 недель.

2.195 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Для решения этой задачи предположим, что все курицы несутся с одинаковой скоростью. Решим задачу по шагам.

1. Сначала определим, сколько яиц несет одна курица за 3 дня. Если 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца, то одна курица за то же время снесет в 3 раза меньше яиц:

$3 \text{ яйца} \div 3 \text{ курицы} = 1 \text{ яйцо}$

Таким образом, одна курица несет 1 яйцо за 3 дня.

2. Теперь рассчитаем, сколько яиц снесет одна курица за 12 дней. Так как период времени увеличился в 4 раза ($12 \text{ дней} \div 3 \text{ дня} = 4$), то и количество яиц, снесенных одной курицей, увеличится в 4 раза:

$1 \text{ яйцо} \times 4 = 4 \text{ яйца}$

Следовательно, одна курица несет 4 яйца за 12 дней.

3. Наконец, найдем общее количество яиц, которое снесут 12 кур за 12 дней. Если одна курица за этот срок несет 4 яйца, то 12 кур снесут в 12 раз больше:

$4 \text{ яйца} \times 12 \text{ кур} = 48 \text{ яиц}$

Ответ: 48 яиц.

2.196 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

Для решения задачи определим, сколько зерна съедает одна синица за один день. Это можно сделать в несколько шагов.

1. Узнаем, сколько килограммов зерна съедают 100 синиц за 1 день. По условию, за 100 дней они съедают 100 кг. Следовательно, за один день они съедят в 100 раз меньше:

$100 \text{ кг} \div 100 \text{ дней} = 1 \text{ кг}$

Таким образом, 100 синиц съедают 1 кг зерна в день.

2. Теперь узнаем, сколько съедает одна синица за 1 день. Если 100 синиц съедают 1 кг в день, то одна синица съест в 100 раз меньше:

$1 \text{ кг} \div 100 \text{ синиц} = 0,01 \text{ кг}$

Итак, норма потребления одной синицы составляет 0,01 кг зерна в день.

3. Наконец, рассчитаем, сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней. Для этого умножим дневную норму потребления одной синицы на количество синиц и на количество дней:

$0,01 \text{ кг/(синица \cdot день)} \times 10 \text{ синиц} \times 10 \text{ дней} = 1 \text{ кг}$

Ответ: 1 кг.

2.197 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

Для решения задачи необходимо сначала определить производительность одного маляра. Предполагается, что все маляры работают с одинаковой скоростью.

1. Узнаем, сколько окон красят 3 маляра за 1 день.
По условию, 3 маляра за 5 дней красят 60 окон. Чтобы найти, сколько они красят за 1 день, нужно общее количество окон разделить на количество дней:
$60 \text{ окон} \div 5 \text{ дней} = 12 \text{ окон в день (для 3 маляров)}$

2. Узнаем, сколько окон красит 1 маляр за 1 день.
Если 3 маляра вместе красят 12 окон в день, то производительность одного маляра будет в 3 раза меньше:
$12 \text{ окон} \div 3 \text{ маляра} = 4 \text{ окна в день (на одного маляра)}$

3. Узнаем, сколько окон покрасят 5 маляров за 1 день.
Теперь, зная, что один маляр красит 4 окна в день, можем найти, сколько покрасят 5 маляров за тот же срок:
$4 \text{ окна} \times 5 \text{ маляров} = 20 \text{ окон в день (для 5 маляров)}$

4. Узнаем, сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня.
Если за один день 5 маляров красят 20 окон, то за 4 дня они покрасят в 4 раза больше:
$20 \text{ окон} \times 4 \text{ дня} = 80 \text{ окон}$

Ответ: 80 окон.

2.198. 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Через определение производительности труда

Сначала найдем производительность одного землекопа. Производительность ($P$) — это объем работы (в данном случае, длина выкопанной канавы), который один работник выполняет за единицу времени (1 час).

Из условия известно, что 2 землекопа ($N_1 = 2$) за 2 часа ($T_1 = 2$ ч) выкапывают 2 метра ($W_1 = 2$ м) канавы. Объем выполненной работы можно выразить формулой: $W = N \times P \times T$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти производительность $P$:
$2 \text{ м} = 2 \text{ землекопа} \times P \times 2 \text{ ч}$
$2 = 4 \times P$
$P = \frac{2}{4} = 0.5$ м/ч.
Это означает, что один землекоп в среднем выкапывает 0.5 метра канавы за один час.

Теперь, зная производительность одного землекопа, мы можем ответить на вопрос задачи: сколько землекопов ($N_2$) потребуется, чтобы выкопать 5 метров канавы ($W_2 = 5$ м) за 5 часов ($T_2 = 5$ ч).

Используем ту же формулу, подставив новые данные:
$W_2 = N_2 \times P \times T_2$
$5 \text{ м} = N_2 \times 0.5 \text{ м/ч} \times 5 \text{ ч}$
$5 = N_2 \times 2.5$

Отсюда находим искомое количество землекопов:
$N_2 = \frac{5}{2.5} = 2$.
Таким образом, потребуется 2 землекопа.

Способ 2: Через сравнение общей скорости работы

Рассчитаем общую скорость работы бригады (сколько метров в час копает вся бригада) для первого и второго случаев.

1. В первом случае 2 землекопа выкапывают 2 метра за 2 часа. Их общая скорость работы ($V_1$) равна:
$V_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Время}} = \frac{2 \text{ м}}{2 \text{ ч}} = 1$ м/ч.
Это значит, что бригада из двух землекопов копает со скоростью 1 метр в час.

2. Во втором случае требуется выкопать 5 метров за 5 часов. Рассчитаем, какая общая скорость ($V_2$) для этого необходима:
$V_2 = \frac{\text{Работа}}{\text{Время}} = \frac{5 \text{ м}}{5 \text{ ч}} = 1$ м/ч.

Поскольку требуемая общая скорость работы во втором случае ($1$ м/ч) в точности совпадает с общей скоростью работы двух землекопов из первого случая ($1$ м/ч), то для выполнения этой работы потребуется то же самое количество землекопов.

Ответ: 2

2.199. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Для решения задачи сначала найдём производительность одного писца, то есть сколько листов он пишет за один день. По условию, за 8 дней он пишет 15 листов.
Производительность одного писца составляет: $ \frac{15}{8} $ листов/день.

Далее вычислим, какая общая производительность (сколько всего листов в день) необходима, чтобы написать 405 листов за 9 дней.
Общая требуемая производительность: $ \frac{405}{9} = 45 $ листов/день.

Теперь, чтобы найти необходимое количество писцов, разделим общую требуемую производительность на производительность одного писца.
Количество писцов = $ 45 \div \frac{15}{8} = 45 \cdot \frac{8}{15} = \frac{45 \cdot 8}{15} $
Сократив 45 и 15 на 15, получим:
$ 3 \cdot 8 = 24 $

Ответ: 24 писца.

2.200. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность переписчика (сколько листов он переписывает за один час), а затем, используя это значение, рассчитать время, необходимое для выполнения нового объема работы.

1. Найдем общее количество часов, которое переписчик работал в первом случае. Он работал 4 дня по 9 часов в день:

$4 \text{ дня} \times 9 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 36 \text{ часов}$

2. Теперь вычислим производительность переписчика. За 36 часов он переписал 40 листов:

Производительность = $\frac{40 \text{ листов}}{36 \text{ часов}} = \frac{10}{9} \frac{\text{листов}}{\text{час}}$

3. Далее определим, сколько времени потребуется переписчику, чтобы переписать 60 листов, работая с той же производительностью:

Время = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Производительность}} = \frac{60 \text{ листов}}{\frac{10}{9} \frac{\text{листов}}{\text{час}}} = 60 \times \frac{9}{10} = 54 \text{ часа}$

4. Наконец, найдем, сколько дней займет эта работа, если переписчик будет работать по 12 часов в день. Для этого разделим общее необходимое время на количество рабочих часов в день:

Количество дней = $\frac{54 \text{ часа}}{12 \frac{\text{часов}}{\text{день}}} = 4,5 \text{ дня}$

Ответ: 4,5 дня.