Страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ

2.209. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Стороны прямоугольников выражаются натуральными числами.

В задаче используется понятие равновеликих фигур. Две фигуры называются равновеликими, если их площади равны. Также дано условие, что стороны всех прямоугольников выражаются натуральными числами.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

Сначала найдем площадь исходного прямоугольника. Пусть его стороны равны $a = 6$ см и $b = 4$ см. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$.

$S = 6 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Равновеликие прямоугольники — это прямоугольники с такой же площадью. Нам нужно найти два других прямоугольника, площадь которых также равна 24 см², а стороны выражены натуральными числами. Для этого найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 24. Пары множителей для числа 24: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6). Пара (4, 6) соответствует исходному прямоугольнику, поэтому мы должны выбрать две другие пары. Например, можно построить:

1. Прямоугольник со сторонами 1 см и 24 см. Его площадь: $1 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Прямоугольник со сторонами 2 см и 12 см. Его площадь: $2 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Ответ: Можно построить прямоугольники со сторонами 1 см и 24 см, а также 2 см и 12 см (или 3 см и 8 см).

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

Найдем площадь квадрата со стороной 8 см. Пусть сторона квадрата $a_{кв} = 8$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a_{кв}^2$.

$S_{кв} = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.

Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 64 см². Пусть стороны этого прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Тогда их произведение должно быть равно 64: $a \times b = 64$. Найдем все пары натуральных делителей числа 64: $1 \times 64 = 64$; $2 \times 32 = 64$; $4 \times 16 = 64$; $8 \times 8 = 64$.

Следовательно, стороны такого прямоугольника могут быть:

- 1 см и 64 см

- 2 см и 32 см

- 4 см и 16 см

- 8 см и 8 см (этот прямоугольник также является квадратом)

Ответ: Прямоугольник может иметь стороны 1 см и 64 см, 2 см и 32 см, 4 см и 16 см, или 8 см и 8 см.

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Найдем площадь квадрата со стороной 10 см. Пусть сторона квадрата $a_{кв} = 10$ см. Его площадь:

$S_{кв} = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.

Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 100 см². Пусть его стороны равны $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Тогда $a \times b = 100$. Возможные пары сторон $(a, b)$: (1, 100), (2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10). Теперь вычислим периметр для каждой пары сторон. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Для сторон (1, 100): $P = 2(1 + 100) = 2 \times 101 = 202$ см.

Для сторон (2, 50): $P = 2(2 + 50) = 2 \times 52 = 104$ см.

Для сторон (4, 25): $P = 2(4 + 25) = 2 \times 29 = 58$ см.

Для сторон (5, 20): $P = 2(5 + 20) = 2 \times 25 = 50$ см.

Для сторон (10, 10): $P = 2(10 + 10) = 2 \times 20 = 40$ см.

Сравнивая полученные значения периметров, видим, что наибольший периметр равен 202 см. Это соответствует прямоугольнику со сторонами 1 см и 100 см. Вообще, для фиксированной площади прямоугольник имеет наибольший периметр, когда его стороны максимально отличаются друг от друга.

Ответ: 202 см.

2.210. Вычислите площадь треугольника (рис. 42).

а) $A$, $B$, $D$

б) $B$, $D$, $C$

в) $A$, $B$, $D$, $C$

Рис. 42

а) Треугольник ABD является прямоугольным, где AD и BD — его катеты. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Примем сторону одной клетки сетки за 1 единицу длины.

Длина катета $AD = 3$ единицы.

Длина катета $BD = 3$ единицы.

Площадь треугольника $S_{ABD}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ (кв. ед.).

Ответ: 4.5

б) Треугольник BDC является прямоугольным, где DC и BD — его катеты. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Длина катета $DC = 4$ единицы.

Длина катета $BD = 3$ единицы.

Площадь треугольника $S_{BDC}$ вычисляется по формуле:

$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).

Ответ: 6

в) Площадь треугольника ABC можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В качестве основания возьмем сторону AC, тогда высотой будет отрезок BD.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков AD и DC:

$AC = AD + DC = 3 + 4 = 7$ единиц.

Длина высоты $BD = 3$ единицы.

Площадь треугольника $S_{ABC}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10.5$ (кв. ед.).

Альтернативно, площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей треугольников ABD и BDC, найденных в пунктах а) и б):

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BDC} = 4.5 + 6 = 10.5$ (кв. ед.).

Ответ: 10.5

2.211. На рисунке 43 изображён параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны).

Вычислите его площадь, если $AD = 3 \text{ см}$, $BK = 2 \text{ см}$.

Рис. 43

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле произведения его основания ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этому основанию:

$S = a \cdot h$

В данном параллелограмме $ABCD$ в качестве основания выступает сторона $AD$, а в качестве высоты, проведенной к этому основанию, — отрезок $BK$.

Из условия задачи известны их длины:

Основание $a = AD = 3$ см.

Высота $h = BK = 2$ см.

Подставим данные значения в формулу и вычислим площадь:

$S = AD \cdot BK = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

2.212. На рисунке 44 изображена трапеция (четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны). Вычислите ее площадь, если $AD=5$ см, $BC=2$ см, $BK=2$ см.

а) б) в) Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Для вычисления площади трапеции используется формула:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота трапеции.

Согласно условию задачи, нам даны следующие размеры для трапеции, изображенной на рисунке 44:

• Длина большего основания: $a = AD = 5$ см.
• Длина меньшего основания: $b = BC = 2$ см.
• Высота: $h = BK = 2$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{5 + 2}{2} \cdot 2$

Выполним вычисления:

$S = \frac{7}{2} \cdot 2 = 7$ см²

Таким образом, площадь трапеции равна 7 см².

Ответ: 7 см²